【附20套高考模拟试题】2020届贵州省遵义市某中学高考数学模拟试卷含答案

2020届贵州省遵义市务川民族中学高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知函数f(x)=2、(x<0)与g(x)=ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是

()

A.S，2)B.S,e)c.GMD.(6向

A.2B.3C.4D.5

4.已知两个非零单位向量e”02的夹角为。，则下列结论不正确的是()

22

A.不存在。，使q・C2=eB.e)=e2

C.VgwR,(4-62)1卜+4)口.G在e?方向上的投影为sing

5.如图，在正方形ABC。中，尸是边CD上靠近。点的三等分点，连接8F交AC于点E,若

BE=〃7AB+〃AC(〃2，〃GR)，则/的值是()

p

j__22

A.5B.5C.5D.5

6.过抛物线V=4x的焦点下且倾斜角为60。的直线交抛物线于A、B两点,以A尸、8尸为直径的圆

分别与）’轴相切于点M,N,则|MN|=（）

2A/346

A.6B.26C.3D.3

7.口袋中装有大小、轻重都无差别的5个红球和4个白球，每一次从袋中摸出2个球，若颜色不同，则

为中奖每次摸球后，都将摸出的球放回口袋中，贝II3次摸球恰有1次中奖的概率为（）.

8010080100

A.243B.243C.729D.729

8.若抛物线V=8x上一点尸到其焦点的距离为10,则点尸的坐标为（）

A.(8,8)B(8,-8)c(8,±8)D.(-8,±8)

9.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今

仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n,x的

值分别为3,4,则输出v的值为

（方始）

/输入”Jt/

lErll

/输如/

/4/

A.6B.25C.WOD.400

10.已知复数2=一一，则z的虚部是()

1+Z

11.11.

——I1

A.2B.2c.2D.2

11.已知平面aJ-平面夕，aB=l,aua,bu/3,贝!|"aJ_/”是j_〃”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

(\产

一,?X<Q+

12.已知函数〃力=＜若函数/（x）的最大值不超过1,则实数。的取值范围是

一|x+1|—a、?XNQ+

()

3）（3＞「5Q「35、

A.L2JB.I2）C.L4JD.L24；

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数＞=/（©是R上的奇函数，且xN0时，/直）=幺+壬则函数丁=/（制的解析式是

14.已知数列U为正项的递增等比数列，al+a5=82,a2-a4=81,记数列1己的前n项和为Tn,则使不等

式2019〔尹＞1成立的最大正整数n的值是.

-lx211,0

15.已知函数f（x）=alnx2+4,当aG（-2）时，函数的零点个数为.

16.记公比为正数的等比数列｛aj的前n项和为Sn.若由=1,S4-5S2=0,则右的值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

/（x）=-J-x2+（«+l）x+alnx...

17.（12分）已知函数2,a€A.讨论/*）的单调性；当。＜0时，记/（X）的

“13

M.v—

最小值为M,证明：15.

18.（12分）已知函数/（*）=#-111%+3（。©7?）.当"=1时，求函数f（x）在x=l处的切线方程；当

时，求证：〃乃＞°.

__1_

19.（12分）各项均为正数的数列｛“的首项“力，前〃项和为S”，且5,用+5“=%?3.求｛4｝的通

项公式；若数列也J满足包=/4,求低｝的前〃项和九

20.（12分）在AABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2ccosC+bcosA+acosB=0.求角C

的大小；若c=3,A=1求AABC的面积.

.A/3

CCSr\=___

21.（12分）在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对边的长，"COS5="?cosA,'3.求

角8的值；若。=逐，求△ABC的面积.

22.(10分)在MBC中，角A,8,C的对边分别为兄上c,且满足

2G

&1110-刖4)。=&1110-51113)(。+人)，A48。的外接圆的半径为3，求角B的大小；若a+c=4,

求AA8C的面积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.B

2.A

3.B

4.D

5.C

6.D

7.A

8.C

9.C

10.A

11.A

12.A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

[-x2+x,x<0,

/(%)=<2八

x-+x,x>0.

