2018版高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式学案5

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE14学必求其心得，业必贵于专精3。1不等关系与不等式［学习目标]1.能用不等式（组）表示实际问题的不等关系。2。初步学会用作差法比较两实数的大小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．知识点一不等关系与不等式1．不等关系在现实生活中，不等关系主要有以下几种类型：(1）用不等式表示常量与常量之间的不等关系，如“神舟"十号飞船的质量大于“嫦娥”探月器的质量；(2）用不等式表示变量与常量之间的不等关系，如儿童的身高小于或等于1.4m(3）用不等式表示函数与函数之间的不等关系，如当x＞a时，销售收入f（x）大于成本g(x)；(4）用不等式表示一组变量之间的不等关系，如购置课桌的费用60x与购置椅子的费用30y的和不超过2000元．2．不等式(1）不等式的定义用数学符号“＝”“＞"“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子叫做不等式．(2）关于a≥b和a≤b的含义①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a＞b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a＞b或a＝b中有一个正确,则a≥b正确．②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b"，其含义是a＜b或a＝b，等价于“a不大于b"，即若a＜b或a＝b中有一个正确,则a≤b正确．知识点二比较大小的依据（1)比较实数a，b大小的文字叙述①如果a－b是正数，那么a＞b；②如果a－b等于0，那么a＝b;③如果a－b是负数，那么a〈b,反之也成立．(2）比较实数a，b大小的符号表示①a－b＞0⇔a〉b;②a－b＝0⇔a＝b；③a－b<0⇔a<b。思考(1）当x＞1时，x2－x____0（填“＞”或“＜")．(2)(eq\r（6）＋eq\r(2))2____10＋4eq\r（3)(填“＞”或“＜”)．答案(1）＞（2)＜解析（1)x2－x＝x（x－1）x＞1时，x－1＞0,x＞0，∴x（x－1）＞0，∴x2－x＞0。（2)（eq\r（6）＋eq\r(2)）2＝8＋2eq\r（12）＝8＋4eq\r（3）＜10＋4eq\r（3）。知识点三常用的不等式的基本性质(1)a>b⇔b<a（对称性)；(2)a〉b，b〉c⇒a>c（传递性）；(3）a>b⇒a＋c>b＋c(可加性）;(4)a>b，c>0⇒ac〉bc；a〉b，c<0⇒ac<bc；（5）a〉b，c〉d⇒a＋c〉b＋d；(6）a〉b>0，c>d〉0⇒ac〉bd；（7)a〉b〉0⇒an>bn（n∈N，n≥1)；(8)a>b>0⇒eq\r（n，a）〉eq\r（n，b)（n∈N，n≥2）．题型一用不等式（组）表示不等关系例1《铁路旅行常识》规定：一、随同成人旅行,身高在1。1~1.4米的儿童享受半价客票（以下称儿童票)，超过1。4米的应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时,超过的人数应买儿童票．……十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克设身高为h（米),物品外部长、宽、高尺寸之和为P（厘米),请用不等式表示下表中的不等关系．文字表述身高在1.1～1。4米身高超过1。4米身高不足1.1米物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米符号表示解由题意可获取以下主要信息：(1)身高用h(米)表示,物体长、宽、高尺寸之和为P（厘米）;（2）题中要求用不等式表示不等关系．解答本题应先理解题中所提供的不等关系,再用不等式表示．身高在1.1～1。4米可表示为1。1≤h≤1。4,身高超过1.4米可表示为h＞1。4，身高不足1。1米可表示为h＜1.1，物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P≤160。如下表所示：文字表述身高在1。1～1.4米身高超过1.4米身高不足1.1米物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米符号表示1.1≤h≤1。4h＞1.4h＜1.1P≤160反思与感悟数学研究中要培养抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．不等式是不等关系的符号表示．用不等式（组)表示实际问题中的不等关系时：(1）要先读懂题，设出未知量;(2）抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范．如“超过”不能取等号，“不超过”可以取等号．跟踪训练1如下图，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L大于宽W的4倍．写出L与W的关系．解由题意,得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1((L＋10)（W＋10)＝350，,L＞4W，，L＞0,，W＞0.))题型二比较实数（式)的大小例2（1）比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R；(2）设x，y,z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．解（1)∵x6＋1－(x4＋x2)＝x6－x4－x2＋1＝x4（x2－1)－（x2－1）＝（x2－1)（x4－1）＝（x2－1)2（x2＋1）≥0。∴当x＝±1时，x6＋1＝x4＋x2;当x≠±1时，x6＋1＞x4＋x2.综上所述,x6＋1≥x4＋x2，当且仅当x＝±1时取等号．