第一章随机过程简单概念

第一章随机过程简单概念

随机过程简史：公理化概率论首先使随机过程的研究获得了新的起点，它是作为随

时间变化的偶然量的数学模型，是现代概率论研究主要论题.一类普遍的随机过程叫

Markov过程，这是一种无后效性随机过程，即在已知当前状态情况下，过程未来状态与

其过去状态无关.原始形式马尔可夫过程——马尔可夫链最早由Markov(1907年)提出，

故命名为Markov过程，1931年Kolmogrov用分析的方法奠定了Markov过程之理论基础;

Kolmogrov之后，在此研究中作出重大贡献而影响了整个概率论的重要代表人物有P.Levy,

(1886-1971),辛钦(A9.XMHH0Hl894-1959)、J.L.Doob和伊藤清(It6)等.

Levy从1938年开始创立研究随机过程新方法，即着眼于轨道性质的概率方法，1948

年出版《随机过程与布朗运动》，提出了独立增量过程的•般理论，并以其为基础极大地

推进了对作为一类特殊Markov过程的BrownMotion之研究.

自然界中许多随机现象表现出某种平稳性，统计特性不随时间的推移而变化的随机过

程叫做平稳过程，平稳过程之相关理论是1934年由辛提出的。

另一类有重要意义的随机过程是“鞅。布朗运动也是其特例.Levy在1935年已有鞅

之思想，1939年J.Ville引进“鞅"Marfingale这个名称，但鞅论之奠基人是美国概率论学

派的代表人物Doob,他从1950年开始对鞅概念进行了系统研究而使鞅论成为一门独立的

分支，它使随机过程的研究进一步抽象，不仅丰富了概率论内容，而且为其它数学分支如

调合分析、复变函数、位势理论等提供了有力工具.

从1942年开始，日本数学家伊藤清(Ito)引进了随机积分与随机微分方程，不仅开

辟了随机过程研究的新道路，而且为一门意义深远的数学新分支——随机分析的创立与发

展奠定了基础.

1930年左右，Wiener对概率论布朗运动研究使人们常常将此类运动称为Wiener过程；

另外，他在时间序列的预测与滤波之理论建立亦做出贡献.

1900年Bachelier将BrownianMotion用于股票价格描述

1907年Markov提出了MarkovChain

1931年Kolmogrov建立了Markov过程分析理论基础

1938年〜1948年P.Levy研究了随机过程与布朗运动(提出了独立增量过程)

1930年Wiener(一般讨论了)BrownianMotion(Wiener过程)

1934年辛钦建立了平稳随机过程一般理论

1940年Wiener(U.S.A)探讨了随机序列预测、滤波、控制，做出了重要贡献

1950年Doob(u.s)对鞅论创立(Levy,J.ville)

1942年Ito(日本)探讨了随机积分、微分与随机微分方程等问题

在客观世界中有些随机现象表现为带随机性的变化过程，它是随机过程.本章介绍随

机过程的概念、概率分布和数字特征等，并介绍随机过程的微积分.

§1随机过程及其概率分布

一、随机过程概念：

在客观世界中有些随机现象表示的是事物随机变化之过程，不能用随机变量或随机矢

量描绘，需用一族无限多个描绘，这就是随机过程.

例1.某人扔一枚分币，无限制的重复地扔下去，要表示无限多次扔的结果，我们不

妨记正面为1,反面为0.第〃次扔的结果是一个r.vX„,其分布

p{X“=l}=P{X“=0}=l/2,无限多次扔的结果是一个随机过程，可用一族相互独立

r-vX],X2,…或{X“，〃21}表示.

图1

例2.当旧20)固忖时，电话交换站在[0/]时间内来到的呼叫次数是人丫，记X。)，

XQ)P(/U),其中/I是单位时间内平均来到的呼叫次数，而;1>0,若f从0变到oo,t

时刻来到的呼叫次数需用一族随机变量{X(f),fe[0,8)}表示，是一个随机过程.

对电话交换站作一次E观察可得到一条表示r以前来到的呼唤曲线为。)，它为非降的

阶梯曲线，在有呼唤来到的时刻阶跃地增加1,(假定在任一呼唤来到的时刻不可能来到多

于一次呼唤).

同理，第二次观察，得到另一条阶梯形曲线

同理，第〃次观察，得到另一条阶梯形曲线

总之，一次试验得到阶梯形曲线形状具有随机性.

