2018版高三数学复习能力大提升第九章直线和圆的方程含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第九章直线和圆考点1直线与方程1.（2016·北京，7）已知A(2，5）,B(4,1),若点P（x，y)在线段AB上，则2x－y的最大值为（）A.－1B。3C.7D.81。解析线段AB的方程为y－1＝eq\f（5－1，2－4）(x－4）,2≤x≤4.即2x＋y－9＝0,2≤x≤4，因为P(x,y)在线段AB上，所以2x－y＝2x－(－2x＋9)＝4x－9.又2≤x≤4，则－1≤4x－9≤7，故2x－y最大值为7.答案C2。（2015·安徽，8）直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切,则b的值是（)A。－2或12B。2或－12C。－2或－12D。2或122。解析圆方程可化为(x－1)2＋(y－1）2＝1，∴该圆是以(1，1）为圆心，以1为半径的圆，∵直线3x＋4y＝b与该圆相切,∴eq\f(|3×1＋4×1－b｜，\r(32＋42)）＝1。解得b＝2或b＝12,故选D。答案D3。（2014·福建，6）已知直线l过圆x2＋(y－3）2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直,则l的方程是(）A.x＋y－2＝0B.x－y＋2＝0C。x＋y－3＝0D。x－y＋3＝03.解析依题意，得直线l过点(0，3），斜率为1，所以直线l的方程为y－3＝x－0,即x－y＋3＝0。故选D.答案D（2014·四川，9）设m∈R,过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P（x，y）,则|PA|＋｜PB｜的取值范围是（）A.［eq\r(5），2eq\r（5)］B.［eq\r（10），2eq\r（5)］C。[eq\r（10），4eq\r（5）］D.[2eq\r(5），4eq\r（5)]4.解析易知直线x＋my＝0过定点A(0，0),直线mx－y－m＋3＝0过定点B（1，3),且两条直线相互垂直，故点P在以AB为直径的圆上运动，故｜PA|＋｜PB|＝|AB|cos∠PAB＋｜AB｜sin∠PAB＝eq\r（10）·eq\r(2)sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(∠PAB＋\f（π,4)））∈[eq\r(10)，2eq\r（5)］，故选B.答案B（2015·江苏，12）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点.若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________.5。解析双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0,直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线的距离d＝eq\f(|1－0｜，\r（12＋12）)＝eq\f（\r(2)，2).由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤eq\f(\r（2)，2），故c的最大值为eq\f（\r（2），2）。答案eq\f(\r（2)，2)考点2圆的方程及直线与圆的位置关系1。(2016·新课标全国Ⅱ，6）圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A.－eq\f（4,3）B.－eq\f(3，4)C.eq\r(3）D。21.解析由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圆心坐标为（1，4）,由点到直线的距离公式得d＝eq\f（|1×a＋4－1|，\r(1＋a2))＝1，解之得a＝－eq\f(4，3)。答案A2。(2016·北京，5)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为()A。1B。2C。eq\r(2）D.2eq\r（2)2.解析圆（x＋1）2＋y2＝2的圆心坐标为（－1,0），由y＝x＋3得x－y＋3＝0,则圆心到直线的距离d＝eq\f(|－1－0＋3｜，\r（12＋(－1）2))＝eq\r（2).答案C3.（2016·山东，7）已知圆M：x2＋y2－2ay＝0（a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq\r(2），则圆M与圆N：（x－1)2＋（y－1)2＝1的位置关系是(）A。内切B。相交C。外切 D.相离3.解析∵圆M：x2＋(y－a)2＝a2，∴圆心坐标为M(0，a),半径r1为a，圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝eq\f（｜a｜,\r（2）），由几何知识得eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(｜a|，\r(2)))）eq\s\up12（2)＋（eq\r(2））2＝a2，解得a＝2。∴M（0，2），r1＝2.又圆N的圆心坐标N(1，1),半径r2＝1,∴|MN｜＝eq\r(（1－0)2＋（1－2）2)＝eq\r(2），r1＋r2＝3，r1－r2＝1。∴r1－r2＜|MN｜＜r1＋r2，∴两圆相交，故选B。答案B4.（2015·新课标全国Ⅱ，7）已知三点A（1，0）,B（0,eq\r（3）),C（2，eq\r(3))，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（)A.eq\f（5，3)B.eq\f（\r(21)，3） C.eq\f(2\r（5）,3） D.eq\f(4，3）4。