(2)∵（5x2＋y2＋z2)－(2xy＋4x＋2z－2）＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋（z－1)2≥0,∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当x＝y＝eq\f(1,2）且z＝1时取等号．反思与感悟比较大小的方法(1）作差法:比较两个代数式的大小，可以根据它们的差的符号进行判断,一方面注意题目本身提供的字母的取值范围,另一方面通常将两代数式的差进行因式分解转化为多个因式相乘，或通过配方转化为几个非负实数之和，然后判断正负．作差法的一般步骤:作差—-变形--判号——定论．（2）作商法:作商比较通常适用于两代数式同号的情形,然后比较它们的商与1的大小．作商法的一般步骤：作商-—变形——与1比较大小-—定论．(3）单调性法：利用函数单调性比较大小,通常先构造一个函数，把变量化归到同一单调区间，再利用单调性进行判断．跟踪训练2若a>b〉0，0<c<1，则（）A．logac〈logbcB．logca<logcbC．ac〈bcD．ca〉cb答案B解析对A：logac＝eq\f(lgc,lga），logbc＝eq\f(lgc,lgb),∵0<c〈1，∴lgc<0，而a〉b>0，所以lga〉lgb,但不能确定lga、lgb的正负，所以它们的大小不能确定，所以A错；对于B：logca＝eq\f(lga,lgc）,logcb＝eq\f(lgb,lgc)，而lga>lgb，两边同乘以一个负数eq\f（1，lgc）改变不等号方向，所以选项B正确；对C:由y＝xc在第一象限内是增函数,即可得到ac>bc，所以C错;对D:由y＝cx在R上为减函数,得ca<cb,所以D错．故选B。题型三不等式性质的应用例3已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：eq\f（e，a－c)＞eq\f（e,b－d)。证明∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，又∵a＞b＞0，∴a＋（－c)＞b＋（－d)＞0，即a－c＞b－d＞0,∴0＜eq\f（1，a－c）＜eq\f(1,b－d)，又∵e＜0,∴eq\f（e,a－c)＞eq\f（e，b－d）.反思与感悟利用不等式的性质证明不等式的注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．（2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．跟踪训练3已知a＞b,m＞n，p＞0,求证:n－ap＜m－bp。证明∵a＞b，又p＞0，∴ap＞bp。∴－ap＜－bp，又m＞n,即n＜m。∴n－ap＜m－bp。例4已知1≤a－b≤2且2≤a＋b≤4，求4a－2b错解1≤a－b≤2,①2≤a＋b≤4，②由①＋②，得3≤2a≤6∴eq\f(3，2)≤a≤3,③由②＋①×（－1），得0≤2b≤3，∴0≤b≤eq\f（3,2），④由③×4＋④×（－2），得3≤4a－2b错因分析由上述解题过程可知，当a＝eq\f(3,2）且b＝eq\f（3,2)时，3≤4a－2b才取等号,而此时a－b＝0，不满足①式,因此4a－2b是不能等于3的．同理可验证4a－2b也不能等于12。出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向"这一性质是单向的，用它来作变形,是非同解变形,因此结论是错误的．正解令a＋b＝u，a－b＝v，则2≤u≤4，1≤v≤2.由eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（a＋b＝u，，a－b＝v，))解得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(a＝\f（u＋v，2），，b＝\f（u－v,2).））∴4a－2b＝4·eq\f（u＋v，2）－2·eq\f(u－v，2）＝2u＋2v－u＋v＝u＋3v.∵2≤u≤4，3≤3v≤6，∴5≤u＋3v≤10。∴5≤4a－2b误区警示把条件中的a－b和a＋b分别看做一个整体，采用整体代入法，并结合不等式的性质求解,可以得到正确的结论．1．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工x人,瓦工y人，则工人满足的关系式是（）A．5x＋4y＜200B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200D．5x＋4y≤200答案D解析据题意知，500x＋400y≤20000，即5x＋4y≤200,故选D.2．设x<a<0，则下列不等式一定成立的是（）A．x2〈ax〈a2B．x2>ax>a2C．x2<a2〈axD．x2〉a2〉ax答案B解析∵x〈a〈0，∴x2>a2.∵x2－ax＝x（x－a）〉0，∴x2〉ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax〉a2.∴x2>xa>a2。3．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是（）A．M＞NB．M＝NC．M＜ND．与x有关答案A解析M－N＝x2＋x＋1＝(x＋eq\f（1，2）)2＋eq\f(3,4)＞0。∴M＞N.4．已知f(x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增．若实数a满足f(2|a－1｜)〉f（－eq\r(2）），则a的取值范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，2），\f（3,2)）)解析利用偶函数的对称性和函数单调性的定义将函数值大小关系转化为不等式求解．∵f(x）是偶函数，且在(－∞,0)上单调递增,∴在(0,＋∞)上单调递减,f（－eq\r(2))＝f（eq\r(2)),∴f（2｜a－1|）〉f(eq\r(2)），∴2|a－1｜〈eq\r（2)＝2eq\f（1，2），∴|a－1|<eq\f（1,2)，即－eq\f(1,2）〈a－1〈eq\f（1,2）,即eq\f(1，2)<a〈eq\f(3，2)。1.比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．a－b>0⇔a>