X")

在例1中每一张点图和例2中每条阶梯形曲线，称作一个样本函数或一条样本曲线.

样本函数表示一次E结果的函数.对随机过程进行一次E观察，出现样本函数是随机的.

即随机过程是•族（无限多个）随机变量；另一方面，它是某种E的结果，而试验出现的

样本函数是随机的.

例3.热噪声电压.电子元件或器件由于内部微观粒子（如电子）的随机热运动所引

起的端电压，称为热噪声电压.以电阻之热噪声电压为例.以｛XQ）,f€[0,oo）｝表示热噪声

电压.引进第i次长时间测量得一条电压-时间曲线（i=1,2,…,〃，…）一次E得到的

样本曲线是随机的.

理解：固定f=赞X。）在力数值X«o），第i次E值为玉&）（i=l,2,…,〃，…）

显然XQo）为一个厂”.于是固定f时热噪声电压X。）是一个人丫，而f变化时

｛乂。）,/6（0,+8）｝是一族广丫，因此，X（f）是一个随机过程.

X(f)

图3

例4.具有随机初相位的简谐波X(f)=acos(gf+(!>),-00<^<+00,其中。与g

是正常数，已知①〃0,24],两方面理解：一方面，f固定时，X。)为厂”，

：.｛XQ),t€R｝为一族r・v；另一方面，对「”①作一次试验得到一个试验值°,

x(f)=acos(为f+*)就是一条样本曲线.

223

例：夕=0时，X,(t)-cosa)()t；9=一％时，x2(f)=acos(a)0t+—7T),9=5〃时,

3

x3(r)-acos(ct)0t+—7r),etc.

总知，从两种不同角度看，X(f)都是随机过程.

应于/和。的函数)即为定义在T和。上的二元函数，若此函数对任意固定的feT,

X3/)是(Q,F,P)上r•v,则称｛X(f,(y),/eT,(veQ｝是随机过程(Processes).

｛Xa,(y),f€T,(ye。｝随机过程在，时刻状态或截口：XQ,/)随机过程，在，固定

时，它是一个人丫，称之为过程XQ,。)在，时刻的状态或截口.若/固定，它是/的函数,

称为随机过程的样本函数或样本曲线，亦称之为现实(曲线).

Remark：①上述定义中样本空间。通常可理解为样本函数的全体，而每一条样本曲

线作为一个基本事件CD；例3：样本曲线毛⑺作为q(i=1,2,…,〃，…)改写为X(/,«„)；

全体样本函数口«)｝构成样本空间。，即全体｛X”,0)｝构成样本空间O.当。=用时，

X(f,q)即xg)etc(/=1,2,•••,«,•••).对例1、2、4同样将样本空间。理解为样本函数

全体.

②随机过程可简记为｛X(f)/eT｝,通常并不指出概率空间O.此时样本函数用x(t)

表示，第i次E得到的样本函数为七。)(i=1,2,…,〃，…).随机过程X(f),当t固定时,

为r”，即是在f时刻状态(截口).

随机过程X(f)状态空间或值域：随机变量XQ)(f固定，且feT)所有可能取的值

构成一个实数集，称之为过程X(f)的状态空间或值域；而每一个可能值称为一个状态

(r-v).

随机过程的各个状态,(XQ)(teT)可能取的各个数值).例1状态空间由0与1二

数构成；例3噪声电压的状态空间(-00,+00).

随机过程的分类:

(1)离散参数，离散状态的随机过程：

例1中，7={1,2,…},状态空间由0与1二个数构成.

(2)离散参数，连续状态的随机过程：

例独立标准正态随机变量序列：T={1,2,3,…},状态空间为(-8,+8).

(3)连续参数，离散状态的随机过程：

如例2T=[0,+oo),状态空间由0,1,2,…构成.

(4)连续参数，连续状态的随机过程：

如例3T=[0,+oo),状态空间为(—8,+8)

离散参数集取{1,2,…},或{0,1,2,…},或{…，一2,-1,0,1,2,…}

而连续参数集取或[0,8),或(-00,+oo)

离散参数的随机过程亦称为随机序列.(时间序列，平稳序列，非平稳序列)

二、有限维分布族：

定义：对于任意的小小“eT

称为随机过程X(f)的n维分布函数.描绘过程在任意n个时刻状态的统计特性.

