江苏省南京市燕子矶中学高三数学文上学期期末试题含解析

江苏省南京市燕子矶中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列为等比数列，且，则的值为(

)

参考答案：C2.若，且tanx=3tany，则x﹣y的最大值为(

)A． B． C． D．参考答案：B【考点】基本不等式；两角和与差的正切函数．【专题】函数的性质及应用．【分析】先用两角差的正切公式，求一下tan（x﹣y）的值，然后再由已知代换，利用均值不等式求得tan（x﹣y）的最大值，从而得到结果．【解答】解：∵，且tanx=3tany，x﹣y∈（0，），∴所以tan（x﹣y）===≤=tan，当且仅当3tan2y=1时取等号，∴x﹣y的最大值为：．故选B．【点评】本题主要考查两角和与差的正切函数，基本不等式的应用，注意角的范围，考查计算能力，属于中档题．3.若幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）xm在（0，+∞）上为增函数，则实数m=（）A．2 B．﹣1 C．3 D．﹣1或2参考答案：A【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【分析】直接利用幂函数的定义与性质求解即可．【解答】解：幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）xm在（0，+∞）上为增函数，所以m2﹣m﹣1=1，并且m＞0，解得m=2．故选：A．4.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是（）A．B．k＜0或C．D．k≤0或参考答案：A考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：将圆C的方程整理为标准形式，找出圆心C的坐标与半径r，根据直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，得到以C为圆心，2为半径的圆与直线y=kx﹣2有公共点，即圆心到直线y=kx﹣2的距离小于等于2，利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式求出不等式的解集即可得到k的范围．解答：解：将圆C的方程整理为标准方程得：（x﹣4）2+y2=1，∴圆心C（4，0），半径r=1，∵直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′（x﹣4）2+y2=4与y=kx﹣2有公共点，∵圆心（4，0）到直线y=kx﹣2的距离d=≤2，解得：0≤k≤．故选A点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，其中当d＜r时，直线与圆相交；当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．5.点P(m,1)不在不等式x＋y－2＜0表示的平面区域内，则实数m的取值范围是A.m＜1 B.m≤1 C.m≥1 D.m＞1参考答案：C6.已知=（1，2），=（0，m），=（﹣1，﹣3），∥，则实数m的值是（）A．﹣1 B． C．﹣ D．1参考答案：D【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据题意，由向量加法的坐标计算公式可得向量的坐标，进而向量平行的坐标表示方法可得（2+m）×（﹣3）﹣1×（﹣1）=0，解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，=（1，2），=（0，m），则=+=（1，2+m），若∥，则有（2+m）×（﹣3）﹣1×（﹣1）=0，解可得m=1；故选：D．【点评】本题考查向量平行的坐标表示方法，关键是求出向量的坐标．7.一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为的三条线段，则ab的最大值为

A．

B．

C．

D．3参考答案：C构造一个长方体，让长为2的线段为体对角线，由题意知，即，又，所以，当且仅当时取等号，所以选C.

8.（5分）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1?A且k+1?A，那么称k是集合A的一个“好元素”．给定集合S={1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个参考答案：C【考点】：元素与集合关系的判断．【专题】：集合．【分析】：根据题意，要使S的三个元素构成的集合中不含好元素，只要这三个元素相连即可，所以找出相连的三个数构成的集合即可．解：根据好元素的定义，由S的3个元素构成的集合中，不含好元素的集合为：{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}．故选C．【点评】：考查对好元素概念的理解，以及子集的概念，元素与集合的关系．9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝()．

参考答案：A10.已知，，则有（）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.双曲线的渐近线方程为

；离心率等于．参考答案：y=；【分析】利用双曲线方程直接求解双曲线的渐近线方程以及离心率即可．【解答】解：双曲线的渐近线方程为：y=；a=1，b=，c=，所以双曲线的离心率为：．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．12.设、满足约束条件，则目标函数的最大值为

.参考答案：52

略13.已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．参考答案：(－∞，2ln2－2]14.若，则的值是

