2018年数学二轮复习第2部分八大难点突破难点4解析几何中的范围、定值和探索性问题学案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE12学必求其心得，业必贵于专精PAGE难点四解析几何中的范围、定值和探索性问题（对应学生用书第68页）解析几何中的范围、定值和探索性问题仍是高考考试的重点与难点，主要以解答题形式考查，一般以椭圆为背景，考查范围、定值和探索性问题,试题难度较大．复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去．解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质,代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组）的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用根与系数的关系进行整体代入的解题方法；其次注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用，如解析几何中的最值问题往往需建立求解目标函数，通过函数的最值研究几何中的最值．下面对这些难点一一分析：1．圆锥曲线中的定点、定值问题该类问题多以直线与圆锥曲线为背景,常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明，难度较大．定点、定值问题是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．【例1】（2017·江苏省南京市迎一模模拟)设椭圆C：eq\f（x2,a2）＋eq\f（y2,b2)＝1（a＞b＞0)的离心率e＝eq\f(\r(3）,2），直线y＝x＋eq\r（2)与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切．(1）求椭圆C的方程；(2）设直线x＝eq\f(1,2)与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆D，若圆D与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABD的面积；(3）如图1，A1，A2，B1，B2是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线B2P交x轴于点F，直线A1B2交A2P于点E,设A2P的斜率为k，EF的斜率为m，求证：2m－k为定值.【导学号：56394098】图1［解］(1)∵直线y＝x＋eq\r（2)与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切，∴eq\f（|0－\r（2)|,\r（2))＝b，化为b＝1.∵离心率e＝eq\f(\r（3）,2)＝eq\f(c，a)，b2＝a2－c2＝1，联立解得a＝2,c＝eq\r(3）.∴椭圆C的方程为eq\f（x2,4）＋y2＝1；（2）把x＝eq\f(1，2)代入椭圆方程可得：y2＝1－eq\f（1,16）,解得y＝±eq\f（\r（15），4)。∴⊙D的方程为：eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2）)）2＋y2＝eq\f(15,16）.令x＝0，解得y＝±eq\f(\r(11），4)，∴｜AB｜＝eq\f（\r（11),2)，∴S△ABD＝eq\f(1,2）｜AB|·|OD｜＝eq\f(1，2）×eq\f(\r(11），2）×eq\f（1，2)＝eq\f(\r(11)，8）。(3）证明:由(1)知:A1（－2，0)，A2(2，0），B2(0，1)，∴直线A1B2的方程为y＝eq\f（1，2)x＋1，由题意，直线A2P的方程为y＝k（x－2)，k≠0,且k≠±eq\f（1,2），由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f（1，2）x＋1，,y＝kx－2，）)解得Eeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（4k＋2，2k－1），\f(4k，2k－1))）。设P(x1，y1),则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝kx－2,，\f（x2,4)＋y2＝1，)）得（4k2＋1)x2－16k2x＋16k2－4＝0.∴2x1＝eq\f（16k2－4,4k2＋1),∴x1＝eq\f（8k2－2，4k2＋1）,y1＝k(x1－2)＝eq\f(－4k，4k2＋1）.∴Peq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（8k2－2，4k2＋1)，\f（－4k，4k2＋1）））.设F(x2,0），则由P，B2，F三点共线得，kB2P＝kB2F.即eq\f(\f（－4k，4k2＋1)－1，\f(8k2－2，4k2＋1）－0）＝eq\f(0－1，x2－0)，∴x2＝eq\f（4k－2,2k＋1)，∴Feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(4k－2,2k＋1），0））。∴EF的斜率m＝eq\f(\f(4k，2k－1)－0,\f(4k＋2,2k－1)－\f(4k－2,2k＋1))＝eq\f(2k＋1，4)。∴2m－k＝eq\f（2k＋1,2)－k＝eq\f（1,2）为定值．［方法总结］定值问题是解析几何中的一种常见问题,基本的求解思想是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件,消去变量，得到定值,即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题．（1)求定值问题常见的方法有两种①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．（2)定点的探索与证明问题①探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋m，然后利用条件建立k,m等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．②从特殊情况入手,先探求定点，再证明与变量无关．2．圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中参数的范围及最值问题，由于其能很好地考查学生对数学知识的迁移、组合、融会的能力，有利于提高学生综合运用所学知识分析、解决问题的能力．该类试题设计巧妙、命题新颖别致，常求特定量、特定式子的最值或范围．常与函数解析式的求法、函数最值、不等式等知识交汇，成为近年高考热点．