广东省湛江市爱周中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析

广东省湛江市爱周中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在中，“”是“”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A2.定义在R上的偶函数满足：对且，都有，则（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A3.苏格兰数学家纳皮尔发明了对数表，这一发明为当时的天文学家处理“大数运算”做出了巨大贡献法国著名数学家和天文学家拉普拉斯曾说过：“对数倍增了天文学家的寿命”比如在下面的部分对数表中，16，256对应的幂指数分别为4，8，幂指数和为12，而12对应的幂4096，因此16×256=4096.根据此表，推算512×16384=（）

x123456789102481632641282565121024x111213141516171819202048409681921638432768655361310722621445242881048576x21222324252097152419430483886081677721633554432

A.524288 B.8388608 C.16777216 D.33554432参考答案：B【分析】先通过阅读，理解题意后再进行简单的合情推理即可得解.【详解】由上表可知：，，即512，16384对应的幂指数分别为9，14，幂指数和为23，而23对应的幂为8388608，因此．故选：B．【点睛】本题考查了阅读理解能力及进行简单的合情推理，属简单题.4.已知实数，则是的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略5.“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

参考答案：A略6.已知集合，，若，则实数的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：A略7.函数的图像可能是（

）参考答案：B8.已知函数f（x）=lnx﹣x+﹣1，g（x）=x2﹣2bx+4，若对任意的x1∈（0，2）存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），则实数b的取值范围是（）A．[，+∞） B．（﹣∞，] C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）参考答案：A【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】利用导数研究函数f（x）的最值问题，根据题意对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可．【解答】解：∵函数f（x）=lnx﹣x﹣1，（x＞0）∴f′（x）=﹣+==，若f′（x）＞0，1＜x＜3，f（x）为增函数；若f′（x）＜0，x＞3或0＜x＜1，f（x）为减函数；f（x）在x∈（0，2）上有极值，f（x）在x=1处取极小值也是最小值f（x）min=f（1）=﹣+﹣1=﹣；∵g（x）=x2﹣2bx+4=（x﹣b）2+4﹣b2，对称轴x=b，x∈[1，2]，当b＜1时，g（x）在x=1处取最小值g（x）min=g（1）=1﹣2b=4=5﹣2b；当1＜b＜2时，g（x）在x=b处取最小值g（x）min=g（b）=4﹣b2；当b＞2时，g（x）在[1，2]上是减函数，g（x）min=g（2）=4﹣4b+4=8﹣4b；∵对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），∴只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可，当b＜1时，≥5﹣2b，解得b≥，故b无解；当b＞2时，≥8﹣4b，解得b≥，综上：b≥，故选：A【点评】本题考查不等式恒成立问题，利用导数求闭区间上函数的最值，根据不等式恒成立转化为最值恒成立是解决本题的关键．综合性较强，运算较大，有一定的难度．9.如图所示，点O为正方体ABCD

A′B′C′D′的中心，点E为棱B′B的中点，若AB=1，则下面说法正确的是（）A．直线AC与直线EC′所成角为45°B．点E到平面OCD′的距离为C．四面体O

EA′B′在平面ABCD上的射影是面积为的三角形D．过点O，E，C的平面截正方体所得截面的面积为参考答案：D【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】分别计算各选项的问题，得出结论．【解答】解：对于A，连结A′C′，A′E，C′E，则A′C′∥AC，∴∠A′C′E为直线AC与直线EC′所成角，在△A′C′E中，A′C′=，A′E=C′E=，∴cos∠A′C′E==，∴直线AC与直线EC′所成角的余弦值为，故A错误；对于B，连结CD′，A′B，则O∈平面BCD′A′，∴B′到平面BCD′A′的距离为AB′=，∴E到平面BCD′A′的距离为，故B错误；对于C，O在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中心，A′的射影为A，B′和E在底面的射影为B，∴四面体O

EA′B′在平面ABCD上的射影是面积为的三角形，故C错误；对于D，取DD′中点F，连结A′E，A′F，CE，CF，则菱形CEA′F是过O，C，E的平面与正方体的截面，∵EF=，A′C=，∴截面面积S==．故D正确．故选D．10.设集合，，则（

）A.{－1}

B.{0,1,2,3}

C.{1,2,3}

D.{0,1,2}参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知一个等腰三角形的底边长为3，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是

．参考答案：12.如图,在中,,是边上一点,,则的长为________.参考答案：13.在三棱锥中，，，，，，．则三棱锥体积的最大值为

．参考答案：.解析：设，根据余弦定理有，故，．由于棱锥的高不超过它的侧棱长，所以.事实上，取，且时，可以验证满足已知条件，此时，棱锥的体积可以达到最大．14.函数的部分图象如图所示，则函数表达式为