13.';

14.6

15.1

16.31

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)当心0时，/(x)在(0,卡司单调递增；当"0时，"X)在(0,-。)上单调递减，在(—a,+8)

单调递增；(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)对a分两种情况讨论，利用导数求函数的单调区间；(2)由(1)知，

/(苫号=/(-a)=—ga2-a+aln(-a),再构造函数8(力=一1/一x+xln(-x),x<0,求得g(x)

13

取得最大值小于二即得证.

【详解】

(1)因为/(X)的定义域为(o,+8),

「〃、/a(x+l)(x+a)

又f(x)=x+(a+l)x+—=----------------,

所以当心0时，r(x)X),“X)在(0,+8)单调递增.

当aVO时，若0Vx<—a时，f(x)<0,/(力在(0,—。)单调递减；

若龙)—a时，,f'(x)>0,/(x)在(―a,f6)单调递增.

综上，当aNO时，/(x)在(0,大劝单调递增；

当a<0时，/(x)在(0,-a)上单调递减，在(一。,一)单调递增.

(2)当aVO时，由(1)知，

/(Hmm=/(-。)=-#-。+"历(一。)，

令g(x)=-g无2-x+xln(一尤)，%<0,贝！|g'(x)=-x+ln(-x),

11_Y

令Mx)=-x+ln(-x),x<0,则“(x)=-l+-=——-<0,

所以〃(x)在(—,0)单调递减，

-->0,U1-K0,所以存在/€f--y=-,---

2\^)e

使得〃(或))=。，且—%+ln(—%)=0,

所以当X«F,Xo)时，g'(x)>o,g(x)单调递增;

当xe(』,o)时,g'(x)V0,g(x)单调递减;

所以当x=x0时，g(x)取得最大值，

因为g(玉))=_g_X。+x(Jn(_/)=_g-尤0+/2=；/2_/

=g(x0T)_g，

、

令Mx)=*-l)2-g，

7

则Z(x)在单调递减,

所以Z(x)〈gx11213/x.13

江+孤5+§=lT所以

因此当aVO时，f(x],<—,即MV」.

—mm1515

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值和证明不等式，意在考查学生对这

些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

18.(1)y=ex+\(2)见解析

【解析】

【分析】

⑴当。=1时，/(x)=，-g+1,求出切线斜率及切点坐标，即可得到切线方程；(2)要证〃x)>0,

即求/(x)的最小值大于零即可.

【详解】

(1)当a=l时，〃x)=e*-lnx+x,〃l)=e+l,

/'(x)=''一1+L

r(l)=e,

所以，切线方程为y-(e+l)=e(x-l),即>?="+1

(2)当°=一1时，/(x)=ex-lnr-x(x>0)

/'(x)=e-g-l=/z(x),〃'(x)=，++>0,所以〃(x)在(O,+»)上单调递增，

又/{1=五一3(0,〃⑴=e-2)0,

(1\11

所以玉7/，使得/2(%)=*-----1=0,即e%=—+1

所以函数/(X)在(0,天)上单调递减，在(%，+8)上单调递增，

所以函数/(x)的最小值为/(%)=/T%)-/=,+1Tnx0-%

九0

又函数y=L+l—hw-x是单调减函数，所以/(%)>l+l—lnl-l=l>0

X

即e*-lnr-%>0恒成立。

又所以e"-hir>0

又。之一1,%>0,所以ax2一不，所以"一In%+ax>ex-lnx-x>0

【点睛】

利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数"(X)=/(")—g(”.根据差函数导函数符号，

确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.(2)根据条件，寻找目标函数.一般思路

为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.

1z1n

19.(1)an=-+(n-l)-=-.

71A/t

Tn=\

【解析】

【分析】

⑴先利用项和公式求得q川-再求等差数列｛q｝的通项.⑵利用错位相减法求低｝的前〃项

A

和心

【详解】

(I)因为SM+S,,=；la3，①所以当〃之2时，S“+Sz=/U,,②

①一②得：J+an=幽幻一幽〉即an+l+an=A(an+1+4)(4用—a,J，

因为｛〃“｝的各项均为正数，所以。，川+。“>0,且几>0,所以一4=：.

/I

09121

由①知，S2+S1=Aa;9即24+生=勿；，又因为4=1，所以生=丁.所以。2-4二弓.

71/L4

故4用一。“=!(〃cN*),所以数列｛%｝是首项为:,公差为9的等差数列.

