【含五套中考卷】北京海淀区名校2019年中考数学模拟试卷(含答案解析)

北京海淀区名校2019年中考数学模拟试卷（含答案解析）

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清

楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答

题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题

1.一）的绝对值是（）

4

A.-

4

C.4

D.0.4

2.下列几何体中，正视图是矩形的是（）

D.

D.a8_ra2=a4

4.如图，AB〃CD,DB±BC,Z1=40°,则N2的度数是（）

A.40°B.5

0°C.60°

D.140°

x的增大而减小，则其图象可能是（）

C.

6.如图,在z^ABC中,AB=AC=13,BC=10,点D为BC的中点，DE_LAB,垂足为点E,则DE等于（)

3-D，

A.10B.

13

15C.60

13

D.75

13

y=x+2与y轴交于点A,将直线1绕点A旋转90°后，所得直线的解析式为()

B.y=

x+2C.y=-x-

2D.y=-2x-1

8.如图，在平行四边形ABCD中，ZC=120°,AD=2AB=4,点H、G分别是边AD、BC上的动点.连接AH、

HG,点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF.则EF的最大值与最小值的差为（）

3

A.1B.

1c.更

2

D.2-6

9.如图，。0的直径CD过弦EF的中点G,ZE0D=40°,则NDCF等于（）

A.80°B.

50°C.4

0°D.20°

10.二次函数产(x-1)2+(x-3)2与尸(x+a)2+(x+b)2的图象关于y轴对称，则(a+1)2+(1+b)2

的值为()

A.9B.

10C.

20D.

25

二、填空题

11.分解因式：x2-4（x-1）=.

12.一个七边形的外角和是.

13.计划在楼层间修建一个坡角为35。的楼梯，若楼层间高度为2.7m,为了节省成本，现要将楼梯坡角增

加11°,则楼梯的斜面长度约减少m.（用科学计算器计算，结果精确到0.01m）.

14.如图，在平面直角坐标系中，点M、N分别为反比例函数产康和产号的图象上的点，顺次连接M、0、

N,ZM0N=90°,Z0NM=30°,则k=

15.如图，ZkAPB中，AB=2,NAPB=90°,在AB的同侧作正△ABD、正AAPE和正△BPC,则四边形PCDE面

积的最大值是.

三、解答题

16.(--(2017-n)°-|-2|+2sin60°.

17.化简：(系一战)一言.

18.如图，已知线段a和b,a>b,求作直角三角形ABC,使直角三角形的斜边AB=a,直角边AC=b.(用

尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)

19.咸阳市教育局为了了解七年级学生参加社会实践活动情况，随机抽取了泰郡区部分七年级学生2015-

2016学年第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图，下面给出了两幅不完

整的统计图.

请根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)a=%,并写出该扇形所对圆心角的度数为,并补全条形图________.

(2)在本次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？

(3)如果该区共有七年级学生约4000人，请你估计活动时间不少于6天的学生人数大约有多少？

20.如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE〃AC交AB于E,DF〃AB交AC于F.

(1)求证：AE=DF；

(2)若AD平分NBAC,试判断四边形AEDF的形状，并说明理由.

21.给窗户装遮阳棚，其目的为最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入

室内，现请你为我校新建成的高中部教学楼朝南的窗户设计一个直角形遮阳蓬BCD,如图，已知窗户AB

高度为h=2米，本地冬至日正午时刻太阳光与地面的最小夹角a=32",夏至日正午时刻太阳光与地面的

最大夹角e=79°,请分别计算直角形遮阳蓬BCD中BC,CD的长（结果精确到0.1米）

22.市园林处为了对一段公路进行绿化，计划购买A,B两种风景树共900棵.A,B两种树的相关信息如

表：

品种项目单价（元/棵）成活率

A8092%

B10098%

若购买A种树x棵，购树所需的总费用为y元.

（1）求y与x之间的函数关系式.

