2023年初中二次函数知识点及经典题型

二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式:(1）一般一般式:（2)两根当抛物线与x轴有交点时，即相应二次好方程有实根和存在时,根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。假如没有交点，则不能这样表达。ａ的绝对值越大,抛物线的开口越小。(３）顶点式:知识点八、二次函数的最值假如自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值）,即当时，。假如自变量的取值范围是,那么,一方面要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内,则当x=时,；若不在此范围内,则需要考虑函数在范围内的增减性,假如在此范围内，ｙ随x的增大而增大,则当时,,当时,；假如在此范围内,y随x的增大而减小,则当时,,当时,。知识点九、二次函数的性质1、二次函数的性质函数二次函数图像a>0a<０ｙ0xy0x性质（１)抛物线开口向上,并向上无限延伸；(２)对称轴是x=,顶点坐标是（,);（3）在对称轴的左侧,即当x<时，y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,即当x>时,y随x的增大而增大,简记左减右增;(4)抛物线有最低点，当x＝时,y有最小值,(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸；(２）对称轴是x=，顶点坐标是(,）;（3）在对称轴的左侧,即当x<时,y随ｘ的增大而增大；在对称轴的右侧，即当ｘ＞时，y随x的增大而减小，简记左增右减;（４）抛物线有最高点，当x=时,y有最大值，2、二次函数中,的含义：表达开口方向:>０时,抛物线开口向上<0时,抛物线开口向下与对称轴有关:对称轴为ｘ=表达抛物线与y轴的交点坐标:(０，)3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其相应的二次函数的图像与ｘ轴的交点坐标。因此一元二次方程中的,在二次函数中表达图像与x轴是否有交点。当>0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点;当＜0时,图像与x轴没有交点。知识点十中考二次函数压轴题常考公式(必记必会,理解记忆)1、两点间距离公式(当碰到没有思绪的题时,可用此方法拓展思绪,以寻求解题方法)Y如图：点Ａ坐标为(x1,ｙ1)点B坐标为（x２，y2)则AB间的距离，即线段ＡＢ的长度为A0ｘB２,二次函数图象的平移①将抛物线解析式转化成顶点式,拟定其顶点坐标；②保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处,具体平移方法如下:③平移规律函数平移图像大体位置规律（中考试题中,只占3分,但掌握这个知识点,对提高答题速度有很大帮助,可以大大节省做题的时间）(必须理解记忆)说明①函数中ａｂ值同号,图像顶点在y轴左侧同左，ａb值异号,图像顶点必在Y轴右侧异右②向左向上移动为加左上加,向右向下移动为减右下减对称点坐标:对称点坐标要记牢，相反数位置莫混淆,Ｘ轴对称y相反,Y轴对称，x前面添负号;原点对称最佳记,横纵坐标变符号。关于轴对称关于轴对称后,得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称关于轴对称后，得到的解析式是;关于轴对称后,得到的解析式是；关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是；关于原点对称后，得到的解析式是关于顶点对称关于顶点对称后,得到的解析式是;关于顶点对称后，得到的解析式是．关于点对称关于点对称后，得到的解析式是根据对称的性质,显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化,因此永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式，习惯上是先拟定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再拟定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式．1．二次函数,二次项系数是

,一次项系数是

，常数项是

。

2．函数y=ｘ2的图象叫

线，它开口向

,对称轴是

,顶点坐标为

.

3.把二次函数配方成的形式为

,它的图象是

，开口向

，顶点坐标是

，对称轴是

。

4．将抛物线y＝x２向左平移2个单位，再向下平移3个单位,则新抛物线的解析式为（

)．A.

B.

C．

D．

5.如图所示的抛物线是二次函数的图象,那么的值是

.

6.已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为

．

7已知二次函数的图象如图所示,则点在第

象限．

8.二次函数,当

时,

。此抛物线与x轴有

个交点。９抛物线的顶点坐标是(

)A.(0，1）

B.(0,-1)

C.(1，0）

D.（-1,０)