/L/IA

1/八1〃

所以q=彳+("-1)7=丁.

AAA

jq

(II)由(1)得a,,=7,所以包=〃•储L

A

所以聋=1+2；1+3；12++(〃-1)乃-2+〃比1,③

7；,=2+2/124-323+-1)才1+〃力，④

③一④，得(I—#*=1+4+^++储-1一〃力,

1_心成”

当几〉0且4力1时，(1—4)7；==-一〃刀，解得；

1-A0-"1^1

/.n(n+l)n2+n

当4=1时，由③得7；=1+2+3++(1)+〃=------=-----

、/22

2

n+〃

2=1

1.2，

综上,数列也｝的前〃项和(=6

,A>0,A1

(i-A)2"171

【点睛】

(1)本题主要考查项和公式，考查等差数列的通项的求法，考查错位相减求和，意在考查学生对这些知

识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)数歹『他J。"},其中也J是等差数列，是等比数列，则采用错

位相减法.

20.(1)c=-(2)也

34

【解析】

【分析】

(1)由正弦定理将已知等式中的边化角后，cosC="可得c=*

(2)先由正弦定理求出a=正，再由内角和定理求出B=］最后由面积公式可得.

【详解】

(1)由正弦定理及已知条件2ccosC+bcosA+acosB=0

得：2sinCcosC+(sinBcosA+cosBsinA)=0,

BP2sinCcosC+sin(B+A)=0,

2sinCcosC+sinC=0,又sinC>0,

得cosC=-£，CC(o㈤，.-.c=_.

111r3a

(2)由⑴知。=7，在AABC中，由正弦定理得：二百=值，所以a=g

又由三角形的内角和定理得：B=TI-A-C=^

即B=A=］所以a=b=招，

所以△ABC的面积S=；absinC=:,有,招"孚=乎.

【点睛】

本题主要考查了正弦定理和三角形的面积公式的应用，其中解答中合理应用三角恒等变换的公式化简，以

及正确利用三角形的正弦定理和面积公式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

21.(1)B」(2)s=6+整

44

【解析】

【分析】

sinB

(1)由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA,由正弦定理化简已知等式可求相〃8=--=1,

cosB

结合范围OVBVn,可求B的值.

(2)由(1)及正弦定理可求b的值，利用两角和的正弦函数公式可求sinC的值，根据三角形面积公式

即可计算得解.

【详解】

(1)在AABC中，因为COSA=9，0<A<TI,

3

所以sinA=Jl-cos2A=-

3

因为acosB=A/2/TCOSA»

由正弦定理.，得sinAcosB=V2sinBcosA•

sinAsinn

所以cosB=sinB.

若cos3=0,则sinB=0,与sir？B+cos/ul矛盾，故cosBwO.

又因为0<3<兀，

7T

所以3=二,

4

(2)因为a=J^，siriA=>

3

瓜b

由(1)及正弦定理，得卡一近，

sinAsinB

又sinC=sin(兀一A_3)=sin(A+3)

=sinAcosB+cosAsinB

V6也+也及_2用指

3232

6+3

所以△ABC的面积为S=-absinC=1娓又典x2用二=^

【点睛】

本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角

形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

22.(1)B=3(2)

【解析】

【分析】

(1)用正弦定理将题中的正弦转化为三角形的边，再利用余弦定理可得角B的大小；(2)由三角形外接

圆半径可得到边b的大小，由余弦定理可得/+。2_4=“C，结合a+c=4,求出公，从而得出AA8C

的面积.

【详解】

解：(1)(sinC-sinA)a=(sinC-sinB)(c+/?),

labc

3^•*.----=----=----,

siMsinBsinC

222

：\c-a)a=(<c-h)(c+h)9ac-a=c-hf

故QC=。2+一

又cosf+i」

2ac2

Q<B</r9

-4

（2）_

sinB

b=2.

由余弦定理得：4=a2+c2-2accosy,

4=(Q+C『一3ac,

又〃+c=4,4=42—3QC,

ac=4

,•SA4BC=(acsinB=百.