（2）若希望这批树的成活率不低于94%,且使购树的总费用最低，应选购A、B两种树各多少棵？此时最

低费用为多少？

23.现有一项资助贫困生的公益活动由你来主持，每位参与者需交赞助费5元，活动规则如下：如图是两

个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成6个相等的扇形，参与者转动这两个转盘，转盘停止后，指针各

自指向一个数字，（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一数字为止），若指针最后所指的

数字之和为12,则获得一等奖，奖金20元；数字之和为9,则获得二等奖，奖金10元；数字之和为7,

则获得三等奖，奖金为5元；其余均不得奖；此次活动所集到的赞助费除支付获奖人员的奖金外，其余全

部用于资助贫困生的学习和生活；

（1）分别求出此次活动中获得一等奖、二等奖、三等奖的概率；

（2）若此次活动有2000人参加，活动结束后至少有多少赞助费用于资助贫困生？

24.如图所示，以RtZkABC的直角边AB为直径作圆0,与斜边交于点D,E为BC边上的中点，连接DE.

（1）求证：DE是。。的切线；

（2）连接OE,AE,当NCAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？并在此条件下求sin/CAE的值.

25.如图已知点A(-2,4)和点B(1,0)都在抛物线产mx^+Zrax+n上.

(2)向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A',点B的对应点为B',若四边形AA，B'B为

菱形，求平移后抛物线的表达式；

(3)记平移后抛物线的对称轴与直线AB'的交点为点C,试在x轴上找点D,使得以点B',C,D为顶

点的三角形与AABC相似.

26.已知△ABC,以AC为边在aABC外作等腰4ACD,其中AC=AD.

(1)如图1,若NDAC=2NABC,AC=BC,四边形ABCD是平行四边形，则NABC=；

(2)如图2,若NABC=30°,Z\ACD是等边三角形，AB=3,BC=4.求BD的长；

(3)如图3,若NABC=30°,ZACD=45°,AC=2,B、D之间距离是否有最大值？如有求出最大值；若不

存在，说明理由.

答案解析部分

一、选择题

1.【答案】B

【考点】绝对值

【解析】【解答】一］的绝对值是

故答案为：B

【分析】依据负数的绝对值是它的相反数求解即可.

2.【答案】B

【考点】简单几何体的三视图

【解析】【解答】A、球的正视图是圆，A不符合题意；

B、圆柱的正视图是矩形，B符合题意；

C、圆锥的正视图是等腰三角形，C不符合题意；

D、圆台的正视图是等腰梯形，D不符合题意；

故答案为：B.

【分析】正视图是从几何体的正面观察所得得到的图形.

3.【答案】C

【考点】同底数幕的乘法

【解析】【解答】A、不是同底数幕的乘法指数不能相减，A不符合题意；

B、积的乘方等于乘方的积，B不符合题意；

C、单项式乘单项式系数乘系数同底数的嘉相乘，C符合题意；

D、同底数塞的除法底数不变指数相减，D不符合题意.

故答案为：C.

【分析】依据同类项与合并同类项法则可对A作出判断；依据积的乘方法则可对B作出判断；依据单项式

乘单项式法则可对C作出判断；依据同底数幕的除法法则可对D作出判断.

4.【答案】B

【考点】平行线的性质

【解析】【解答】

4/

________一九

VAB/7CD,Zl=40°,

.•,Z3=Z1=4O°,

VDB±BC,

.•,Z2=90°-Z3=90°-40°=50°.

故答案为：B.

【分析】首先依据平行线的性质可求得N3的度数，然后在RtaCBD中，依据直角三角形两锐角互余求解

即可.

5.【答案】B

【考点】一次函数的图象

【解析】【解答】由丫=Jax-a中，y随x的增大而减小，得aVO,-a>0,

故答案为：B.

【分析】先依据一次函数的性质可得到［aVO,从而可求得a的范围，然后可得到-a>0,最后，依据一

次函数的性质确定出函数图象经过的象限，从而可得到问题的答案.

6.【答案】C

【考点】全等三角形的性质，等腰三角形的性质

【解析】【解答】连接AD,

：\

方\一七

VAB=AC,D是BC的中点,

.♦.ADJLBC,BD=CD=9X10=5

•"•AD='13’-5°=12.

VAABC的面积是aABD面积的2倍.

二2・《AB・DE=S・BC・AD,

DE-’IT-B-

故答案为：C.

【分析】连接AD,依据等腰三角形的性质可得到ADJ_BC,然后依据勾股定理可求得AD的长，然后再^ABD

中利用面积法可求得DE的长.

7.【答案】B

【考点】一次函数图象与几何变换

【解析】【解答】•.•直线1：y=x+2与y轴交于点A,

AA(0,2).