解析由点B(0，eq\r（3))，C（2，eq\r（3)),得线段BC的垂直平分线方程为x＝1，①由点A（1,0）,B(0，eq\r（3))，得线段AB的垂直平分线方程为y－eq\f（\r(3)，2）＝eq\f（\r(3），3）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f(1，2))),②联立①②，解得△ABC外接圆的圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（1，\f（2，3）\r（3）))，其到原点的距离为eq\r(12＋\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\r（3）)）\s\up12(2））＝eq\f（\r(21），3）。故选B。答案B5。(2015·北京,2)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是(）A。(x－1）2＋（y－1)2＝1 B。(x＋1)2＋（y＋1）2＝1C.（x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D。（x－1)2＋（y－1）2＝25.解析圆的半径r＝eq\r(12＋12)＝eq\r（2），∴圆的方程为(x－1）2＋（y－1）2＝2。答案D6。（2014·湖南，6)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(）A.21B.19 C。9 D。－116.解析圆C1的圆心C1(0，0），半径r1＝1,圆C2的方程可化为(x－3）2＋(y－4）2＝25－m，所以圆心C2(3，4)，半径r2＝eq\r(25－m)。从而|C1C2｜＝eq\r（32＋42)＝5。由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2,即1＋eq\r（25－m）＝5，解得m＝9，故选C.答案C7。（2014·浙江，5)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是(）A。－2B。－4C。－6D。－87.解析将圆的方程化为标准方程为（x＋1）2＋(y－1）2＝2－a,所以圆心为(-1，1),半径r＝eq\r(2－a),圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝eq\f（｜－1＋1＋2｜,\r（2））＝eq\r(2），故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝—4，故选B。答案B8。(2014·北京,7）已知圆C:（x－3)2＋（y－4)2＝1和两点A（－m，0),B（m,0)(m＞0）.若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为（)A。7B.6C.5D.4解析若∠APB＝90°,则点P的轨迹是以AB为直径的圆，其方程为x2＋y2＝m2。由题意知圆C:（x－3)2＋(y－4）2＝1与圆O：x2＋y2＝m2有公共点，所以|m－1｜≤|OC|≤m＋1，易知|OC|＝5，所以4≤m≤6，故m的最大值为6.故选B。答案B9。(2014·安徽，6）过点P（－eq\r(3),－1）的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是(）A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π，6)）)B。eq\b\lc\(\rc\］（\a\vs4\al\co1（0，\f（π,3)））C。eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(0，\f（π，6))）D.eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(0,\f(π，3））)9。答案过P点作圆的切线PA、PB，连接OP,如图所示。显然,直线PA的倾斜角为0，又OP＝eq\r（(－\r(3））2＋（－1）2)＝2，PA＝eq\r（3），OA＝1,因此∠OPA＝eq\f（π，6），由对称性知，直线PB的倾斜角为eq\f（π，3）。若直线l与圆有公共点，由图形知其倾斜角的取值范围是eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(0，\f（π,3）））。故选D。答案D10。（2014·新课标全国Ⅱ，12)设点M（x0,1），若在圆O:x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是（)A。［－1,1］B.eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（－\f（1，2),\f(1，2))）C.[－eq\r(2)，eq\r（2）］D。eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r（2)，2），\f(\r（2)，2）))10。解析过M作圆O的两条切线MA、MB，切点分别为A、B,若在圆O上存在点N，使∠OMN＝45°,则∠OMB≥∠OMN＝45°，所以∠AMB≥90°，所以－1≤x0≤1，故选A。答案A（2016·新课标全国Ⅰ，15）设直线y＝x＋2a与圆C:x2＋y2－2ay－2＝0相交于A,B两点，若｜AB｜＝2eq\r(3），则圆C的面积为________.11.解析圆C:x2＋y2－2ay－2＝0，即C：x2＋（y－a)2＝a2＋2，圆心为C(0，a)，C到直线y＝x＋2a的距离为d＝eq\f(|0－a＋2a｜，\r（2))＝eq\f(|a｜，\r(2）).