【点睛】

本题考查了解三角形问题，熟练运用正、余弦定理将含有边与角的等式进行转化是解题的关键.高考模

拟数学试卷

（时间：120分钟满分：150分）

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请

将你认为正确的选项答在指定的位置上。)

1.已知集合“={幻幺-140},N={x|g<2㈤<4,xeZ},则MN=()

A.{-1,0}B.{1}C.{-1,0,1}D.0

2.设z=l—i(i是虚数单位)，则2+5=()

A.2—2zB.2+2iC.3—iD.3+z

3.经过圆C：（x+l）2+（y—2『=4的圆心且斜率为1的直线方程为（）A.x—y+3=0

B.x-y—3=0C.x~\~y—1=0D*x+y+3=0

4.一个几何体的三视图如右图所示，且其左视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）

A(4+^)5/3B(8+4)石

―・-6-

C.(8+乃)君D.(4+办公

3

5.设x>0,y>0,且—I---=4,z=2logx+logy9

x2y42

则z的最小值是（）

3

A、-4B、-3C、-log6D、210g2一

28

x<0,

6.若。为不等式组y>0,表示的平面区域，则当/从-2连续变化到1时，动直线x+y=r扫过。中

y-x<2

的那部分区域的面积为（）

,37

A.—B.1C.—D.2

44

7.函数y=sinOx+0）（e>。）的部分图象如右图所示，设P是图象的最高

点,A,3是图象与x轴的交点，记ZAPB=氏则sin20的值是（）

A16„63c16n16

A.——B.——C・------D.------

65656365

8.下列命题中①是>V，，的充要条件；

②若“出eR,%2+2ax+1<0"，则实数a的取值范围是（一8,-1）U（1,+℃）；

③已知平面。，夕直线机,/,若。_17,ya=m,y0=1,11m,贝!）/_La

④函数/（x）=（1）'-6的所有零点存在区间是（11）.其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

9.已知数列｛4｝的前n项和S”满足:Sn+Stn=Sn+m9且q=L那么％o=（）

A.1B.9C.10D.55

10.已知/(x)=21g]-31og2X,实数。、b、C满足/(a)/S)f(c)<0,(0<a<bVC)若实数X。是函数

y=f(x)的一个零点，那么下列不等式中，不可熊成立的是()

A、x„<aB、x()>bC>x{)<cD、x()>c

二、填空题(本题共5道小题，每题5分，共25分；将答案直接答在答题卷上指定的位置)

11.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A=”取到的2个数之和为偶数”，则P(A)等于

12.下图给出了一个程序框图,其作用是输入x的值，输出相应的y值.若要使输入的x值与输出的)，值相

等，则这样的x值有个.

13.已知在平面直角坐标系中，A(-2,O),3(1,3)。为原点，且OM=aQA+齐。8,(其中a+=

均为实数)，若N(1,0),贝力丽|的最小值是；

22

14.椭圆0+斗=l(a>b>0)的左、右顶点分别是A3,左、右焦点分别是耳.若|A4山周耳目

成等比数列，则此椭圆的离心率为.

15.给出下列五个命题：

①已知直线。力和平面。，若。/",blla,则a//a；②平面上到一个定点和一条定直线的距离相等的

点的轨迹是一条抛物线；③双曲线二—二二1(。>0,人,0),则直线y=-x+m(mGR)与双曲线有且只

a~h~a

有一个公共点；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直；

比2

⑤过M(2,0)的直线/与椭圆、+V=1交于片乙两点，线段[鸟中点为p,设直线/斜率为k](左。0),

直线OP的斜率为左2,则匕&等于-g.其中，正确命题的序号为

三、解答题(本大题共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)：

16.(本小题满分12分)

已知向量a=(sinx,-l),b=(J5cosx,-;)，函数f(x)=(a+b')-a-2.

(1)求函数/(x)的最小正周期T及单调减区间；

(2)已知a,b,c分别为AABC内角A,B,C的对边，其中A为锐角，。=2耳，。=4,且/(4)=1.求人,

6的长和△ABC的面积.

17.(本题满分12分)如图，A8为圆。的直径，点E、尸在圆。上,矩形ABCO所在的平面和圆。所

在的平面互相垂直，且AB=2,AD=EF=l.