设旋转后的直线解析式为：y=-x+b,

则：2=0+b,

解得：b=2,

故解析式为：y=-x+2.

故答案为：B.

【分析】先求得点A的坐标为(0,2),由题意可知旋转前后的两条直线相互垂直，依据相互垂直的两条

直线的一次项系数乘积为-1可设设旋转后的直线解析式为：y=-x+b,最后，将点A的坐标代入求得b的

值即可.

8.【答案】C

【考点】三角形中位线定理，平行四边形的性质

【解析】【解答】如图，取AD的中点M,连接CM、AG、AC,作AN_LBC于N.

•••四边形ABCD是平行四边形，ZBCD=120°,

AZD=180°-ZBCD=60°,AB=CD=2,

VAM=DM=DC=2,

.•.△CDM是等边三角形，

AZDMC=ZMCD=60°,AM=MC,

AZMAC=ZMCA=30°,

ZACD=90",

：.kC=2百,

在RtZ\ACN中，VAC=2百,ZACN=ZDAC=30°,

AAN=|AC=4,

VAE=EH,GF=FH,

r.EF=4AG,

易知AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，

；.AG的最大值为24，最小值为也,

.•.EF的最大值为门，最小值为g,

.•.EF的最大值与最小值的差为瓦

2

故答案为：C.

【分析】取AD的中点M,连接CM、AG、AC,作ANLBC于N.首先证明出4CDM是等边三角形，从而可得

到NACD=90°,然后再求出AC,AN,依据三角形中位线定理，可知EF=《AG,然后求出AG的最大值以及

最小值，从而可得到EF的最大值和最小值.

9.【答案】D

【考点】垂径定理，圆周角定理

【解析】【解答】:。。的直径CD过弦EF的中点G,

A俞=诉（垂径定理），

AZDCF=[/EOD（等弧所对的圆周角是圆心角的一半），

.,,ZDCF=20°.

故答案为：D.

【分析】依据垂径定理的推理可知病=命，最后，再依据圆周角定理可求得NDCF的度数.

10.【答案】C

【考点】二次函数图象与几何变换

【解析】【解答】•.•二次函数y=(x-1)2+(x-3)②与丫=(x+a)2+(x+b)②的图象关于y轴对称，

.,.y=(x+a)2+(x+b)?的解析式为：y=(-x-1)2+(-x-3)2=(x+1)2+(x+3)2,

a=l,b=3.

，(a+1)2+(1+b)2=22+42=20.

故答案为：C.

【分析】依据关于y轴对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相等可得到y=(x+a)、(x+b)?的函数关系

式，从而可得到a、b的值，然后代入计算即可.

二、填空题

11.【答案】(x-2)2

【考点】因式分解-运用公式法

【解析】【解答】解：X2-4(X-1)

=x2-4x+4

=(x-2)2.

故答案为：(x-2)②.

【分析】先去括号，然后依据完全平方公式进行分解即可.

12.【答案】360°

【考点】多边形内角与外角

【解析】【解答】解：一个七边形的外角和是360°,

故答案为：360°.

【分析】依据任意多边形的外角和为360°求解即可.

13.【答案】0.95

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题

【解析】【解答】解：二•坡角为35°,楼层间高度为2.7m,

，楼梯的斜面长度=11==4.703(m),

~V-.-R0.W574i

•••将楼梯坡角增加11°后，楼梯的斜面长度=一书七3.755(m),

二楼梯的斜面长度约减少4.703-3.755-0.95(m),

故答案为:0.95

【分析】根据三角函数的定义分别求出坡角为35°和46°时，楼梯的斜面长度，然后再相减即可.

14.【答案】-6

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征

【解析】【解答】解：分别过M,N作MA_Lx轴于A,NB_Lx轴于B,

ZM0N=90°，Z0NM=30

■777^=tan30

UN

•••N在第四象限，

.,.kVO,VZB0N=Z0MA=90°-NMOA,ZMAO=ZOBM=90°,

AMOA^AONB,

.OA_MA_OM_J-

"BN~OB'ON~招’

.•.BN=J3OA,OB=J3MA,

Ak=-BM・OB=-3OA«MA=-3X2=-6,

故答案为：-6.