类似可定义：随机过程XQ)的“维分布密度.

dn

----(西，…，X,,；九…/“)

0X(ox2dxn

随机过程X(f)一维分布函数，二维分布函数，…，”维分布函数，等等的全体

{F(X[,…,天滔山,……，乙1}称为过程X(f)的有限维分布族.同样可类

似定义X(f)有限维分布密度族.

有限维分布函数族性质：

(1).对称性：对1,2,…，〃的任意一种排列jj，…，4有

事实上由P{XQW不…*9)<五}=P{乂⑥)〈勺,一、乂(心)斗；,}立刻得之.

(2).相容性：对机<〃，有：

尸(斗，……，空)

=F(xr•••,x,„,+00,•••,+00；/,,r2,•••,?„)

利用随机过程的统计特性(有限维分布族和数字特征)进行分类，主要有两类随机过

程：平稳过程与马尔可夫过程.下面我们介绍随机过程中的一个重要定理：

Theorem(Kolmogorov)若给定参数集T及分布函数族｛打』,…,x,",…,f”)：

V»>1,小…/“eT｝满足相容性条件，则必存在概率空间(。,6,P)及定义于其上的随机

过程｛X(f),t&T｝,使X。)的有限维分布函数族与上述给定的分布函数族是重合的。

§2.随机过程的数字特征

一、随机过程的数学期望(mathematicalexpectation)和方差(variance):

[X(t),teT)在每一feT状态是一个r•叭其期望和方差都是依赖于参数t的函数,

分别称为随机过程的期望与方差(函数)

均值(函数)(mean):叫,«)=EX⑴=工xdF(x,t),t&T

其中尸(x;t)是过程的一维分布

/H-00

特别：叫.«)=[xf(x,t)d/(x;f)为连续分布，〃八⑺表示X(f)所有样本

J-O0

函数在t时的理论平均值，mv(0是一条固定曲线.

(a)(b)

图5

且样本曲线绕〃&Q)曲线上下波动.

方差(函数"variance):

£>«)=0(X(。)=eT

标准差(standarddeviation):

外⑴=也⑴=1DX⑴

它们描绘它的样本曲线在各个t时刻对加式f）的分散程度

均方值（函数）（meansquarevalue）:（。=EX2{t}

易知Z）X（/）=EX2（f）_»4⑴

=%（，）—底⑺

二、随机过程的协方差函数和相关函数(covarianceandcorrelationfunction):

随机过程X(，)的(自)协方差函数(X(6)与X(t2)的协方差)

Cx(t„t2)=cov(X(t,),X(t2))

=E[X(G—〃2X6)][XQ2)-〃7X«2)]

它的绝对值大小比较两个过程在时刻f„t2状态之线性密切程度.

协方差(covariance)可表示为：

Cx(t,,t2)=£[X(f,)X(t2)]-EXQJEX(t2)

随机过程XQ)的(自)相关函数(correlationfunction):

RX(B2)=」X(4)X(4)]

连续型情形：

Cx(讨2)=匚匚，-%(%))(%2-%02))/(国,法32)血公2和

pf-CCpt-00

Rx(ti，t2)=£Xlx2f\xi,x2;ti,t2)dxidx2

CxQM)与Rx(4修)关系:

Cx(4,，2)="X(八’mX(乙)加X“2)

特别：当mx(f)=0时有Cx(廿2)=Rx4出)

当Cx(G，，2)定义中，取f=%=《有:

Cx(t,t)=E[X(t)-mxQ)]2=DX(t)=Dx(t)

例1.随机相位正弦波

XQ)=acos((w(j+①)-oo<f<+8

其中是正常数，而r。①U[0,2乃],求X(t)期望、方差和相关函数.

解：由题设①之p4为:/")=<24’<(P<71

0,其它

.2乃1

m(0=EX(0=E[acos(69/+0)1=aIcos(gZ+(p)——d(p=0

x0力24

RxQ"2)=EX(GX&)

=E[acos(^j+①)acos(例府+①)]

=a2『cos(%]+Q)cos(如2+9)——d(p

2

=4^JT{c°sg(L-切+cos[g(4+Z2)+2(p]}d(p

=—{008^(/,-t2)-17T+-S\X\[a)^t]+，2)+2列7}

a2

^yCOS^CZ,-t2)

,a2,a2

'

0x(，)="(，/)-啊")=fCos»0x0-0=—

例2.设随机过程XQ)=X+H+Z产8<f<+8,其中X,y,Z相互独立r”，各

自期望为0,方差为1求X。)协方差函数

解：EX(/)=EX+tEY+t2EZ=O

CX(W2)=RX(4,，2)

=EX(GX(r2)=E[X+Yt[+Ztf][X+Yt2+Zf；]

222

=EX2+t{t2EY+t^t1EZ=1+宿+(科)

例3.给定一个随机过程X(f)和常数a,用X。)的相关函数表示随机过程

yQ)=XQ+a)—X(f)的相关函数.

