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高等数学李伟版课后习题答案第五章
习题5—1(A)
1.判断下列叙述是否正确?并说明理由:
(1)如果函数f(x)仅在区间[a,b]上有界,它在[a,b]上未必可积,要使其可积,它在
[a,b]上必须连续;
ba
ba
(2)如果积分存在,那么f(x)dx(ab)
f(x)dxlim
f(a
ban
(3)性质5也常称为积分不等式,利用它(包括推论)结合第三章的有关知识,可以估
计积分的值、判定积分的符号,也可证明关于定积分的某些不等式;
(4)定积分的中值定理是一个非常重要的定理,利用它能去掉积分号,同时该“中值”f()
还是被积函数在积分区间上的平均值.答:(1)前者正确.如狄利克雷函数D(x)
1,xQ,0,xQ
在区间[a,b](其中ba)上
有界,但是它在区间[a,b]上不可积,事实上:将[a,b]任意分成n个小区间[xil,xi](其
中x0a,xnb)记第i个小区间长度为xi,先在[xil,xi]上取(i1,2,,n),
i为有理数,则lim
D(
0
xilim
0
ba,再在[Gil,xi]上取i为无理数,
则lim
0
D(
i0
i
)xilim
0
0x
i0
对于i的不同取法黎曼和的极限不同,所以D(x)0,
在区间[a,b]上不可积;后者不正确,参见定理1.2.
(2)正确.事实上:由于f(x)在区间[a,b]上可积,则对[a,b]的任意分法,i的任意取
法,都有
ba
n
f(x)dxlimban
0
i1
f(i)xi,现在对[a,b]区间n等分,i去在小区间的ban
右分点,贝ljiai,xi
n
,并且0等价于n,所以
n
ba
f(x)dxlim
0
i1
f(i)xilim
n
i1
f(a
ban
)
ban
(3)正确.它是证明关于定积分不等式的基础,参见例题1.3、1.4、1.5等.(4)正确.它
可以起到去掉积分号的作用
ba
f(x)dxf()(ba);也可以用来表示连
续函数在区间[a,b]上的平均值
Iba
ba
f(x)dxf(),但是由于位置不好确定,一
般不用它来计算平均值,而是直接计算
Iba
ba
f(x)dx.
2.自由落体下落的速度vgt,用定积分表示前10秒物体下落的距离.解:根据定积分
引入的实例,变速直线运动的路程s
ba
v(t)dt,所以s
100
gtdt.
3.一物体在力FF(x)作用下,沿x轴从xa点移动到xb点,用定积分表示力F(x)
所做的功W.
解:将位移区间[a,b]任意分成n个小区间偏1,xi](i1,(其中2,,n),
x0a,xnb)记第i个小区间长度为xi,在[xil,xi]上任取一点i,用F(i)近似
代替物体从Xxil移动到XXi时所受的力,则物体从XGil移动到Xxi时所做的功
n
n
i
近似为WiF(i)xi,于是W
n
W
i1
F(
i1
记m)xi,xa{
n
xii1,2,,n},
则Wlim
0
F(
i1
i
)xiF(x)dx(假定极限lim
a
b
0
F(
i1
)xi存在).
4.用定积分的几何意义求下列积分值:
(1)
aa
axdx;(2)
2
22
21
xdx.
解:(1)如图,上半圆的面积Aa/2,
根据定积分几何意义所以,
aa
2
2
aa
axdxA,
22
axdxa2/2.
(2)如图,面积Al4/22,A21/2,
根据定积分几何意义所以,
21
21
xdxA1A23/2,
xdx3/2.
5.若函数yf(x)在区间ia间上连续,用定积分的几何意义说明:
(1)当f(x)为奇函数时,
(2)
aaaa
f(x)dx0;f(x)dx2
aO
当f(x)为偶函数时,
f(x)dx.
解:(1)如图1,当f(x)是奇函数时,由对称性,面积AlA2,
根据定积分几何意义,
aa
Rx)dxA1A20.
(2)如图2,当f(x)是偶函数时,由对称性,面积AlA2,
根据定积分几何意义,
6.比较卜列各组定积分的大小:
(1)II
aa
f(x)dxA1A22A12
aO
f(x)dx.
10
xdx与12
2
10
xdx;(2)Il
3
10
21
xdx与12
21
3
xdx;
(3)Il
20
sinxdx与11
20
sin
3
(4)11xdx;
10
53
Inxdx与12
53
(Inx)dx.
2
解:(1)因为在区间[0,1]上x2x3,所以(2)因为在区间[1,2]±
x
3
xdx
2
2
xdx,即II12.