【分析】过点M作岫_1_*轴垂足为A,过点N作NB_Lx轴垂足为B,根据30°的正切函数值得到洪=tan30°,

然后再证明△MOAsZiONB,依据相似三角形的性质可求得BN=〃OA,OB=〃MA,由k的几何意义可知

k=-BM・0B=-30A・MA,从而可求得问题的答案.

15.【答案】1

【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质

【解析】【解答】解：延长EP交BC于点F,

S

VZAPB=90°,ZAPE=ZBPC=60°,

ZEPC=150°,

AZCPF=180°-150°=30°,

；.PF平分NBPC,

XVPB=PC,

.*.PF±BC,

设RtZ\ABP中，AP=a,BP=b,则

CF=1CP=a2+b2=22=4,

VAAPE和aABD都是等边三角形，

.*.AE=AP,AD=AB,ZEAP=ZDAB=60°,

:.ZEAD=ZPAB,

AAEAD^APAB(SAS),

••.ED=PB=CP,

同理可得：^APB丝ZWCB(SAS),

.,,EP=AP=CD,

•••四边形CDEP是平行四边形，

二四边形CDEP的面积=EPXCF=aX[b=[ab,

又,:(a-b)'a?-2ab+b,0,

.,-2ab^a2+bM,

AJabWL

即四边形PCDE面积的最大值为1.

故答案为：1【分析】延长EP交BC于点F,先证明PFLBC,然后，再证明四边形CDEP为平行四边形，则

四边形CDEP的面积=EPXCF,设RSABP中，AP=a,BP=b,则CF=\cP=1b,依据勾股定理可知：

a2+b2=22=4,于是可判定出ab的最大值.

三、解答题

16.【答案】解:原式=4-1-2+0+4=1+24.

【考点】实数的运算，零指数塞，负整数指数幕，特殊角的三角函数值

【解析】【分析】先依据负整数指数幕的性质、零指数幕的性质、绝对值的性质、特殊锐角三角函数值进

行化简，然后，再依据实数的加减法则进行计算即可.

17.【答案】解：原式=（二-•"心7）

x+2x-24

x+1

=-2

【考点】分式的混合运算

【解析】【分析】先将除法转化为乘法，然后再利用平方差公式进行分解，接下来，利用乘法的分配律进

行计算，最后，再合并同类项即可.

18.【答案】解：如图，

△ABC为所求作的直角三角形.

【考点】作图一复杂作图

【解析】【分析】作线段AC=b,再过点C作AC的垂线，然后以点A为圆心，以a为半径画弧交此垂线于

B,则△ABC就是所要求作的三角形.

19.【答案】(1)10；36°；

(2)解：抽样调查中总人数为100人,

结合条形统计图可得：众数是5,中位数是6.

(3)解：根据题意得：

4000X(25%+10%+5%+20%)=2400(人),

活动时间不少于6天的学生人数大约有2400人.

【考点】用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图

【解析】【解答］解：(1)扇形统计图中a=l-5%-40%-20%-25%=10%,

该扇形所对圆心角的度数为360°X10%=36°,

参加社会实践活动的天数为8天的人数是：需X10%=10(人)，

(2)抽样调查中总人数为100人，

结合条形统计图可得：众数是5,中位数是6.

(3)根据题意得:4000X(25%+10%+5%+20%)=2400(人)，

活动时间不少于6天的学生人数大约有2400人.

故答案为：(1)10；36°；(2)众数是5,中位数是6；(3)2400人.

【分析】(1)再扇形统计图中各扇形所占的百分比之和为1,故此可求得a的值，然后依据圆心角的度

数=360°义百分比求解即可；，用360°乘以它所占的百分比，根据6天的人数和所占的百分比求出总人

数，再乘以8天的人数所占的百分比，即可补全统计图；

(2)这组数据中出现次数最多的数据为这组数据的众数，将这组数据按照从小到大的顺序排列，中间两

个数据的平均数就是这组数据的中位数；

(3)用总人数乘以活动时间不少于6天的人数所占的百分比即可求出答案.

20.【答案】(1)证明：VDE#AC,DF〃AB,

•••四边形AEDF是平行四边形，

/.AE=DF；

(2)证明：若AD平分NBAC,四边形AEDF是菱形.

由(1)可知：四边形AEDF为平行四边形.

二ZFDA=ZEAD.