解：与(32)="(伊《2)

=E[X(/,+«)-X(0][X(/2+«)-%(/,)]

=EX(ti+a)X(t2+a)-EX(ti)X(t2+a)-EX&+a)X仁)+EX(fJX应)

—7?x+a,L+a)—Rx(八,，，+a)—Rx(f]+a,f,)+Rx(f(，^)

三、二阶矩过程(secondmomentsprocesses)和正态(随机)过程(normalprocesses):

若随机过程{XQ)/eT}的一、二阶矩存在(即有限)，则称X。)是二阶矩过程

随机过程的相关理论：从二阶矩过程数学期望和相关函数出发讨论随机过程的性质,

而允许不涉及它的有限维分布.这种理论称之为随机过程的相关理论.

正态过程或Gauss正态过程：若随机过程{X(f),feT}的有限维概率分布是一维或多

维正态分布；即对“N1,任意，”小…，，“eT,有:

了⑸々,…，匕"”,…,/“)

1exp{-^x-mxyC''（x-mx）}

(2万产|优2

mx&）、

其中X=mx

Cx（4，4）…Cx（4，，"）

而C为协方差阵:C

、Cx（，"4）…Gc«"/"L

则称X（/）称为Gauss正态过程.

Remark:正态过程的有限维分布密度族被它的期望和方差函数完全确定.

四、相关函数的性质：

两条性质：

（1）是对称的，即&（中2）=&«2，»

Proof:&&，％）=E［X&）X&）］=E［X（t,）X仁）］

=Rx（tt,l2）

（2）相关函数吊也由）是非负定的，即对任意"N1和任意实数々/2,…，/eT,及

任意复数乙，…，Z“

有：

k=}j=\

Proof:力fRx（qZj）zm=££E［X（Q）X（马）］z«Zj

k=lj=lk=\j=\

=E［£x（qx£xg）z/

k=\j=\

n2

=E［ZX（“氏］20

&=1

Remark:协方差函数C*（乙也）亦满足上述两条.

§3复（值）随机过程

从实值随机过程到复值随机过程，是数学上的推广，在工程上亦有必要.

复随机时过程：若X（，）,丫（，）。€7）是实随机过程，则ZQ）=Z（f）+iy«）,feT称

为复随机过程.

复随机过程Z（f）概率分布：可用二维随机过程（X的所有m+n维分布数或

分布密度给出.

期望：mz（t）=EZQ）=EX（f）+iEY（t）,teT

（自）协方差函数：

C2（r（,r2）=E［（z4）一机z（G）（z&）一加z&））］，h，t2eT

（自）相关函数定义：

Rzd）=£［ZQ］）ZQ2）］,f1/2eT

注意与实随机过程协方差和相关函数定义不同（取共腕）

方差：£>zQ）=E|ZQ）—机z（f）『=Cz（r,r）

(非负的实函数)

均方值:%⑺=E|Z(，)|2=4QJ)

(非负实函数)

易知：

Cz(，1,，2)=Rz(，l,，2)7"z(乙"2)

Proof:

cz(t,,t2)=£[(Z(t,)-%(4))(Z(t2)-mz(t2))J

=E[Z(r,)Z(t2)]-mz(?1)mz(t2)

=，(“2)一啊(％)%&)♦

复二阶矩过程：一阶和二阶矩存在(期望、方差、协方差和相关函数有限)的复随机过

程.旦期望和相关函数是复二阶矩过程的基本数字特征，协方差与方差均可由它们确定.

两个复随机过程Z,(r),Z2(z)(fGT),可定义互协方差函数：

Cz,Z?,，2)=COV(Z](Z]),Z2((2))

=E[Z,(t,)-mZi(Z()][Z2(t2)-mZi(r2)]t^eT

互相关函数：

(握2('l，’2)=E[Z](f])Z2(，2)]

Remark:(1)通常仅考虑实随机过程

(2).随机过程的微积分和第二章平稳过程亦适用复随机过程.