解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理．图2【例2】（苏北四市(徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq\f（x2,a2）＋eq\f(y2，b2)＝1（a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(2),2），且右焦点F到左准线的距离为6eq\r(2）.(1)求椭圆C的标准方程;(2）设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点,直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线,交y轴于点N.(ⅰ）当直线的PA斜率为eq\f(1,2)时，求△FMN的外接圆的方程；（ⅱ)设直线AN交椭圆C于另一点Q，求△APQ的面积的最大值．[解］（1)由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c，a）＝\f(\r(2)，2），,c＋\f(a2,c）＝6\r（2)，))解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝4，,c＝2\r(2)，））则b＝2eq\r(2)，所以椭圆C的标准方程为eq\f(x2，16）＋eq\f（y2，8)＝1。（2)由题可设直线PA的方程为y＝k(x＋4），k＞0，则M(0,4k），所以直线FN的方程为y＝eq\f（2\r（2)，4k）(x－2eq\r(2)），则Neq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，－\f（2，k）））。（ⅰ)当直线PA的斜率为eq\f（1,2),即k＝eq\f（1,2）时，M(0，2），N(0，－4），F（2eq\r（2），0），eq\o（MF，\s\up12（→)）＝(2eq\r（2)，－2)，eq\o（FN，\s\up12（→）)＝(－2eq\r（2）,－4)，eq\o(MF,\s\up12（→)）·eq\o(FN,\s\up12（→）)＝－8＋8＝0。所以MF⊥FN,所以圆心为(0，－1），半径为3，所以△FMN的外接圆的方程为x2＋(y＋1）2＝9.（ⅱ)联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋4，,\f（x2，16）＋\f（y2，8）＝1,））消去y并整理得,（1＋2k2）x2＋16k2x＋32k2－16＝0,解得x1＝－4或x2＝eq\f（4－8k2,1＋2k2），所以Peq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(4－8k2，1＋2k2）,\f(8k,1＋2k2)）），直线AN的方程为y＝－eq\f(1，2k）(x＋4),同理可得,Qeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（8k2－4,1＋2k2），－\f(8k,1＋2k2)）)，所以P,Q关于原点对称，即PQ过原点．所以△APQ的面积S＝eq\f(1，2)OA·(yP－yQ)＝2×eq\f(16k,1＋2k2）＝eq\f(32,2k＋\f(1,k））≤8eq\r（2），当且仅当2k＝eq\f(1,k)，即k＝eq\f(\r(2）,2)时，取“＝”．所以△APQ的面积的最大值为8eq\r（2）.[方法总结]这类问题在题目中往往没有给出不等关系，需要我们去寻找．求最值或范围常见的解法:(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,可考虑利用图形性质来解决;(2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数,再求最值，求函数最值常用的方法有配方法、判别式法、导数法、基本不等式法及函数的单调性、有界性法等．用这种方法求解圆锥曲线的最值与范围问题时，除了重视建立函数关系式这个关键点外，还要密切注意所建立的函数式中的变量是否有限制范围，这些限制范围恰好制约了最值的取得，因此在解题时要予以高度关注．3．圆锥曲线中的探索性问题探索性问题主要考查学生探索解题途径,解决非传统完备问题的能力,是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求学生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题，它能很好地考查数学思维能力以及科学的探索精神．因此越来越受到高考命题者的青睐．探索性问题实质上是探索结论的开放性问题．相对于其他的开放性问题来说，由于这类问题的结论较少(只有存在、不存在两个结论有时候需讨论)，因此，思考途径较为单一,难度易于控制，受到各类考试命题者的青睐．解答这一类问题,往往从承认结论、变结论为条件出发，然后通过特例归纳，或由演绎推理证明其合理性．探索过程要充分挖掘已知条件，注意条件的完备性，不要忽略任何可能的因素．图3【例3】（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）如图3，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A（－1,0），B（1,2)．（1)若直线l平行于AB,与圆C相交于M，N两点，MN＝AB，求直线l的方程;(2)在圆C上是否存在点P满足条件,使得PA2＋PB2＝12？若存在,求点P的个数；若不存在,说明理由．【导学号：56394099】［解]（1)圆C的标准方程为（x－2)2＋y2＝4，所以圆心C(2,0)，半径为2.因为l∥AB,A(－1,0），B（1,2）,所以直线l的斜率为eq\f（2－0,1－－1）＝1,设直线l的方程为x－y＋m＝0，则圆心C到直线l的距离为d＝eq\f(|2－0＋m｜,\r（2))＝eq\f（|2＋m｜,\r(2）)。因为MN＝AB＝eq\r(22＋22）＝2eq\r（2),而CM2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(MN,2）))2，所以4＝eq\f（2＋m2,2）＋2，解得m＝0或m＝－4,故直线l的方程为x－y＝0或x－y－4＝0.（2)假设圆C上存在点P满足条件，设P(x，y),则(x－2)2＋y2＝4，PA2＋PB2＝（x＋1）2＋（y－0）2＋(x－1）2＋(y－2）2＝12,即x2＋y2－2y－3＝0,即x2＋（y－1)2＝4,因为｜2－2|＜eq\r（2－02＋0－12)＜2＋2，所以圆(x－2）2＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，所以点P的个数为2.［方法总结］(1)解决存在性问题的解题步