又TAD平分NBAC,

:.ZEAD=ZFAD,

二ZDAF=ZFDA.

.*.AF=DF.

二平行四边形AEDF为菱形.

【考点】全等三角形的判定与性质，菱形的判定

【解析】【分析】（1）先依据平行四边形的定义可知四边形AEDF是平行四边形，然后再依据平行四边形

的对边相等进行证明即可；

（2）由（1）可知四边形AEDF是平行四边形，贝!|NFDA=NEAD.,再利用AD是角平分线，易证NDAF=NFDA,

利用等角对等边，可得AF=DF,从而可证。AEDF为菱形.

21.【答案】解：根据内错角相等可知，ZBDC=a,ZADC=6.

在RtaBCD中，tana=%.①

在RtZ\ADC中，tanB=.②

1:htana

\~taii]3-tcDia

由①、②可得：

\cD=_____-_____

1itantana

把h=2,tan320=0.64,tan79°=7.60代入上式，得BC^O.2（米），CD*O.3（米）.

所以直角遮阳蓬BCD中BC与CD的长分别是0.2米和0.3米.

【考点】解直角三角形的应用

【解析】【分析】在RtZ\BCD和RtZ\ADC中，依据正切函数的定义列出方程组，从而可求得BC和CD的长.

22.【答案】（1）解：由题意，得：y=80x+100（900-x）

化简，得：y=-20x+90000（0WxW900且为整数）；

（2）解：由题意得：92%x+98%（900-x）294%*900,

解得：xW600.

Vy=-20x+90000随x的增大而减小，

二当x=600时，购树费用最低为y=-20X600+90000=78000.

当x=600时，900-x=300,

故此时应购A种树600棵，B种树300棵，最低费用为78000元.

【考点】一次函数的应用

【解析】【分析】（1）设购买A种树x棵，购买B种树（900-x）棵，根据购树的总费用=买A种树的费

用+买B种树的费用可得出y与x的函数关系式；

（2）先根据A种树成活的数量+B种树成活的数量，树的总量X平均成活率列出不等式，得出x的取值范

围，然后根据一次函数的性质判断出最佳的方案.

23.【答案】（1）解：列表得：

和123456

1234567

2345678

3456789

45678910

567891011

6789101112

.••一共有36种情况，此次活动中获得一等奖、二等奖、三等奖的分别有1,4,6种情况,

...P（一等奖）二表；PU等奖）=卞P（三等奖）川

(2)解：(JrX20+X10+4X5)X2000=5000,

30>O

5X2000-5000-5000,

二活动结束后至少有5000元赞助费用于资助贫困生.

【考点】列表法与树状图法

【解析】【分析】（1）先依据题意列出表格，列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答

即可.

（2）总费用减去奖金即为所求的金额.

24.【答案】（1）证明：连接0D与BD.

VABDCftRtA,且E为BC中点,

二ZEDB=ZEBD.

又VOD=OB且NEBD+ZDB0=90°,

AZEDB+Z0DB=90°.

ADEMOO的切线.

(2)解：VZEDO=ZB=90",

若要四边形AOED是平行四边形，则DE〃AB,D为AC中点，

XVBD1AC,

.•.△ABC为等腰直角三角形.

.".ZCAB=45".

过E作EH±AC于H,

设BC=2k,则EH=£工，_史=6父

AsinZCAE=EH__叵.

一10

【考点】平行四边形的判定，切线的判定

【解析】【分析】（1）连接0D与BD,依据直径所对的圆周角为直径可得到NADB=90°,然后可证明△

BCD为直角三角形，依据直角三角形斜边上中线的性质可得到DE=EB,从而可证明NEDB=NEB0,然后再由

N0DB=N0BD可证明N0DE=NEB0=90°；

（2）要证AOED是平行四边形，则DE〃AB,然后再证明aABC为等腰直角三角形，从而可得到NCAB=45°,

再利用此结论，过E作EH_LAC于H,求出EH、AE,即可求得sinNCAE的值.

25.【答案】(1)解：由于抛物线经过A(-2,4)和点B(1,0),则有:

4〃计〃=4,解得口=一4

物+〃=0I〃=4

故m=-n=4.

(2)解：由(1)得：y=-x2-。x+4=--j(x+1)2+；

由A(-2,4)、B(1,0),可得AB=J(l+2)2+(O-4)：=5?