例.复随机过程

N

Z(f)=ZAe"5),-8<t<+8

R=1

其中g是正常数，N是固定正整数，A,是实尸》①人U[0,2〃]且

4和①人(％=1,2,…,N)相互独立，求Z(f)期望与相关函数

此例Z(t)表示N个复谐波信号叠加而成的信号，它是复随机过程.

N

解:〃?4）=吧4"…）}

k=\

N

=ZEAk{Ecos（0（/+①R）+ifsin（d90Z+①J}

k=\

制卬+外旺加｝

）

LCOS（CO0t+（pk

k=\

二0

N-

Rz（W2）=E》

j=lk=l

NN

=E[^X

j=lk=l

NN

)=1k=\

而Ee"吁"*)=Ecos(①，一①J+iEsin(①，一①人)

fp.Ji汽”12「2%「2尸12

=LI,COS(^.-(p)(—)+iIIsin(%一%)(丁)d%d%

R遇JkLjl卬2.71

foj^k

一「j=k

N

于是/?Z(仆2)=e胸"L">ZE履

k=l

§4随机微积分(stochasticcalculusanddifferentiability)

本节介绍随机过程在均方意义下微分和积分.先介绍均方极限和均方连续；过程在均

方意义下极限、连续、导数和积分之定义在形式上与高数中相应定义类似，其性质亦相同.

常假设随机过程为二阶矩过程.

一、均方极限(limitinmeansquare):

定义.设随机序列{乂”,〃=1,2L-}和人以,且£阂「<00,七凶2<8，若有：

lim£|X„-X|2=0

则称X“均方收敛于X,而X是x“均方极限

[己/•/-mX=XCI,i•m"limitinmeansquare)

M-»00n

Remark:①.lim针对一般数列而言

/•机针对随机序列而言

②.若X“,X为复随机变量，1.1表示复数模.

Theorem,若/・加X“=X,且li-mXn=Y则

n—>oow—>QO

P{X=Y}=\.即均方极限在概率为1相等的意义下唯一

Proof:E\X-y|2=£|(x„-x)-(x„-y)|2

4E\X„-Xf+2E\(XH-X)(Xn-Y)\+E\Xn-Yf

21/221/22

<E\x„-xf+2(E\xn-x|)(£|x„-r|)+£|X„-r|

fo(〃->8)E|xr|<(£|x|2)l/2(£|r|2)'/2

.-.£|x-y|2=0许瓦兹不等式

故px—y=0｝=iorp｛x=丫｝=1

均方极限性质：

(1)若=X，则lim£X“=EX,即limEX“=E[/Z:"X,』

/J—>00"T8〃T8"TOO

(极限与数学期望可交换次序)

Proof:利用OY=E|y「TEY「NO,有：

\EXn-EX\=|E(X„-X)|<(£|X„-X『严

〃一>8

而已知£|X“—X『_>0\EXn-EX\-^0

(2)若/•八mx,“=x，又/•，•机匕=丫，则

“TOO〃T8

limE(XM)=E(XY)

H—>00

?J—>00

特别：若limX“=X,则lim£(X,“X“)=EX2

n—〃一>8

〃一>8

(利用,(叩匕)-E(XY)\=\E(XmXn-XY)\

=|£[(x,„-x)(匕-y)+x(匕-y)+(x,“-x»]|和许瓦兹不等式)

(3)若limX“=X,limY“=Y,则对常数a,。有：

"Too/I—>oo

l-i-m(aXn+bYn)=aX+bY.

n—>oo

(4)若数列｛a“,〃=l,2,…｝有极限lima“=0,又X是

n-»oo

则l-i-m(anX)=0

"TOO

事实上，当”时间%X「=|ajE|X『一O

(5)/•z•mX〃存在<=>/•/•m(Xm—X〃)=0(Proof)

M-»00"TOO

n—>oo

“二>”显然"U"Lebesgue控制收敛Th

Temark:在性质⑵条件下不能得到/J•mX：=X?,/Zm(X),)=XY,因为

/n—>oo/«—>co

后困一乂2『,£区匕_乂行涉及四阶矩.