10.二次函数与x轴的交点个数是（

)A．0

B.1

Ｃ.2

D．３１1.在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象也许为(

)20２３•遵义)二次函数y=ax2+bx＋c（a≠０）的图象如图如图所示，若Ｍ=a＋b-ｃ，N＝4a－2b+c,Ｐ=2a-b.则M，N，P中,值小于０的数有()A.３个Ｂ．2个Ｃ.1个D0个D．0个分析：根据图象得到x＝-2时相应的函数值小于0,得到N=4a－2ｂ+c的值小于０，根据对称轴在直线x=－1右边，运用对称轴公式列出不等式,根据开口向下得到ａ小于0,变形即可对于Ｐ作出判断，根据ａ,ｂ,ｃ的符号判断得出ａ+b-c的符号.解答:解:∵图象开口向下,∴ａ<０，ﻫ∵对称轴在ｙ轴左侧,∴ａ,b同号，∴ａ<0,b＜0，∵图象通过y轴正半轴，ﻫ∴c>０，∴M=a+b-ｃ＜0当ｘ=-2时，y=4ａ-2ｂ+ｃ＜０,∴N=4ａ-2ｂ＋c＜0,对称抽大于-1∴b＞2a，∴2a－b<0,∴Ｐ＝2a－ｂ＜０,则M，N，P中，值小于0的数有M，Ｎ,P.故选：Ａ．(2023•漳州）二次函数y=ax2+ｂx+c（a≠０）的图象如图所示，下列结论对的的是（）A.a＜0Ｂ．b２-4ac＜0Ｃ．当-1＜x<3时，y＞0D．对称轴等于1.分析：根据二次函数的图象与系数的关系对各选项进行逐个分析即可.解答:解：A、∵抛物线的开口向上,∴a＞0,故本选项错误;ﻫB、∵抛物线与ｘ轴有两个不同的交点，∴△＝ｂ2－4aｃ＞0,故本选项错误；

C、由函数图象可知，当-１＜x＜3时，y＜0，故本选项错误；ﻫD、∵抛物线与x轴的两个交点分别是（-1，0），(３,0）,∴对称轴=−1+32=1(2０23•张家界）若正比例函数y=mｘ(m≠0），y随ｘ的增大而减小,则它和二次函数y=ｍx２+ｍ的图象大体是(）A.B．Ｃ．D.分析：根据正比例函数图象的性质拟定m<０,则二次函数y＝mx2＋ｍ的图象开口方向向下,且与ｙ轴交于负半轴．解答:解:∵正比例函数ｙ＝mｘ（m≠0）,ｙ随ｘ的增大而减小,

∴该正比例函数图象通过第二、四象限,且m<0.

∴二次函数y＝mx2＋ｍ的图象开口方向向下，且与y轴交于负半轴.

综上所述，符合题意的只有Ａ选项．

故选Ａ.(２023•岳阳)二次函数ｙ＝aｘ2＋ｂx+c的图象如图所示,对于下列结论:①ａ<0；②b＜0；③c＞０;④ｂ+2a=0;⑤a+b+c＜0．其中对的的个数是()Ａ.１个B.2个C.3个Ｄ.4个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断ｃ与０的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.解答:解：如图，①抛物线开口方向向下，则a＜0.故①对的；

②∵对称轴ｘ=-b／2a＝1,∴b=-2a＞０，即b>０.故②错误;ﻫ③∵抛物线与ｙ轴交于正半轴，∴c＞0.故③对的;ﻫ④∵对称轴x=－ｂ／2a=1∴b+2a=０.故④对的；⑤根据图示知，当x=1时,y＞0,即a+b＋c>０.故⑤错误.ﻫ综上所述,对的的说法是①③④，共有3个.故选C.(2０２3•乌鲁木齐）已知ｍ，n,k为非负实数,且m-k+1=2ｋ＋ｎ=1,则代数式2k２-8k+6的最小值为（)A.-2B．0Ｃ.2D.2.５解答:解:∵m,n，k为非负实数,且m-k+1＝２k+n=1，

∴m,n,k最小为0，当n=０时,k最大为:1/2

∴0≤k≤1／2

∵2k2-8k+６＝2（k－2）2-2,ﻫ∴a=２＞０，∴ｋ≤２时,代数式2k2-8ｋ+6的值随x的增大而减小故选:D.（２023•黔西南州)如图所示,二次函数y＝ax２+bx＋c的图象中,王刚同学观测得出了下面四条信息:（1)b2－4aｃ＞0；（2）ｃ＞1;（3）２ａ－b<0；(4）a+b+c＜０，其中错误的有(）A.1个B.2个Ｃ．３个D.4个分析:由抛物线的开口方向判断a与０的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.解答：解：（１）图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知ｂ２-4ac＞０，对的;