213
3
x,所以
3
1
xdx
xdx,即II12.
(3)因为在区间[0,/2]±sinxsin
所以x,
5
20
sinxdx
53
20
sin
2
3
即H12.xdx,
2
(4)因为在区间[3,5]JtInx(Inx),所以Inxdx
3
(Inx)dx,即1112.
7.估计下列定积分的值:
(1)I(3)I
2021
(2sinx)dx;(2)I
x
dx;(4)I
1020
arctanxdx;
2
lx
2
(x2x3)dx.
解:(1)设f(x)2sinx,在区间[0,2]上显然有1f(x)3,又f(3/2)1,
f(/2)3,于是函数f(x)在区间[0,2]上的最小值为m1,最大值M3,而区
间长度ba2,根据m(ba)
ba
f(x)dxM(ba),得216.
(2)设f(x)arctanx,由于函数f(x)在区间[0,1]上单调增加,于是f(x)在区间
[0,1]上的最小值为mf(0)0,最大值Mf(l)/4,而区间长度6a1,
根据m(ba)
ba
f(x)dxM(ba),得0I/4.
lx
22
(3)设f(x)
xlx
2
,则f(x)
(lx)
2
,在区间[1,2]±f(x)0,于是函数f(x)
在区间口,2]上单调减少,所以f(x)在区间[1,2]上的最小值为mf(2)5/2,最大值
Mf(l)1/2,而区间长度ba1,根据m(ba)得2/5I1/2.
(4)设f(x)x22x3,则f(x)2x2,有“f(x)0,在区间(0,2)(2)edx
1
X
10
(lx)dx.
证明:(1)在区间[0,/4]上显然有sinxcosx,所以
40
sinxdx
40
cosxdx.
xx
(2)设f(x)elx,在区间[0,1]上,f(x)el0,于是函数f(x)在区间
[0,1]上单调增加,从而f(x)出0)0,即在区间[0,1]上exlx,所以
10
edx
x
10
(lx)dx.
习题5—1(B)
1.右图给出了做直线运动的某质点在0到9s代数和,即v(t)dt1082(单位);
09
质点在。到9s内所实际走的路程为阴影面积的
和,即v(t)dt10818(单位)
9
2.用定积分中值定理求下列极限:
(1)lim(2)lim
n
82
x
2xx
x;
lx
nln
n
xarctanx.
82
解:(1)由定积分中值定理,
82
x
n
n
2xx
x
6n
n
n
2nnlim
(其中2n8),于是
6
lim
n
x
n
n
2xx
xlim
6n2
n
n
n
n
n
n
21/
nln
3.
(2)由定积分中值定理,
nln
xarctan
lx
Xnarctan
1
n
(其中nnnl),
由nnpl,有n等价于n.,于是
lim
n
nln
xarctan
lx
xlimnarctan
n.
1
n
limn
n.
1
n
1.
]ab)3.若函数f(x),g(x)在区间[a,b(上连续,f(x)g(x),且f(x)不恒等于g(x),
证明
ba
f(x)dx
ba
g(x)dx.
证明:设F(x)g(x)f(x),由题目条件知,在区间[a,b]上函数F(x)连续且F(x)0又不恒
等于零,于是有xO[a,b],使得F(xO)0,由连续函数的性质,.0,在区间[xO,
xO][a,b](1)2e
122
2
f(x)dx
ba
g(x)dx.
02
e
xx
2
dx2e
12
1/4
(2)
1
xdxx
xx
2
n
(其中n是正整数).
证明:(1)设f(x)e
x
,则f(x)(2x1)e
2
x
,由f(x)0,在区间(0,2)内得驻
点x1⑵又f(0)l,f(l/2)el/4,f(2)e2,于是函数f(x)在区间[0,2]的最小值为mel/4,
最大值为Me2,从而2el/4~
20
e
XX
2
因为dx2e,
2
02
e
xx
2
dx
20
e
xx
2
dx,所以2e
x2
2
02
e
xx
2
dx2e
1/4
x2
XX
n
(2)在区间[0,1]上显然有
xx
10
n
x,且等号不恒成立,而函数、
X都连续,根据本节习题(B)3,有
12
x2
10
dx
10
xdxx
10
xdx,而由定积分的几何
意义得xdx
1
10
x2
dx
12
xdx
122
,所以
22
10
xdxx
n
12
习题5—2(A)
1.判断下列叙述是否正确?并说明理由:
(1)在定理2.1的证明中,被积函数连续的条件是不可缺少的;(2)若f(x)连续、则
F(x)(x)可导,
(x)
f(t)dt的导数等于被积函数在上限处的值;
(3)在f(x)连续、(x)及(x)可导时,通过将F(x)
(x)
(X)
Rt)dt化成两个变上限定
积分,可求得F(x)f((x))(x)f((x))(x);
(4)使用牛顿―莱布尼兹公式计算定积分,首先要找到被积函数在积分区间上的一个原
函数,然后求该原函数在积分区间上的增量.