又由|AB｜＝2eq\r(3)，得eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（2\r(3),2）））eq\s\up12（2)＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（|a｜,\r(2）))）eq\s\up12（2）＝a2＋2，解得a2＝2，所以圆的面积为π（a2＋2）＝4π。答案4π（2016·新课标全国Ⅲ，15）已知直线l：x－eq\r(3)y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与x轴交于C、D两点，则|CD｜＝________.12。解析设A(x1，y1),B(x2,y2）,由eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x－\r(3）y＋6＝0,,x2＋y2＝12，))得y2－3eq\r(3）y＋6＝0，则y1＋y2＝3eq\r（3），又y2＝2eq\r（3），∴y1＝eq\r（3),∴A（－3，eq\r(3))，B（0，2eq\r(3）)。过A,B作l的垂线方程分别为y-eq\r(3）＝—eq\r（3)(x＋3)，y－2eq\r（3）＝-eq\r（3）x,令y＝0,则xC＝—2，xD＝2，∴｜CD|＝2—（—2)＝4。答案4（2016·浙江，10)已知a∈R，方程a2x2＋（a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________.半径是________。13。解析由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时,方程不满足表示圆的条件，故舍去.当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0,化为标准方程为（x＋2)2＋（y＋4）2＝25，表示以（－2,－4）为圆心,半径为5的圆。答案（—2，—4）5（2015·湖南，13）若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2（r>0)相交于A,B两点,且∠AOB＝120°（O为坐标原点)，则r＝________。14.解析如图，过O点作OD⊥AB于D点，在Rt△DOB中,∠DOB＝60°，∴∠DBO＝30°，又｜OD|＝eq\f(｜3×0－4×0＋5|，5）＝1，∴r＝2|OD|＝2。答案2(2015·江苏，10）在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________。15。解析直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1),由题意，得半径最大的圆的半径r＝eq\r（（1－2）2＋（0＋1)2)＝eq\r(2）。故所求圆的标准方程为（x－1)2＋y2＝2.答案（x－1）2＋y2＝216。(2015·湖北，16)如图，已知圆C与x轴相切于点T(1，0），与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方)，且｜AB|＝2.(1)圆C的标准方程为________.(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________。16。解析(1）由题意，设圆心C（1,r）(r为圆C的半径)，则r2＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（|AB｜,2)）)eq\s\up12（2）＋12＝2，解得r＝eq\r（2）。所以圆C的方程为（x－1）2＋（y－eq\r（2)）2＝2.（2）方法一令x＝0，得y＝eq\r(2）±1，所以点B（0,eq\r(2）＋1）.又点C（1,eq\r（2)),所以直线BC的斜率为kBC＝－1，所以过点B的切线方程为y－（eq\r（2)＋1)＝x－0,即y＝x＋(eq\r（2）＋1）.令y＝0，得切线在x轴上的截距为－eq\r（2)－1.方法二令x＝0，得y＝eq\r(2)±1，所以点B(0，eq\r（2)＋1）.又点C（1，eq\r（2）），设过点B的切线方程为y－(eq\r（2)＋1)＝kx，即kx－y＋（eq\r（2)＋1）＝0.由题意,圆心C（1，eq\r（2））到直线kx－y＋（eq\r（2）＋1）＝0的距离d＝eq\f（|k－\r（2)＋\r（2）＋1｜,\r(k2＋1)）＝r＝eq\r（2），解得k＝1.故切线方程为x－y＋（eq\r（2）＋1）＝0.令y＝0，得切线在x轴上的截距为－eq\r(2)－1。答案（1）（x－1)2＋(y－eq\r(2）)2＝2(2)－eq\r（2）－1(2014·湖北，17）已知圆O：x2＋y2＝1和点A（－2，0)，若定点B(b，0)（b≠－2）和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB｜＝λ|MA｜,则（1）b＝________;（2)λ＝________。17。解析设M(x，y),则x2＋y2＝1，y2＝1－x2，λ2＝eq\f（｜MB｜2,｜MA|2)＝eq\f（(x－b）2＋y2，(x＋2）2＋y2）＝eq\f(x2－2bx＋b2＋1－x2，x2＋4x＋4＋1－x2）＝eq\f（b2＋1－2bx，5＋4x)＝－eq\f（b,2）＋eq\f(b2＋\f（5，2）b＋1，5＋4x)。∵λ为常数，∴b2＋eq\f（5，2)b＋1＝0，解得b＝－eq\f(1,2)或b＝－2（舍去）。∴λ2＝－eq\f(b，2）＝eq\f（1，4），解得λ＝eq\f（1，2)或λ＝－eq\f(1,2）（舍去).答案（1)－eq\f（1，2)（2）eq\f(1,2)18.(2014·重庆，14）已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________.18.