若四边形AA'B'B为菱形，则AB=BB'=5,即B'(6,0)；

故抛物线需向右平移5个单位，即：

y=-4(x+1-5)2+竽=-(x-4)2+学.

(3)解：由(2)得：平移后抛物线的对称轴为：x=4；

VA(-2,4),Bz(6,0),

二直线AB'：y=-Jx+3；

当x==4时，y=l,故C(4,1)；

所以：AC=36，B'C=&BC=弧；

由(2)知：AB=BB/=5,即NBAC=NBB'C；

若以点B'、C、D为顶点的三角形与aABC相似，贝!|：

①NB，CD=ZABC,则AB，CD^AABC,可得：

BCBDpn后BD酎骨

~AB=AC'即行=消

此时D(3,0)；

②NB'DC=NABC,则AB'DC^AABC,可得：

5'CB'D即6BDR,rt5

JC=J5*即索=丁

此时D(孝，0)；

综上所述，存在符合条件的D点，且坐标为：D(3,0)或(¥，0).

【考点】二次函数的应用

【解析】【分析】(1)将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得m,n的值，从而可得到抛物线的

解析式；

(2)先求得直线AB的解析式，根据平移的性质可得到四边形AA，B，B为平行四边形，若四边形AA，

B'B为菱形，则AB=BB，,由此可确定平移的距离，根据“左加右减”的平移规律即可求得平移后的抛物

线解析式.

(3)先求得直线AB'的解析式，然后可求得点C点的坐标，接下来，再求出AB、BC、AC、B，C的长；

在(2)题中已经证得AB=BB',那么NBAC=NBB'C,即A、B，对应，若以点B'、C、D为顶点的三角形

与△ABC相似，可分两种情况考虑：①NB，CD=ZABC,此时AB，CD^AABC,②NB'DC=ZABC,此时△

B'DC-AABC,最后，再根据上述两种不同的相似三角形所得不同的比例线段，即可求得不同的BD长，

从而可求得D点的坐标.

26.【答案】(1)45°

(2)解：如图2,以AB为边在△ABC外作等边三角形△ABE,连接CE.

VAACD是等边三角形，

/.AD=AC,ZDAC=60°.

VZBAE=60°,

:.NDAC+NBAC=NBAE+NBAC.

即NEAONBAD

AAEAC^ABAD.

AEC=BD.

VZBAE=60°,AE=AB=3,

••■△AEB是等边三角形，

,NEBA=60°,EB=3,

VZABC=30°,

：.ZEBC=90°.

VZEBC=90°,EB=3,BCM,

AEC=5.

/.BD=5.

(3)解：如图3中，在4ACD的外部作等边三角形△ACO,以0为圆心0A为半径作。0.

ED

T

图3

；NABC=、NA0C=30°,

.•.点B在。。上运动，

作OE±DA交DA的延长线于E.

在RtZ\AOE中，0A=AC=2,ZEA0=30",

.*.0E=[oA=l,AE=W，

在RtAODE中，DE=AE+AD=2+收，

AD0=J（2+向+F=6出

当B、0、D共线时，BD的值最大，最大值为0B+0D=2+而+也.

【考点】等边三角形的判定与性质

【解析】【解答］解：（1）解：（1）如图1中，

*BB!

VAD/7BC,

AZDAC=ZBCA.ZDAB+ZABC=180°.

VAC=BC,

AZABC=ZBAC.

■:ZDAC=2ZABC,

A2ZABC+2ZABC=180°,

AZABC=45°

(2)如图2,以AB为边在△ABC外作等边三角形△ABE,连接CE.

VAACD是等边三角形,

AAD-AC,NDAC=60°.

VZBAE=60",

NDAC+NBAC=NBAE+NBAC.

即NEAC=NBAD

.,,△EAC^ABAD.

.•,EC=BD.

VZBAE=60",AE=AB=3,

.•.△AEB是等边三角形，

.,.ZEBA=60°,EB=3,

VZABC=30",

.*.ZEBC=90".

VZEBC=90°,EB=3,BC=4,

.*.EC=5.

.*.BD=5.

(3)如图3中，在4ACD的外部作等边三角形△ACO,以0为圆心0A为半径作。0.