答:(1)正确.定理的证明中两次用到连续性,一次是使用定积分中值定理时,再一次是
最后求极限时.
(2)不正确.应该是F(x)fl(x)](x),即被积函数在上限处的值与上限处函数
(x)的导数之积.
(3)正确.将函数F(x)改写为F(x)(4)正确.这就是牛顿-莱布尼兹公式
(x)
ab
f(x)dx
(x)
a
f(x)dx,再根据(2)求导.
a
f(x)dxF⑹F(a)(其中F(x)是Rx)在
区间®b]上的一个原函数),但是要注意被积函数的连续性,对分段函数(或分区间连续
函数)要分区间求.2.计算下列定积分:
(1)(3x42x2l)dx;(2)(xa)(xa)dx;
la
(3)(5)
94
x(l
4
lx
)dx;(4)
23
llx
X;
21
xl
X;(6)3
X
lx3x
x;(8)2
31/
3
dxlx
2
(7)(9)
10
120
dxx
tan
2
2
(12sinx)dx;(10)
40
30
xdx
(11)
20
dxlsinx
2
»(12)
20
cosxx;
(13)x2xldx;(14)
4
2
ex,x1,
f(x)dx,其中f(x)
x1.
4
解:(1)(3x2x1)dx[x
1
3
4
23
2
5
xx]O
31
15
a
3
(2)(xa)(xa)dx
094
a
aO
(xa)dx
2
x
3
a
323x
a
3
3
9
a
3
2a3
2
(3)(4)(5)(6)(7)
x(l
llx
4
lx
)dx
94
(x
lx
)dx[
3/2
,2x]424
283
443
'23
xInx
21
01n2ln2.
21
xl
x3
x
3
(x
lx
)dx[3
3
x
2
2
12x
2
]1
2
178
1
98
dx
3
1/
lx
2
arctanx
1/3
3
6
6
1
10
lx3x
x[2
13
arctan
x3
1/20
12
ln(3x)]0
3
63
12
ln4
12
ln3
63
12
In
34
1
(8)(9)
20
dxx
2
arcsinx
6
0
6
(12sinx)dx.2cosx
.2(11)~4.
(10)
30
tan
2
xdx
30
(sec
2
xl)dxtanx
/3
3
30
3
3
3
(11)
40
dxlsinx
20
40
(Isinx)dxcos
2
x
2
[tanxsecx]O
/4
1212.
(12)(13)
cosxx
cosxdx
20
cosxdxsinx
10
/2
sinx
21
/2
10(01)2.
20
x2xldx
2
xlx
(ix)
21
21
(lx)dx
(xl)
221
(x)dx
12
1.
20
10
12
12
12
(14)
f(x)dx
cdx
x
xdxe
xlO
x
2
21
2
el2
12
e
12
3,求下列函数yy(x)的导数(l)y(3)y解:(1)(2)
dydx
dydx
xO
e
x
t
2
dt;(2)y
2
lx
sintt
x2
dt;
sintdt;(4)y
x
2
ex
Inxdt.
e
2
dydx
sinxx
(3)
dydx
dydx
sin(x)
12x
sinx2x
2
(4)ln(e)(e)ln(x)(x)x(e21nx).
xx2x2
4.求下列极限:
(1)lim
xl
edt
t
2
x1
Inx
xO
2
;(2)lim
xO
sintdtx
3
2
dt)
2
2
x0
xOxO
2
costdtxsin
x
2
sintt
(3)lim
X0
5
x
;(4)lim.
x0
costdt
解:(1)lim
1
edt
lim
2
x1
t
e
x
2
x1
xO
Inxsintdtx
xO
3
1/x
limxe
x1
x
2
e.
(2)lim
x0
lim
2
sinx3x
2
2
xO
13
2
x0
costdtxsin
5
(3)lim
x0
x
lim
costdtxx
5
x0
lim
cosxl5x
4
2
x0
lim
x/25x
4
4
x0
110
(4)lim
(
xOxO
2
sintt
dt)
2
2
x0
lim
2
xO
sint
costdt
x0
tx
4
2xcosx
dt
sinx
lim
X0
xO
sinttx
dtlim
x0
sinxxl
1.