（2)图象与ｙ轴的交点在1的下方,所以c<１,错误;ﻫ(3）∵对称轴在-1的右边,∴-ｂ／２a＞-1，又a＜０,∴2a-b＜0,对的;ﻫ(4)当ｘ＝1时,y=a+b＋c<０，对的；ﻫ故错误的有１个.ﻫ故选：A．（2０23•茂名）下列二次函数的图象,不能通过函数ｙ=３ｘ2的图象平移得到的是（）Ａ．y＝3x２+2B.ｙ=3（ｘ-1）2C.y＝３(ｘ-1）2+2Ｄ.ｙ=2x2分析:根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小对各选项分析判断后运用排除法求解.解答：解:Ａ、ｙ=３x２的图象向上平移2个单位得到y=3ｘ2＋2,故本选项错误;ﻫB、y=３x２的图象向右平移1个单位得到y=３(x-1)２，故本选项错误；ﻫＣ、y=3x2的图象向右平移1个单位,向上平移2个单位得到ｙ=3（x-1）2+2，故本选项错误;D、y=3ｘ2的图象平移不能得到y=２x2，故本选项对的．故选D.(2０23•聊城）如图,在平面直角坐标系中，抛物线y=通过平移得到抛物线y＝−2x,其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为(）A．2B.4C．8D.１６根据抛物线解析式计算出y=−2x的顶点坐标,过点C作CＡ⊥ｙ轴于点A,根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形AＣBＯ的面积，然后求解即可．（20２3•呼和浩特)在同一直角坐标系中,函数y=ｍx+m和ｙ=-mx2+2ｘ+２（ｍ是常数，且m≠0）的图象也许是（）Ａ．Ｂ．C.D．（20２3•达州)二次函数ｙ=ax２+ｂx＋c的图象如图所示，反比例函数y＝b/x与一次函数y=cx+a在同一平面直角坐标系中的大体图象是()A．B.Ｃ.D．（20２３•包头）已知二次函数y=ａx2+bx+ｃ(ａ≠0)的图象如图所示,下列结论：①ｂ＜0;②4a+2ｂ＋ｃ＜0;③a-b+c＞0；④(ａ+c)2＜b2.其中对的的结论是（）A．①②B.①③C.①③④Ｄ．①②③④分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,运用图象将x＝１,-1，2代入函数解析式判断y的值，进而对所得结论进行判断.解答：解：①图象开口向上，对称轴在y轴右侧，能得到:a>０,－ｂ/2ａ＞0，则b<0,对的；

②∵对称轴为直线x＝1,∴x＝２与x=0时的函数值相等，∴当x=２时，y=４a＋２b+c>0，错误;ﻫ③当ｘ=-1时,y=a-b＋c>0，对的;

④∵a-b+ｃ＞0,∴a＋c＞b；∵当ｘ=1时,y=a+ｂ＋c＜0,∴a+c＜-b;∴ｂ＜a+c＜-b，∴|a+c|＜|b｜,∴(a＋c）2＜b２,对的．ﻫ所以对的的结论是①③④．故选C.（2023•松北区三模)已知抛物线的解析式为为y=(x-2）2+1,则当x≥2时,y随x增大的变化规律是()A.增大B.减小Ｃ.先增大再减小D.先减小再增大（2０23•浦东新区一模）假如抛物线y=aｘ2+ｂx＋ｃ通过点（-1,0）和(３，0)，那么对称轴是直线（）A．ｘ=0B．x=1C.x=2D．x＝3（2０23•德州）下列函数中,当ｘ＞0时,y随ｘ的增大而增大的是（）A.y=-x＋1B．y=x２－１C．ｙ=１/xD.y=-ｘ2+1(２02３•兰州)二次函数y=ax2+bx+ｃ(ａ≠０)的图象如图所示,若|ax２+bx+c|=k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(）A．k<-３Ｂ.ｋ＞-3C.k<３Ｄ.k＞3．分析:先根据题意画出y=|ａx２＋bx＋c｜的图象，即可得出｜ax2＋ｂx+c|=k（k≠0)有两个不相等的实数根时，k的取值范围.解答:解:∵当ax2+bx+c≥0,y=ax2+bｘ＋ｃ（a≠０)的图象在ｘ轴上方,ﻫ∴此时ｙ=|ax2+bx+c|＝ａx2+ｂｘ＋c，ﻫ∴此时y=｜ax2+bx+ｃ|的图象是函数y=ａｘ２+bx＋ｃ(a≠0）在x轴上方部分的图象,