。参考答案：215.已知集合，那么集合是_____________参考答案：16.若实数x，y满足则2x－y的最大值为

．参考答案：517.某校有学生2000人，其中高三学生500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本．则样本中高三学生的人数为___________．参考答案：答案：50解析：分层抽样即是按比例抽样，易知抽样比例为10：1,故500名高三学生应抽取的人数为50人。【高考考点】分层抽样的相关知识。【易错点】：不理解分层抽样的含义或与其它混淆。【备考提示】：抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分点，不容错过。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

已知函数（、），满足，且在时恒成立．（1）求、的值；（2）若，解不等式；（3）是否存在实数，使函数在区间上有最小值？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）由，得，………………1分因为在时恒成立，所以且△，，………………2分即，，，所以．……………4分（2）由（1）得，由，得，即，………………7分所以，当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为空集．

………………10分（3），

………………11分的图像是开口向上的抛物线，对称轴为直线．假设存在实数，使函数在区间上有最小值．1

当，即时，函数在区间上是增函数，所以，即，解得或，因为，所以；

………………13分②当，即时，函数的最小值为，即，解得或，均舍去；

………………15分③当，即时，在区间上是减函数，所以，即，解得或，因，所以．

………………17分综上，存在实数，或时，函数在区间上有最小值．

………………18分19.如图，空间几何体ADE﹣BCF中，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，AD⊥DC，AB=AD=DE=2，EF=4，M是线段AE上的动点．（1）求证：AE⊥CD；（2）试确定点M的位置，使AC∥平面MDF，并说明理由；（3）在（2）的条件下，求空间几何体ADM﹣BCF的体积．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出CD⊥ED，AD⊥DC，从而CD⊥平面AED，由此能证明AE⊥CD．（2）当M是线段AE的中点时，连结CE交DF于N，连结MN，则MN∥AC，由此得到AC∥平面MDF．（3）将几何体ADE﹣BCF补成三棱柱ADE﹣B′CF，空间几何体ADM﹣BCF的体积VADM﹣BCF=﹣VF﹣DEM，由此能求出空间几何体ADM﹣BCF的体积．【解答】证明：（1）∵四边形CDEF是矩形，∴CD⊥ED，…∵AD⊥DC，AD∩ED=D，∴CD⊥平面AED，…∵AE?平面AED，∴AE⊥CD．

…解：（2）当M是线段AE的中点时，AC∥平面MDF，…证明如下：连结CE交DF于N，连结MN，∵M、N分别是AE、CE的中点，…∴MN∥AC，又MN?平面MDF，AC?平面MDF，…∴AC∥平面MDF

…（3）将几何体ADE﹣BCF补成三棱柱ADE﹣B′CF，∴三棱柱ADE﹣B′CF的体积V=S△ADE?CD==8，…空间几何体ADM﹣BCF的体积：VADM﹣BCF=﹣VF﹣DEM=8﹣﹣=．…∴空间几何体ADM﹣BCF的体积为．…20.（本小题满分13分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，且．记∠ACD＝，∠BCD＝．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求BC的长．参考答案：【知识点】余弦定理正弦定理【试题解析】（Ⅰ）在中，由正弦定理，有

在中，由正弦定理，有

因为，所以

因为，所以

（Ⅱ）因为，，

由（Ⅰ）得

设，由余弦定理，

代入，得到，

解得，所以．21.已知直线l的参数方程为（t为参数，），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）讨论直线l与圆C的公共点个数；（Ⅱ）过极点作直线l的垂线，垂足为P，求点P的轨迹与圆C相交所得弦长．参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）直线l为过定点A（0，1），倾斜角在内的一条直线，圆C的方程为（x﹣1）2+y2=1，即可讨论直线l与圆C的公共点个数；（Ⅱ）过极点作直线l的垂线，垂足为P，联立得，即可求点P的轨迹与圆C相交所得弦长．【解答】解：（Ⅰ）直线l为过定点A（0，1），倾斜角在内的一条直线，圆C的方程为（x﹣1）2+y2=1，∴当时，直线l与圆C有1个公共点；当时，直线l与圆C有2个公共点（Ⅱ）依题意，点P在以OA为直径的圆上，可得轨迹极坐标方程为．联立得．∴点P的轨迹与圆C相交所得弦长是．22.已知数列{an}为等差数列，数列{bn}满足bn