图3

VZABC=4ZA0C=30°,

...点B在。。上运动，

作OE±DA交DA的延长线于E.

在RtZ\AOE中，0A=AC=2,ZEA0=30°,

/.0E=)0A=LAE=和

在RtAODE中，DE=AE+AD=2+收，

JDE?+OE2=Jq+后+产后+日

当B、0、D共线时，BD的值最大，最大值为0B+0D=2+尸+也.

故答案为：(1)45；(2)5；(3)2+折+位.

【分析】(1)依据等角对等边的性质可得到ND=NACD,然后平行四边形的性质得ND=NABC,接下来，

在4ACD中，由内角和定理求解即可；

(2)在aABC外作等边aBAE,连接CE,利用旋转法证明△EACgZkBAD,可证NEBC=90°,BE=AB=3,在

RtaBCE中，由勾股定理求CE,由三角形全等得BD=CE；

(3)在4ACD的外部作等边三角形△ACO,以0为圆心0A为半径作。0.首先说明点B在。0上运动，当

B、0、D共线时，BD的值最大，求出0D即可解决问题.

中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题,每小题4分,满分40分）

1.在实数2,0,-1,-2中，最小的实数是（）

A.2B.0C.-lD.-2

【解析】选D.WkOQ,.•.最小的实数是-2.

2.下列二次根式中,与的积为有理数的是（）

【解析】选A.A、、瓜=3”,3\/5x、/=6,符合题意；

f-r-r-

\3\3（-\16

B、原式=『2L_X\'2=¥不符合题意；

C、原式=2\/3,2XA/2=2X/6,不符合题意；

D、原式=-3\后,-3、/§X\/8=-3,%,不符合题意.

3.近年来,随着交通网络的不断完善,我市近郊游持续升温.据统计,在今年“五一”期间,某风景区接待游

览的人数约为20.3万人,20.3万用科学记数法表示为

（）

A.20.3X104B.2.03X105

C.2.03X104D.2.03X103

【解析】选B.；20.3万=203000,.*.203000=2.03X105.

4.一个长方体和一个圆柱体按如图所示方式摆放，其主视图是（）

【解析】选C.从正面看下边是一个矩形,右边向上一个矩形.

5.设n=JH-1,那么n值介于下列哪两数之间()

A.1与2B.2与3C.3与4D.4与5

【解析】选B.JH<4,

6.某工厂今年1月份的产量是50万元,3月份的产值达到了72万元.若求2,3月份的产值平均增长率,设

这两个月的产值平均月增长率为X,依题意可列方程

()

A.72(x+1)2=50B.50(x+1)?=72

C.50(x-D!72D.72(x-1)2=50

【解析】选B.根据题意，得50(x+1)J72.

7.因干旱影响,市政府号召全市居民节约用水.为了了解居民节约用水的情况,小张在某小区随机调查了五

户居民家庭2016年5月份的用水量:6吨,7吨,9吨,8吨,10吨.则关于这五户居民家庭月用水量的下列说

法中，错误的是()

A.平均数是8吨B.中位数是9吨

C.极差是4吨D.方差是2

【解析】选B.A.月用水量的平均数是8吨,正确;B.月用水量的中位数是8吨,错误;C.月用水量的极差是4

吨,正确;D.月用水量的方差是2,正确

8.如图所示,在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D,E分别在边AB,AC上，将△ABC沿着DE折叠压

平,A与A'重合，若NA=70°，则Nl+N2=()

A.70°B.110°C.130°D.140°

【解析】选D.•.•四边形ADA'E的内角和为(4-2)•180°=360°,

而由折叠可知NAED=NA'ED,NADE=NA'DE,NA=NA',

.♦.NAED+NA'ED+NADE+NA'DE=360°-NA-NA'=360°-2X70°=220°,

.,.Zl+Z2=180°X2-（ZAED+ZA,ED+NADE+NA'D玲=140°.

9.如图所示,在矩形ABCD中,AB=，5,BC=2,对角线AC,BD相交于点0,过点0作0E垂直AC交AD于点E,则

AE的长是（）

D.1.5

【解析】选D.♦.•AB=7'2，BC=2,

'KAB2+8。2=\后，.••A0，W

VEO±AC,/.ZA0E=ZADC=90",

XVZEAOZCAD,/.△AEO^AACD,

解得AE=1.5.

