2018版高中数学第2章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的统一定义学案版2-1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE10学必求其心得，业必贵于专精2.5圆锥曲线的统一定义[学习目标]1。了解圆锥曲线的统一定义.2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．知识点一圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点F和到一条定直线l（F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹．0<e<1时，它表示椭圆；e>1时，它表示双曲线;e＝1时,它表示抛物线．知识点二准线方程对于椭圆eq\f（x2，a2)＋eq\f(y2,b2）＝1（a〉b>0）和双曲线eq\f（x2,a2）－eq\f(y2,b2）＝1(a〉0，b〉0)中，与F（c,0）对应的准线方程是l:x＝eq\f（a2,c），与F′(－c,0）对应的准线方程是l′：x＝－eq\f（a2，c)；如果焦点在y轴上，则两条准线方程为y＝±eq\f(a2,c）.思考1．椭圆上一点到准线距离与它到对应焦点距离之比等于多少？答案eq\f（1,e).2．动点M到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离之比为定值的轨迹一定是圆锥曲线吗?答案当F∉l时,动点M轨迹是圆锥曲线．当F∈l时，动点M轨迹是过F且与l垂直的直线．题型一统一定义的简单应用例1椭圆eq\f（x2,25)＋eq\f(y2，9）＝1上有一点P，它到左准线的距离等于2.5,那么,P到右焦点的距离为________．答案8解析如图所示,PF1＋PF2＝2a＝10,e＝eq\f（c，a)＝eq\f(4,5)，而eq\f(PF1，2.5）＝e＝eq\f（4，5），∴PF1＝2，∴PF2＝10－PF1＝10－2＝8。反思与感悟椭圆的两个定义从不同角度反映了椭圆的特征,解题时要灵活运用．一般地,如果遇到有动点到两定点距离和的问题，应自然联想到椭圆的定义；如果遇到有动点到一定点及一定直线距离的问题，应自然联想到统一定义;若两者都涉及，则要综合运用两个定义才行．跟踪训练1已知椭圆eq\f(x2，4b2）＋eq\f(y2,b2)＝1上一点P到右焦点F2的距离为b（b>1），求P到左准线的距离．解方法一由eq\f(x2，4b2）＋eq\f（y2，b2)＝1，得a＝2b，c＝eq\r（3）b，e＝eq\f(\r（3)，2）。由椭圆第一定义,PF1＋PF2＝2a＝4b，得PF1＝4b－PF2＝4b－b＝3b由椭圆第二定义,eq\f(PF1,d1)＝e，d1为P到左准线的距离，∴d1＝eq\f（PF1，e）＝2eq\r（3）b，即P到左准线的距离为2eq\r（3）b.方法二∵eq\f（PF2,d2）＝e,d2为P到右准线的距离．e＝eq\f（c,a)＝eq\f（\r(3），2),∴d2＝eq\f（PF2,e)＝eq\f（2\r(3),3）b.又椭圆的两准线的距离为2·eq\f（a2，c)＝eq\f（8\r(3），3）b，∴P到左准线的距离为eq\f（8\r(3)，3)b－eq\f(2\r（3)，3）b＝2eq\r(3）b。题型二应用统一定义转化求最值例2已知椭圆eq\f(x2，8）＋eq\f(y2,6)＝1内有一点P（1，－1），F是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M，使MP＋2MF之值为最小．解设d为M到右准线的距离．∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，eq\f（MF,d）＝eq\f（1,2)，∴eq\f（MF,\f（1，2))＝d，即d＝2MF(如图）．故MP＋2MF＝MP＋d≥PM′.显然，当P、M、M′三点共线时,所求的值为最小，从而求得点M的坐标为（eq\f（2,3)eq\r（15),－1）．反思与感悟本例中，利用统一定义，将椭圆上点M到焦点F的距离转化为到准线的距离，再利用图形，形象直观，使问题得到简捷的解决．跟踪训练2已知双曲线eq\f(x2,9）－eq\f（y2，16）＝1的右焦点为F,点A(9,2)，试在双曲线上求一点M,使MA＋eq\f(3，5）MF的值最小,并求这个最小值．解过M作MN垂直于双曲线的右准线l于N，由第二定义可知MN＝eq\f(MF,e）(如图)．又a＝3，b＝4，c＝5，e＝eq\f（5，3)，∴MN＝eq\f（3，5）MF，∴MA＋eq\f(3,5）MF＝MA＋MN，显然当M、N、A三点共线时MA＋MN＝AN为最小，即MA＋eq\f(3，5)MF取得最小值,此时AN＝9－eq\f（a2,c）＝9－eq\f(9，5)＝eq\f（36，5），∴MA＋eq\f（3，5）MF的最小值为eq\f（36,5）,此时点M(eq\f(3\r（5）,2)，2)．题型三圆锥曲线统一定义的综合应用例3已知A、B是椭圆eq\f(x2，a2)＋eq\f(y2，\f(9,25)a2)＝1上的点，F2是右焦点，且AF2＋BF2＝eq\f(8，5)a，AB的中点N到左准线的距离等于eq\f（3，2)，求此椭圆方程．解设F1为左焦点，则根据椭圆定义有：AF1＋BF1＝2a－AF2＋2a－BF2＝4a－（AF2＋BF2）＝4a－eq\f(8，5）a＝eq\f(12，5）a.再设A、B、N三点到左准线距离分别为d1，d2,d3,由梯形中位线定理有d1＋d2＝2d3＝3，而已知b2＝eq\f（9,25）a2，∴c2＝eq\f(16，25）a2,∴离心率e＝eq\f(4，5),由统一定义AF1＝ed1，BF1＝ed2，∴AF1＋BF1＝e(d1＋d2)＝eq\f（12,5)，又AF1＋BF1＝eq\f(12，5）a，∴a＝1，∴椭圆方程为x2＋eq\f(y2，\f(9,25）)＝1.