解析圆C：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的标准方程为(x+1）2+（y-2）2＝9，所以圆心为C（－1，2），半径为3。因为AC⊥BC，所以圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为eq\f(3\r（2）,2）,即eq\f(|－1－2＋a|，\r（2)）＝eq\f(3\r(2),2），所以a＝0或6。答案0或619。（2015·新课标全国Ⅰ，20)已知过点A（0,1)且斜率为k的直线l与圆C：（x－2）2＋(y－3)2＝1交于M，N两点。（1）求k的取值范围；(2)若eq\o（OM,\s\up6（→）)·eq\o(ON，\s\up6(→））＝12，其中O为坐标原点,求｜MN|。19。解(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，因为l与C交于两点，所以eq\f(｜2k－3＋1｜,\r（1＋k2））〈1。解得eq\f（4－\r(7），3）<k<eq\f(4＋\r（7)，3）.所以k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－\r(7），3），\f(4＋\r(7),3）)）.(2)设M（x1,y1），N(x2，y2)。将y＝kx＋1代入方程（x－2）2＋(y－3）2＝1,整理得(1＋k2)x2－4（1＋k）x＋7＝0。所以x1＋x2＝eq\f(4（1＋k),1＋k2），x1x2＝eq\f(7,1＋k2）.eq\o（OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6（→))＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k（x1＋x2)＋1＝eq\f(4k（1＋k）,1＋k2）＋8.由题设可得eq\f（4k（1＋k)，1＋k2）＋8＝12,解得k＝1,所以l的方程为y＝x＋1。故圆心C在l上，所以|MN|＝2.20.（2015·广东，20)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A,B。(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；（3)是否存在实数k,使得直线L：y＝k（x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在,说明理由。20。解(1）圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0化为(x－3）2＋y2＝4，所以圆C1的圆心坐标为(3,0).（2）设线段AB的中点M（x0,y0），由圆的性质可得C1M垂直于直线l，设直线l的方程为y＝mx，易知直线l的斜率存在，所以kC1M·m＝－1,y0＝mx0，所以eq\f（y0,x0－3)·eq\f（y0，x0）＝－1，所以xeq\o\al(2，0)－3x0＋yeq\o\al(2，0）＝0,即eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x0－\f(3，2))）eq\s\up12（2)＋yeq\o\al（2,0)＝eq\f（9,4），因为动直线l与圆C1相交，所以eq\f（｜3m｜,\r（m2＋1))〈2，所以m2〈eq\f（4,5)，所以yeq\o\al（2，0）＝m2xeq\o\al（2,0）〈eq\f(4，5）xeq\o\al(2，0）,所以3x0－xeq\o\al（2,0)〈eq\f(4,5）xeq\o\al(2,0）,解得x0〉eq\f（5，3)或x0〈0,又因为0〈x0≤3，所以eq\f（5，3）〈x0≤3。所以M（x0，y0)满足eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x0－\f(3，2）))eq\s\up12(2）＋yeq\o\al（2，0）＝eq\f（9，4)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)〈x0≤3）),即M的轨迹C的方程为eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x－\f（3，2)))eq\s\up12(2）＋y2＝eq\f(9，4)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5，3）〈x≤3)）.（3）由题意知直线L表示过定点T（4，0)，斜率为k的直线。结合图形，eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f（3，2）））eq\s\up12（2)＋y2＝eq\f（9，4)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（5,3）〈x≤3））表示的是一段关于x轴对称,起点为eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(5,3），－\f（2\r（5)，3)）)按逆时针方向运动到eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（5，3），\f(2\r(5）,3））)的圆弧。根据对称性，只需讨论在x轴对称下方的圆弧，设Peq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（5，3),－\f(2\r(5），3)))，则kPT＝eq\f（\f（2\r(5)，3),4－\f(5，3)）＝eq\f(2\r（5),7),而当直线L与轨迹C相切时