∵当ax２+bx＋ｃ＜0时,y=ax2+bx+c（ａ≠0)的图象在x轴下方,

∴此时y＝|ax2+bx＋c|＝－(ａｘ2+bｘ+ｃ)ﻫ∴此时y=|ax2＋bｘ＋ｃ|的图象是函数ｙ=aｘ2＋ｂｘ+c(a≠0）在ｘ轴下方部分与x轴对称的图象，ﻫ∵y=ax2＋bx+c(a≠0）的顶点纵坐标是-3,

∴函数y=aｘ2+bx+c(ａ≠0)在ｘ轴下方部分与x轴对称的图象的顶点纵坐标是3,

∴y=|ax２+bx+ｃ|的图象如右图，

∵观测图象可得当ｋ≠0时,

函数图象在直线y＝3的上方时,纵坐标相同的点有两个，ﻫ函数图象在直线ｙ=3上时，纵坐标相同的点有三个,

函数图象在直线y＝3的下方时,纵坐标相同的点有四个，

∴若|ａx2+bｘ+c|=k（ｋ≠0)有两个不相等的实数根，ﻫ则函数图象应当在y=3的上边，

故k>3，

故选Ｄ.(20２3•镇江）如图，抛物线y=ax2＋bx（a＞0)通过原点Ｏ和点Ａ(2，0）．ﻫ（１）写出抛物线的对称轴与ｘ轴的交点坐标；

（２)点(x1，ｙ1)，（x２，ｙ2）在抛物线上，若x1＜ｘ2＜1，比较y1，ｙ2的大小;

(３）点Ｂ(-1，2）在该抛物线上,点C与点B关于抛物线的对称轴对称，求直线AＣ的函数关系式．分析:（１)根据图示可以直接写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标;ﻫ(2）根据抛物线的对称轴与x轴的交点坐标可以求得该抛物线的对称轴是x=1,然后根据函数图象的增减性进行解题；ﻫ（3）根据已知条件可以求得点C的坐标是(3，２）,所以根据点Ａ、C的坐标来求直线AC的函数关系式．解答：解：(1）根据图示，由抛物线的对称性可知,抛物线的对称轴与x轴的交点坐标（1,0）；ﻫ

(2）抛物线的对称轴是直线x=1.

根据图示知，当ｘ＜１时，y随x的增大而减小,

所以,当x1＜x２<1时,y1>y２;

（３)∵对称轴是x＝1，点B(-１，2)在该抛物线上,点Ｃ与点B关于抛物线的对称轴对称,∴点Ｃ的坐标是（3，2）．ﻫ设直线AC的关系式为ｙ=kx+b（k≠０）.0＝2k+ｂ2=3k+b解得k=２b＝−４∴直线AＣ的函数关系式是:y＝2x－４．（２023•枣庄)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x２+bｘ＋c的图象与x轴交于A、Ｂ两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3，0),与y轴交于C(0，－３)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．

(1)求这个二次函数的表达式．

(2）连接PＯ、PC,并把△ＰOC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P,使四边形PＯＰ′C为菱形？若存在,请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3)当点Ｐ运动到什么位置时，四边形AＢPＣ的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．分析：(１）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值;

（２)由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形ＰOP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上,据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出Ｐ点的坐标；

（3)由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPＣ的面积最大时,△BＰC的面积最大;过P作ｙ轴的平行线,交直线ＢC于Ｑ,交x轴于F，易求得直线BＣ的解析式,可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到ＰQ的长,以PＱ为底,B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPＣ的面积,由此可得到关于四边形ACPＢ的面积与Ｐ点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求出四边形ＡBPC的最大面积及相应的P点坐标．(2０２3•通化）某公司经销一种绿茶,每公斤成本为50元．市场调查发现,在一段时间内，销售量w(公斤）随销售单价x（元／公斤）的变化而变化,具体关系式为：w＝－2x+24０．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y(元），解答下列问题：ﻫ(１）求ｙ与x的关系式；ﻫ（2)当x取何值时，y的值最大?

（3）假如物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/公斤,公司想要在这段时间内获得22５０元的销售利润，销售单价应定为多少元?分析：(1）由于y＝(x-50)ｗ，w＝-２x＋24０ﻫ故ｙ与x的关系式为y=-2x２＋３40x－12０２3.ﻫ(2）用配方法化简函数式求出y的最大值即可.