(I)求证：4~_1平面。5口；

(n)求三棱锥C-OEF的体积；

18(本小题满分12分)某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个E丑名日队中30名跳高运动员进行了

测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩(单位：cm).跳高成

绩在175cm以上(包括175cm)定义为“合格”,成绩在175cm甲乙以下(不包括

715“泞"对较弱，为激

175cm)定义为“不合格”.鉴于乙队组队晚，跳高成绩相

9816124589

励乙队队员，学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运86531702457动会开幕式

64211801

旗林队.119

(I)求甲队队员跳高成绩的中位数；

(D)如果用分层抽样的方法从甲、乙两队所有的运动员中共抽取5人，则5人中“合格”与“不合

格”的人数各为多少.

(III)若从所有“合格”运动员中选取2名，用表示所选运动员中能参加市运动会开幕式旗林队的人

数，试求=1的概率.

19.(本小题满分12分)

各项均为正数的数列｛2｝前〃项和为Sn，且4S„=4+2%+1,〃eM.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

⑵已知公比为q(qeM)的等比数列也,｝满足伪=q,且存在m6N+满足0=an,,

粼+产为+3,求数列近｝的通项公式.

20.(本小题满分13分)

已知椭圆C-+^=\(a>b>0)的长轴长是短轴长的两倍，焦距为与.

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵设不过原点。的直线/与椭圆C交于两点A/、N,且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列,

求△OMN面积的取值范围.

21.(本小题满分14分)

已知函数/(%)=-X2+21nx.

(I)求函数/(x)的最大值；

(II)若函数/(X)与g(X)=X+0有相同极值点.

X

(i)求实数。的值；

(ii)若对于e[-,3J,不等式,(*)一8>2)<i恒成立，求实数上的取值范围.

ek-1

参改答案(文科)

1-10：ABABBCACAD

23&也

11-15—,3,------,—，④⑤

525

16.(本小题满分12分)

已知向量a=(sinx,-l),b=(J5cosx,-3，函数/(x)=(«+/>)-«-2.

2

(1)求函数/(%)的最小正周期T及单调减区间；

(2)已知a,b,c分别为AABC内角A,B,C的对边，其中A为锐角,a=2A/3,c=4，且/（A）=1.求A9

b的长和△ABC的面积.

■JT

16.解析：(l)/(x)=sin(2x——)........(2分)

6

=>T=肛......................(4分)

单调递减区间是伙乃+军,攵乃十二］（左wZ）........（6分）

36

jr

⑵/（A）=1=A=§;.................................8分）

•ccsinA.一1n兀、1、/■•八八\

sinC=-----=1=>C=—=>5=—=>人=2........（107T）

a26

S6ABe=；x2x26=26........................（12分）

17.(本题满分12分)如图，A8为圆。的直径，点E、尸在圆。上,矩形所在的平面和圆。所

在的平面互相垂直，且AB=2,AD=EF=1.C

(I)求证：AF_L平面CBb；

(n)求三棱锥C-OEF的体积；

17.(I)证明：平面ABC。1平面ABEF，CB±AB>

平面ABCDI平面ABEF=AB,

平面ABEF,

••,AF在平面ABEF内,AAF±CB,..........3分

又A3为圆。的直径，AAF1BF,

AF_L平面CBF.....................6分

(II)解：由(1)知C8,面即C8_L面0£/，

...三棱锥C-OEF的高是C8,

ACB=AD=1,.....8分

连结OE、OF,可知OE=OE=EF=1

AOEb为正三角形，.•.正AOE尸的高是无，.....10分

2

**•VcOEF=-CBXS&OEF=-X1X-XX1=-^―.....10分

c-《，匕r3322]2

理(III)求二面角的E-BC-/大小为300.12

18文.（本小题满分12分）某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进

行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩（单位：cm）.跳

高成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩甲乙在175cm以

715亍899

下（不包括175cm）定义为“不合格”.鉴于乙队组队晚，跳高成绩相

98161:4589

对较弱，为激励乙队队员，学校决定只有乙队中“合格”者8653170:457才能参加市

64211801

运动会开幕式旗林队.19

（I）求甲队队员跳高成绩的中位数;

（II）如果用分层抽样的方法从甲、乙两队所有的运动员中共抽取5人，则5人中“合格”与“不合

格”的人数各为多少.

（m）若从所有“合格”运动员中选取2名，用表示所选运动员中能参加市运动会开幕式旗林队的人

数，试求=i的概率.