10.如图所示,正方形ABCD边长为1,E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA上的点,且AE=BF=CG=DH.设小正方形

EFGH的面积为y,AE=x.则y关于x的函数图象大致是

［解析］选C.依题意,得y=S正方形AB0）_SAABrSABEF_SACTC_SADGH=］_4X—•（］_X）X=2X2_2X+］,即y=2x2-2x+l（O^x^

2

1）,

1

抛物线开口向上,对称轴为X=一

2

二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,满分20分）

11.计算:</8=______.

【解析】•••2J8,.•.<8=2.

答案：2

12.如图，00的半径是2,NACB=30°，则，，的长是.（结果保留n）

【解析】VZACB=300,

ZAOB=60°,

607rx22

则的长是

1803

2

答案:一几

3

25101726

13.按一定规律排列的一列数依次为一,「一,—,—,…,按此规律排列下去,这列数的第n个数是

38152435

.（n是正整数）

【解析】第一个数的分子为r+1=2,分母为2?-1,

第二个数的分子为2?+1=5,分母为32-1,

第三个数的分子为32+1=10,分母为d-l,

第n个数的分子为n2+l,分母为(n+1)2-l.

n2+l

所以第n个数是---------------

(n+1)2-1

(n+l)2-1

14.如图,E,F,G,H分别是BD,BC,AC,AD的中点,且AB=CD.下列结论:①EG_LFH,②四边形EFGH是矩形,③HF

平分NEHG,④EG=1(BC-AD),⑤四边形EFGH是菱形.其中正确的是(把所有正确结论的序号都选

2

上).

［解析1VE,F,G,H分别是BD,BC,AC,AD的中点，

1111

.,.EF=-CD,FG=-^B,GH=-CD,HE=-AB,

2222

VAB=CD,

.•.EF=FOGH=HE,

二四边形EFGH是菱形，

...①EGLFH,正确；

②四边形EFGH是矩形,错误；

③HF平分NEHG,正确；

1

@EG-_(BC-AD),只有AD〃BC时才可以成立,而本题AD与BC很显然不平行,故本小题错误;

2

⑤四边形EFGH是菱形,正确.

综上所述,①③⑤共3个正确.

答案:①©(§)

三、（本大题共2小题,每小题8分，满分16分）

2

2。+1a-2a+111

15.先化简，再求值:F--------:----------------,其中a=-_

Q—1-aa+12

2a+1("1)2_1

【解析】原式=.

(a+l)(a-l)a(a-1)a4-1

2a+1-a

a(a+1)

1

a

1

当a=--时,原式=l=-2.

2

2

-2-x<0,

16.解不等式组:,XX+1并把解集在数轴上表示出来.

4<丁

-1012345X

【解析】由2-xWO得:x22.

XX+1

由一<------得：x<4.

45

所以原不等式组的解集是：2Wx<4.

该解集在数轴上表示为：

四、（本大题共2小题,每小题8分，满分16分）

17.如图,方格中,每个小正方形的边长都是单位1,AABC在平面直角坐标系中的位置如图.

(1)画出AABC关于y轴对称的△ABG.

(2)画出△ABC绕点0按逆时针方向旋转90°后的△ABC*

(3)判断△ABG和aABCz是不是成轴对称?如果是,请在图中作出它们的对称轴.

【解析】(1)如图,△ABG即为所求作三角形.

(2)如图,AA2B2C2即为所求作三角形.

(3)4ABG和4A262c2成轴对称,如图,直线1即为△ABQ和aABC?的对称轴.

18.如图,李军在A处测得风筝(C处)的仰角为30°,同时在A处正对着风筝方向距A处30m的B处,李明测

得风筝的仰角为60°.求风筝此时的高度.(结果保留根号)

【解析】••,NA=30°,NCBD=60°,

...NACB=30°,

BC=AB=30m,

在RtABCD中，ZCBI>60°,BC=30m,

CDCD

sinZCBD=----

BC30

.•.CD=l5&m.

答:风筝此时的高度为15\&n.

五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)

19.某校组织学生参观航天展览，甲、乙、丙、丁四位同学随机分成两组乘车.

(1)哪两位同学会被分到第一组,写出所有可能.

(2)用列表法(或树状图法)求甲、乙分在同一组的概率.

【解析】(1)所有可能的结果是：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