二、均方连续性与均方导数(continuityanddifferentiabilityinmeansquare):

本节以后之内容参数集T取为连续的，如取出,切,(-8,+8),[0,+8)

定义1：若随机过程｛XQ)jeT｝,对固定的JeT,有

limX(t)=XQo)即limE|X(f)-X&)『=0

f0f0

则称X。)在%处均方连续.若X。)在T中每一个f处都连续，则称X。)在T上均方

连续.

Theorem.随机过程｛X(f),fwT｝在T上均方连续。其相关函数(乙小)在第一象

限分角线中｛(/,/)：/£7｝的所有点上是连续的.

Proof:事实上需证：X(f)在T上任一固定点上连续oRx。")在&，%)连续

“<=”设Rx(小，，)在(％，%)上连续，要证设⑺=X(%)

f0

22

E\X(t)-X(r0)|-EX\t)-2E[X(r)X(/0)]+EX%)

=('，')—2R*('，'o)+Rx('o，’0)

当:)时，由于0&，，2)在。0，，0)连续，上式右边趋近于零，

故用X(f)—X(fo)12fo

=由均方极限性质(2)有:

f0

limE[X(GX&)]=讥X(f°)X(f。)]

f]T/O

12fo

即limRx(fpr2)=/?x(t0,t0)

“f0

ST，0

定义2：若过程｛X«),fwT｝在2处下列均方极限

X(r+/2)-X(r)

/•I-tn----0----------匚0存在，

万5)h

则称此极限为X”)在无处均方导数，记为X(%)or的,称X(f)在处均方可

导.若X(f)在7中每一点，上均方可导，则称X。)在T上均方可导.此时均方导数X'⑺

为一新的随机过程.

Theorems.随机过程｛X(f),f€7｝在，处均方可导的。

极限

1RxQ+h,t+/?')—R，x(t+/?,f)—R，x+//')+/?«(f,f)

(I)

hxh'

hT0

存在，因而，XQ)在T上均方可导。上式对所有f均成立

Proof:14U”上式成立，只要证/•i•加X”)存在

20h

,_L,17口UL①riH「X(f+/?)—X(f)X(f+/l')—X(/)„

由均方极限性质(5).只要/•八m[———-———------———]=0

22hh'

/f->0

o

叩7.fXQ+m—X。)xa+%-

B|JI-i-mE--------------------------=0

曰hh，

亦即li-"i[RxQ+h,t+h)—Rx(t+h,t)-Rx(t；t+h)+Rx«，D

20h2

h'—O

RxQ+h,t+h')-Rx(t+h：t)_RxQ,t+//)+&。/)

盾

_Rx(f+//,f+h')—Rx(t+/?,，)—Rx(t,/+//)+/?xQJ)]

—2x—：---------------------:-----------------:-----------------:-------=(J

hh,

v(I)极限存在，而此极限在h=h'时亦存在且极限数值不变.

上式l-i-m--------------存在.

20h

“二>”设X(f)在/处可导，利用均方极限性质(2).

并知(/•八/(f+HO))式中极限存在，则可得

A—>0h

..mX(f+%)—X(f)X(f+//)—X(f)

limE[--------------------------------；----------]存在，办即

h-fOhh'

Y->0

极限

—

「Rx(『+/?/+/?')—R，x(f+/?,/)Rx(t,t+/?')+(f,f)

性质(其证明只须用均方导数定义和均方极限性质)

(1)若过程X。)在f处可导，则它在7处连续.

(2)X(f)均方导数X'«)期望是

〃〜⑺=E[X()]=?EX(f)=小)

at

求导记号与数学期望可交换次序；前者对随机过程求导，后者对普通函数求导.

(3)随机过程X。)之均方导数X'(f)相关函数是

a2Q2

RAtt，t2)=E[X^X'(t2)]=--Rx(tl,t2)=--Rx(^t2)

dtlot2dt2dtA

(4)若X为r"则X'=0

(5)若XQ),YQ)是随机过程，a,。为常数，则

[aX(t)+bY(t)]'=aX'(t)+bY'(t)

(6)若/«)是可微函数，而XQ)是随机过程，则

2

Proof(1)E\X(t+h)-X(r)|2=E+-h

2

=\hfEX«+?-X(f)_x，«)+x，⑺

/2

2

<\h\E.X"+/?)-X(f)—x'a)+E|XM)1+2同X()『)I/2(E|「严

/—o>0

(2)mx5=EX'(t)=Elim⑺

均方.限⑴limEX«+〃)—EXQ)_hm^x(t+h)-mx(r)

/»—>oh«—>oh

=m'xQ)