反思与感悟在圆锥曲线有关问题中,充分利用圆锥曲线的共同特征，将曲线上的点到准线的距离与到焦点的距离相互转化是一种常用方法．跟踪训练3设P(x0，y0）是椭圆eq\f（x2，a2)＋eq\f(y2,b2）＝1（a>b>0）上任意一点，F1为其左焦点．(1)求PF1的最小值和最大值；（2)在椭圆eq\f(x2,25）＋eq\f（y2，5）＝1上求一点P,使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直．解（1）对应于F1的准线方程为x＝－eq\f（a2，c），根据统一定义:eq\f(PF1,x0＋\f(a2,c）)＝e,∴PF1＝a＋ex0。又－a≤x0≤a，∴当x0＝－a时,(PF1)min＝a＋eq\f(c，a)×(－a）＝a－c；当x0＝a时，（PF1)max＝a＋eq\f（c,a)·a＝a＋c。（2)∵a2＝25,b2＝5，∴c2＝20，e2＝eq\f（4，5).∵PFeq\o\al（2，1)＋PFeq\o\al（2,2）＝F1Feq\o\al(2，2），∴(a＋ex0)2＋（a－ex0)2＝4c2。将数据代入得25＋eq\f（4,5）xeq\o\al(2,0）＝40.∴x0＝±eq\f（5\r(3)，2).代入椭圆方程得P点的坐标为eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（5\r(3),2)，\f(\r（5）,2）））,eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（5\r(3),2)，－\f（\r（5），2）)）,eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（5\r(3),2）,\f(\r（5)，2）))，eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(5\r(3),2），－\f(\r(5）,2）))。1．已知方程(1＋k）x2－（1－k)y2＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为________．答案－1〈k<1解析由题意得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(1＋k>0,，1－k>0，))解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（k〉－1,,k〈1，)）即－1〈k<1。2．已知点F1，F2分别是椭圆x2＋2y2＝2的左,右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|eq\o(PF,\s\up6(→））1＋eq\o(PF，\s\up6（→））2|的最小值是________．答案2解析设P(x0，y0），则eq\o（PF，\s\up6(→））1＝(－1－x0,－y0),eq\o(PF，\s\up6（→))2＝(1－x0,－y0)，∴eq\o（PF，\s\up6(→))1＋eq\o(PF，\s\up6(→）)2＝（－2x0，－2y0)，∴|eq\o（PF，\s\up6（→）)1＋eq\o（PF,\s\up6(→))2｜＝eq\r（4x\o\al（2，0)＋4y\o\al(2,0))＝2eq\r(2－2y\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0））＝2eq\r(－y\o\al(2,0)＋2）.∵点P在椭圆上，∴0≤yeq\o\al(2，0)≤1，∴当yeq\o\al（2，0)＝1时，｜eq\o(PF，\s\up6（→）)1＋eq\o(PF，\s\up6（→））2｜取最小值为2。3．已知F1、F2是椭圆的两个焦点．满足eq\o(MF1，\s\up6(→)）·eq\o（MF2,\s\up6（→))＝0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是________．答案（0，eq\f(\r(2）,2）)解析∵eq\o（MF1，\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6（→))＝0，∴M点轨迹方程为x2＋y2＝c2，其中F1F2由题意知椭圆上的点在圆x2＋y2＝c2外部,设点P为椭圆上任意一点,则OP〉c恒成立,由椭圆性质知OP≥b，其中b为椭圆短半轴长，∴b〉c，∴c2<b2＝a2－c2，∴a2>2c2∴（eq\f（c,a))2<eq\f（1，2），∴e＝eq\f(c,a）〈eq\f(\r（2),2).又∵0〈e〈1，∴0〈e<eq\f（\r(2),2）。4．已知椭圆eq\f（x2,a2)＋eq\f（y2,b2)＝1（a＞b＞0)与双曲线eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m＞0，n＞0)，有相同的焦点（－c，0)和(c,0)，若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是________．答案eq\f(1,2)解析由题意,得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a2－b2＝c2,①，m2＋n2＝c2,②，c2＝am，③，2n2＝2m2＋c2，④））由②④可得m2＋n2＝2n2－2m即n2＝3m⑤代入②得4m2＝c2⇒c＝⑥代入③得4m2＝am⇒a＝所以椭圆的离心率e＝eq\f（c，a）＝eq\f(1,2).5．已知抛物线y2＝4x