（3）令y=225０时,求出x的解即可.解答：解:（1)y=(x-50)•w=（x-5０）•（-2x+240）=-2x2+340ｘ-１２023，

∴ｙ与x的关系式为:y=-2x2＋340x-12023.（3分）

（2）y=-2x2+34０x－１2０2３=-2（x－85）2+２45０∴当x=85时,y的值最大．(6分）ﻫ（3）当y=２250时，可得方程-２（x-８5)2+2450=2250

解这个方程，得x1＝75，x2=95

根据题意,ｘ2＝9５不合题意应舍去

∴当销售单价为7５元时,可获得销售利润22５0元．(10分)（20２３•青海)某水果批发商场经销一种高档水果,假如每公斤赚钱１0元,天天可售出50０公斤.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每公斤涨价1元，日销售量将减少２０公斤．

(1)现该商场要保证天天赚钱60０0元，同时又要顾客得到实惠，那么每公斤应涨价多少元？

(２)若该商场单纯从经济角度看,每公斤这种水果涨价多少元，能使商场获利最多?分析:本题的关键是根据题意列出一元二次方程,再求其最值.解答:解：（１）设每公斤应涨价ｘ元,则(1０+x)（500-２0x）=6000（4分）

解得x=５或x=1０,为了使顾客得到实惠，所以x＝５.(6分)ﻫ(２）设涨价x元时总利润为ｙ,ﻫ则ｙ=（10+ｘ)（5０0-20x）

＝-2０ｘ2+3０0x+5００0

=－20（x2-15ｘ）+500０

＝-２0（x2-15x+225／4-２25／４）+5000ﻫ=－２0(x－7．5)2＋61２5

当x=７.5时,y取得最大值，最大值为６125．(8分)ﻫ答：（1)要保证天天赚钱6０00元，同时又使顾客得到实惠,那么每公斤应涨价5元;

(2）若该商场单纯从经济角度看,每公斤这种水果涨价7．５元，能使商场获利最多．(10分)（20２3•锦州）如图,抛物线与ｘ轴交于A（x1,0)，Ｂ（x２，０)两点,且x1>ｘ2,与ｙ轴交于点C（0,4)，其中ｘ1,ｘ2是方程ｘ2-2x-8＝0的两个根.

（１)求这条抛物线的解析式;

（2)点Ｐ是线段AB上的动点,过点Ｐ作PＥ∥AC,交BC于点E,连接CＰ,当△ＣＰE的面积最大时,求点P的坐标;

（3)探究:若点Q是抛物线对称轴上的点,是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.分析：（1)先通过解方程求出A，B两点的坐标,然后根据A，B,Ｃ三点的坐标,用待定系数法求出抛物线的解析式.

（２）本题要通过求△CPE的面积与P点横坐标的函数关系式而后根据函数的性质来求△CPＥ的面积的最大值以及相应的P的坐标．△CPE的面积无法直接表达出，可用△CＰB和△BEP的面积差来求,设出P点的坐标,即可表达出BP的长,可通过相似三角形△BEP和△BAC求出．△BEP中ＢP边上的高，然后根据三角形面积计算方法即可得出△ＣEP的面积，然后根据上面分析的环节即可求出所求的值．

(3）本题要分三种情况进行讨论：ﻫ①QＣ=ＢC，那么Q点的纵坐标就是C点的纵坐标减去或加上BＣ的长．由此可得出Q点的坐标．

②QB=ＢC,此时Q,C关于x轴对称，据此可求出Q点的坐标．ﻫ③QB=QＣ,Ｑ点在BC的垂直平分线上，可通过相似三角形来求出QC的长，进而求出Ｑ点的坐标.(２023•天水)如左图,在平面直角坐标系中,二次函数y＝aｘ2+ｂx＋c（a＞0)的图象的顶点为Ｄ点，与y轴交于Ｃ点,与ｘ轴交于Ａ、B两点,Ａ点在原点的左侧，B点的坐标为（3，０），OB=OC,tａn∠AＣO＝1/3(1）求这个二次函数的表达式．ﻫ（2)通过C、D两点的直线，与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点Ａ、Ｃ、E、Ｆ为顶点的四边形为平行四边形？若存在,请求出点F的坐标；若不存在,请说明理由.ﻫ(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切,求该圆半径的长度．

(4）如图,若点G(2，y)是该抛物线上一点,点Ｐ是直线AG下方的抛物线上一动点，当点Ｐ运动到什么位置时,△AＰG的面积最大？求出此时P点的坐标和△AＰG的最大面积．

考点：二次函数综合题.专题:压轴题.分析：（1)求二次函数的表达式,需规定出Ａ、B、C三点坐标.已知B点坐标，且OB=OC，可知C（0，３），tan∠AＣＯ=13，则Ａ坐标为(－1,０）.将A，B，Ｃ三点坐标代入关系式,可求得二次函数的表达式．