．参考答案：

15.函数，若，则

.参考答案：16.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0(x1≠x2)，有>0.则f(－2)，f(1)，f(3)从小到大的顺序是________．参考答案：f(3)<f(－2)<f(1)17.曲线y＝0，y＝，y＝x－2所围成的封闭图形的面积为_______________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l经过定点P（2，3），倾斜角为．（Ⅰ）写出直线l的参数方程和圆的标准方程；（Ⅱ）设直线l与圆相交于A，B两点，求｜PA｜·｜PB｜的值．参考答案：解：（！），

（为参数）-------------------5分（2）把代入得：设为的两根，所以所以｜PA｜·｜PB｜=------------------------------------------10分略19. 已知函数（其中为常数且）在处取得极值．（1）当时，求的单调区间；（2）若在上的最大值为，求的值．参考答案：（I）因为所以

…因为函数在处取得极值

当时，，，随的变化情况如下表：00↑极大值↓极小值↑

所以的单调递增区间为,

单调递减区间为

……(II)因为令,

…

…因为在处取得极值，所以当时，在上单调递增，在上单调递减所以在区间上的最大值为，令，解得……当，当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增所以最大值1可能在或处取得而所以，解得

………………当时,在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增所以最大值1可能在或处取得而所以，解得，与矛盾

当时，在区间上单调递增，在单调递减，所以最大值1可能在处取得，而，矛盾综上所述，或．

20.已知函数f（x）=ex，g（x）=ax+b，（a，b∈R）（1）讨论函数y=f（x）+g（x）的单调区间；（2）如果，求证：当x≥0时，．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先求导，再分类讨论，利用导数和函数单调性关系即可求出，（2）原不等式等价于（e﹣x﹣1）（αx+1）+x≥0，再构造函数，利用函数和最值得关系即可证明【解答】解：（l）y=f（x）+g（x）=ex+ax+b，x∈R，y'=ex+a，若a≥0，则y'＞0所以函数y=f（x）+g（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞），若a＜0，令y'＞0，得x＞ln（﹣a），令y'＜0，得x＜ln（﹣a），所以函数y=f（x）+g（x）的单调增区间为（ln（﹣a），+∞），单调减区间为（﹣∞，ln（﹣a））（2）当，x≥0时，要证，即证，即证e﹣x（ax+1）+x≥ax+1，即证（e﹣x﹣1）（αx+1）+x≥0，设h（x）=（e﹣x﹣1）（ax+1）+x，则h（0）=0，h'（x）=e﹣x（a﹣1﹣ax）+1﹣a，下证ex≥x+1，令?（x）=ex﹣x﹣1，则?'（x）=ex﹣1，当x∈（﹣∞，0）时，?'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，?'（x）＞0，所以[?（x）]min=?（0）=0，所以ex≥x+1，即﹣x≥1﹣ex，所以h'（x）=e﹣x（a﹣1﹣ax）+1﹣a≥e﹣x[a﹣1+a（1﹣ex）]+1﹣a=e﹣x（2a﹣1）+1﹣2a=（e﹣x﹣1）（2a﹣1）≥0，所以h（x）在[0+∞）上单调递增，所以h（x）≥h（0）=0，所以当x≥0时，．【点评】本题是一道导数的综合题，考查了函数单调性和导数之间的关系以及，利用导数求函数的单调区间，等价转化思想，不等式的证明．综合性较强，难度较大．21.在十九大“建设美丽中国”的号召下，某省级生态农业示范县大力实施绿色生产方案，对某种农产品的生产方式分别进行了甲、乙两种方案的改良。为了检查甲、乙两种方案的改良效果，随机在这两种方案中各任意抽取了40件产品作为样本逐件称出它们的重量（单位：克），重量值落在(250,280]之间的产品为合格品，否则为不合格品。下表是甲、乙两种方案样本频数分布表。产品重量甲方案频数乙方案频数(240,250]62(250,260]812(260,270]1418(270,280]86(280,290]42

（1）根据上表数据求甲(同组中的重量值用组中点数值代替)方案样本中40件产品的平均数和中位数（2）由以上统计数据完成下面2×2列联表，并回答有多大把握认为“产品是否为合格品与改良方案的选择有关”.

甲方案乙方案合计合格品

不合格品

合计

参考公式：，其中.临界值表：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8145.0246.63510.828

参考答案：（1），甲的中位数为；（2）见解析分析：（1）由频率分布表求出甲方案样本中40件产品的平均数和中位数；（2）列出列联表，计算，根据临界值表格，作出判断.详解：（1）甲的中位数为（2）列联表因为故有90%的把握认