(3)RX&」2)=E[X乜)X乜)]=E1-i・m*:-X('J卜j.mX('2+.)-X&)

L」h—oh%，。h'

均竺限⑵limlim0f)-0(1+矶)-&(W2+储+吊(此)

hiIfOhh'

咽(八+/?，，2)风(小，2)

..初，dt6,3,、、

=1"-----------=-----；--------=2—=/(子RDxg，/2))

2。hdt{dt2

d2

=》a*Rx(，i，，2)

比2dti

八2

同理可证：0@/2)=^^&(中2)

Of02

(4)显然

2

(5)Proof：E------------------------------------------------------aX(t)-bY(t)

h

2

=Ea(X"+')—♦")-X'(/))+/«+­).-Y'{ty)

hh

22

<a2EX('+止X。)_x，(f)+b?Ey(f_y(')-Y'(t)

hh

/,2、l/2/,12、l/2

+2画EXQ+h：X(t)_x'(t),Ey«+3_y⑺_y'(f)]

I7\I/

^->0

2

(6)EJ*+S'(廿")二.»，)四_『")X⑺一/(f)X'(f)

h

(_『(型⑺⑺，⑺

=E.ft+h)X(i+h)—fQ)XQ+h)+f(t)X(t+h)—fQ)X(t)—/x

h

=E/(，+?-'")x(f+//)—r«)x⑺+/⑴x(f+?x«)_x，⑺]

=E(尸⑺+00))X(t+h)-八f)X(f)+f(t)X(yX«)_x")]

=E/⑺[XQ+〃)-X⑴]+06)XQ+〃)+/Q)X(t»：X(t)_%⑺J

WECf(f))|XQ+/O_XQ)|2+04)EX2(f+〃)+/2(f)E迎当户祖—X<t)

+2〃)旷⑺|((E|XQ+%)-X⑺「严闺X(f+%)『

+20(〃)|/(f)|EX"/丁X(r)_x'("(E|X(r+/z)|2)，/2

/।|2、/2

+2|尸(f)||/(3(同X(f+/z)-x(叶严£「弋_乂⑺_x2”

出一>0

三、均方积分(integrationinmeansquare):

定义：设｛X(f)/e[a,b]｝是随机过程，/(f)“e[a,切)是函数.将区间[a,们分成〃

个子区间，分点为a=t0<t[<-<tn=b作和式

女=1

其中也是子区间比t,fJ中任意一点,♦=1,2,…，〃令△=max&-)

l<k<n

若均方极限

/-z-/n^/(M,)X(Mt)(r,—kJ存在且与子区间分法和«,之取法无关，则称此极限

△T°«=1

为/⑺X。)在口向上均方积分，记为1/Q)XQ)力.此时亦称/(t)X(f)在区间伍,切

上是均方可积的.

Theorem4.

/«)XQ)在区间口,们上均方可积充分条件是二重积分£^f(s)f(t)Rx(s,t)dsdt

存在；且有

时/⑺X(f)d7-=f"(s)f(t)Rx(s,t)dsdt.

Proof：利用均方极限性质(5),要积分(/(f)X(f)力存在只需证明：

Ja

JimZ/(4)Xd)&-*)-Z/W，)X(匕)(4-心)=0

A二oL&=11=1-

其中〃="vs】<・・・<%=》是区间[a,。]另一组分点，而yr<vz<s1,

N=max(5Z-5^))，亦即

/_〃1

limf,2/（4冰甩）&—*）一£/（匕）X（匕Ms/-%）=0

△=0k=l/=1

即也££/（/）/（%）Rx（以，勺）&-%）。厂5）

A二oil网

〃？〃？

+Z£/（匕）/W）Rx（v”v«）（跖一s”）6一$,I）

1=1n=\

〃〃i

-2EE/<MA-^.-1）（^--?/-!）=0

k=\7=1_

由二重积分定义，左边极限等于

f(f(s)f(t)Rx(s,t)dsdt+f(f(s)f(t)Rx(s,t)dsdt

JaJaJaJa

-2ff'f(s)f(t)Rx(s,t)dsdt=0的确为0

Ja

充分性获证.

•••均方积分，/(f)X(f)力存在，利用均方极限性质(2)有：

〃"】

••,HmE2/(以/(以)&-*)£/(匕/(匕)(y-斗_1)

A=OGL='」

存在；且等于E8/(f)X(f)d