【解析】

（I）中位数="6+178=U7..............2分

2

（II）根据茎叶图，有“合格”12人，“不合格”18人，

用分层抽样的方法，每个运动员被抽中的概率是得=:,

所以选中的“合格”有12x,=2人，.......4分

6

“不合格”有18x'=3人.

..............6分

6

32_26

（in）尸（X=l）=

C；266-33

19.（本小题满分12分）

各项均为正数的数列｛%｝前〃项和为S„，且4S„=屋+2an+1,〃c

⑴求数列｛a,J的通项公式；

⑵已知公比为我”M）的等比数列也J满足伪=«,，且存在meN,满足也用二6向，求数列

物,｝的通项公式.

19.解析：（1）4S“=a；+2c1n+1,4S“+]=+加用+1

两式相减得:4a“+]=-a：+2a/l+l—1cin,.......................................................（2分）

即（4+i+凡）（4用一凡-2）=0限-a,=2,....................................................（4分）

.•.{%}为首项为1,公差为2的等差数列，故4=2〃-1（6分）

.q"‘——2m—12m+56

⑵b,,=qe,依题意得/,相除得q=—^=1+F—eN*……（8分）

q"'=2m+52m-\2m-1

2/n-l=1或2/n-l=3,代入上式得q=3或q=7,......................................................（1（）分）

:.b.=72或b“=3-：............................（12分）

20.（本小题满分13分）

已知椭圆C:5+1■=1（a>〃>0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为£.

a2b22

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵设不过原点。的直线/与椭圆C交于两点M、N,且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列,

求△OMN面积的取值范围.

20.（本小题满分13分）

已知椭圆C:「■+/=1（。>6>0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为乎.

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵设不过原点。的直线/与椭圆C交于两点例、N,且直线。M、MN、ON的斜率依次成等比数列,

求△OMN面积的取值范围.

2a=2x2b

A2

c_/3a=2X2

20.解析（1）由已知得彳・•・C方程:L（4分）

a2b=l

c2=a2-b2

⑵由题意可设直线/的方程为：y=kx+m（%。0,加。0）

y=kx+m

222

联立x2,消去y并整理，得：（1+4k）x+8/mx+4（m-1）=0

——+y-=1

I4

则A=64Z%2-16（1+4尸）（］-1）=16（4^2-nr+1）>0,

.8km4（m~—1）

此时设/（不乂）、N（%2，%）・・%+M=--—TTY，%%=~；—A］；

l+4Zr1+4%

于是y%=（依l+机）（3+〃2）=攵2玉%2+奶2（%+%2）+加2...........................（7分）

又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，

..,）1%=6XX+k〃（X1+%）+〃7」,.n8左2/।加20

%!X2中21+4攵2

11

由m0得：k~7=—=>攵=±—.又由△>（）得：0<加?“<2

42

显然(否则：狞^=0,则中至少有一个为0,直线OM、ON中至少有一个斜率不存

在，矛盾！)......................(10分)

设原点。到直线/的距离为d，则

SOMN=d=4-M=J1+/|x,-x2|=1|/«|^xi+x2)-4xix2=《-(而-I#+1

22\Jl+k2

故由根得取值范围可得AOA/N面积的取值范围为(0,1)........(13分)

21.(本小题满分14分)

已知函数f(x)=-x2+21nx.

(I)求函数f(x)的最大值;

(D)若函数f(x)与g(x)=x+q有相同极值点,

X

(i)求实数a的值；'

(ii)若对于Vx-x2e[~,3],不等式以上&9近1恒成立，求实数k的取值范围.

ek-1

21.解：(I)f\x)=-2x+-=-2(^+1)(%-1)(x>0),1分

XX

.fru)>ofru)<o

由《得，0<x<l；由<得，X>1.

[x>0[x>0

fw在(0,1)上为增函数，在(l,+oo)上为减函数.3分

:.函数F(x)的最大值为了⑴=-1.4分

(II)Vg(x)=x+@,g，(x)=l一=.

XX

(i)由(I)知，x=l是函数/(x)的极值点，

又•••函数/(X)与g(x)=x+2有相同极值点，

X

:.X=1是函数g(x)的极值点，

...g'(l)=li=0,解得a=l.7分

经