（2）假设存在这样的点F（m,ｎ),已知抛物线关系式,求出顶点D坐标，今儿求出直线CD,E是直线与x轴交点,可得E点坐标．四边形AEＣF为平行四边形，则CE∥ＡF,则两直线斜率相等,可列等式（１）,CＥ=ＡＦ,可列等式(２),Ｆ在抛物线上，为等式(３),根据这三个等式，即可求出ｍ、n是否存在.ﻫ（3）分情况讨论，当圆在x轴上方时,根据题意可知,圆心必然在抛物线的对称轴上，设圆半径为r,则N的坐标为(r+1，r),将其代入抛物线解析式，可求出r的值．当圆在x轴的下方时，方法同上，只是N的坐标变为（r+1,-ｒ），代入抛物线解析式即可求解．ﻫ（4）Ｇ在抛物线上,代入解析式求出G点坐标,设点P的坐标为（x，ｙ）,即（x，x2-2x－3）已知点A、G坐标,可求出线段AG的长度，以及直线AＧ的解析式,再根据点到直线的距离求出P到直线的距离,即为三角形ＡGＰ的高,从而用ｘ表达出三角形的面积,然后求当面积最大时ｘ的值.(２023•青海）矩形ＯＡBC在平面直角坐标系中位置如图所示,A、C两点的坐标分别为Ａ（6，0)，C(0，－3）,直线y=-３／4x与BC边相交于D点.（１）求点D的坐标；ﻫ(２)若抛物线y＝ax２-9/4ｘ通过点Ａ，试拟定此抛物线的表达式;(3）设(2)中的抛物线的对称轴与直线OD交于点Ｍ，点P为对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCＤ相似，求符合条件的点P的坐标.分析:前两问由抛物线性质，用待定系数求出点D的坐标和抛物线的表达式；最后一问找三角形相似,作辅助线过点O作ＯＤ的垂线交抛物线的对称轴于点P２，再根据相似三角形比例关系求出P点坐标.（2023•临沂)如图，抛物线通过Ａ(4，０），Ｂ（1,０）,C（0,-2）三点.

（１）求出抛物线的解析式;ﻫ(2)Ｐ是抛物线上一动点，过Ｐ作PＭ⊥x轴，垂足为M,是否存在P点,使得以A，Ｐ,M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由;ﻫ（3)在直线ＡＣ上方的抛物线上有一点D，使得△DCＡ的面积最大,求出点Ｄ的坐标.．分析：（1)已知抛物线通过A(4，0)，B(１,0),可设抛物线解析式的交点式,再把C(0,－2）代入即可；ﻫ（２）∵△OＡC是直角三角形,以A,P,Ｍ为顶点的三角形与其相似,由于点P也许在x轴的上方,或者下方,分三种情况，分别用相似比解答;ﻫ（3)过D作y轴的平行线交ＡC于E,将△DＣＡ分割成两个三角形△CDＥ，△AＤE，它们的底相同，为DE,高的和为4,就可以表达它们的面积和，即△ＤCA的面积,运用代数式的变形求最大值.（2023•江苏)如图，已知二次函数ｙ=ｘ2－２ｘ－1的图象的顶点为Ａ.二次函数y＝ax2+bｘ的图象与x轴交于原点Ｏ及另一点C,它的顶点B在函数ｙ=x2－2x-１的图象的对称轴上．ﻫ(1)求点A与点C的坐标；ﻫ（2)当四边形AOBC为菱形时，求函数y＝aｘ２+bx的关系式..分析：(1)二次函数ｙ=ax2+bx的顶点在已知二次函数抛物线的对称轴上,可知两个函数对称轴相等,因此先根据已知函数求出对称轴.ｙ＝x2－2ｘ-１=（x-1)２-2,所以顶点A的坐标为（1，-2)对称轴为x=1,ﻫ所以二次函数y＝ax2＋bx关于x=1对称，且函数与ｘ轴的交点分别是原点和Ｃ点，

所以点C和点O关于直线ｌ对称,所以点C的坐标为(2,0）；

(2)由于四边形AOBＣ是菱形，根据菱形性质,可以得出点O和点Ｃ关于直线AB对称,点B和点A关于直线OC对称，因此，可求出点Ｂ的坐标，点Ｂ的坐标为（1，２),

二次函数y=ax2+bｘ的图象通过点B(1，2）,C（2，0）,将B，C代入解析式,可