习题5—2(B)
1.求变力F(t)
2
it沿数轴从点t1到点t2所做的功.
解:根据习题5・1(A)3,
W
21
F(t)dt
21
(tt)dx[t
3
2y0
2
2
2
3/2
2
t
3
3
]1
2
2
423
83
23
13
423
3.
2.设函数yy(x)由方程解:方程
2y0
,tdt
2
2
xO
ltdt0,求
dydx
.tdtdydx
2
xO
'tdt0两边同时对x求导,有
24y
2
.2xx
4
0,解得
xl
dydx
dy
xx4y
42
3.若函数f(x)连续,设y解:yx
xl
dxdy
f(t)dt,根据乘积求导法则,
dx
xf(t)dt,求.
xl
f(t)dtxf(x).
4.证明:当x0时,函数I(x)
xO
te
2
出取得最小值.
2
x
证明:函数I(x)在(,,由I(X)0得唯一驻点X0,.)内有定义,I(x)xe
2
2
又I(x)e
x
2xe
2x
,I(0)10,于是x0是函数I(x)
x0
te
t
2
出的唯一极
小值点,从而也是最小值点,所以当x0时、函数I(x)
x0
te
t
2
dt取得最小值.
5.若函数f(x)在区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(x)0,设
F(x)
Ixa
xa
f(t)dt,
证明:在区间(a,b)内F(x)0.
f(x)(xa)
证明:F(x)
2
xa
f(t)dt
(xa)
f(x)(xa)f()(xa)
(xa)
2
(方法1)由定积分中值定理,F(x)
f(x)f()
xa
(其中ax),由f(x)0,有函数f(x)单调减少,而x,得f(x)f(),
所以在区间(a,b)(方法2)因为
xa
f(x)dtf(x)(xa),所以
F(x)
xa
f(x)dt
xa2
f(t)dt
xa
[f(x)f(t)]dt(xa)
2
(xa)
(xt),
illf(x)0,有函数f(x)单调减少,而Xt,于是f(xjf(t)0,得
xa
[f(x)f(t)]dt0,所以在区间(a,b)内证明F(x)0.
(方法3)设g(x)f(x)(xa)
xa
f(t)dt,则g(x)f(x)(xa)0,
于是函数g(x)在区间[a,b]上单调减少,g(x)g(a)0,所以F(x)0.
6.若函数f(x)可导,且f(O)0,f(0)2,求极限lim
xO
f(t)dtx
2
x0
解:lim
xO
f(t)dtx
2
x0
lim
f(x)2x
X0
12
lim
f(x)f(O)
x
X0
12
x0
f(0)1.
(注:由于f(x)未必连续,因此极限lim
f(x)2x
不能再用洛必达法则)
7.设函数f(x)在闭区间[0,1]连续,且f(x)1,证明方程公
(0,1)有且仅有一个实根.
x0
f(t)dt1在开区间
证明:设F(x)2x
x0
f(t)dtl,根据已知,函数F(x)在闭区间[0,1]连续,又
F(0)'10,F(l)1
10
f(t)dt,由于连续函数f(x)1,则
10
f(t)dt1,
从而F(l)0,由零点定理得方程2"
x0
f(t)dt1在开区间(0,1)至少有一个实根.
而F(x)2f(x)0,F(x)单调增加,于是方程F(x)0至多有一个实根,即方程2"
x0
f(t)dt1在开区间(0,1)至多有一个实根.
综上,证明方程或
x0
f(t)dt1在开区间(0,1)有且仅有一个实根.
x0
6(xx2),0x1,
8.若函数f(x)求函数(x)
0,其它,
f(t)dt在i,,)内的表达式.
解:当x0时,(x)
x0
f(t)dt
xO
Odt0;
当0x1时,(x)
xO
f(t)dt
xO
(6t6t)dt[3t2t]03x2x;
223x23
当x1时,(x)
xO
f(t)dt
10
(6t6t)dt
2
xl
Odt[3t2t]Q01,
231
x0,0,
23
所以,(x)3x2x,0x1,
1,x1.
习题5—3(A)
1.判断下列叙述是否正确?并说明理由:
(1)在定积分的换元积分法中,要求被积函数4x)在区间[a,b]上连续,函数x⑴在以
、为端点的区间上有连续的导数,以保证f[(t)]⑴在[,]或[,]上可积;(2)
对定积分进行换元时,需要注意的是换元的同时要换积分限,这时还要特别注意换元后积分
的下限要小于上限;
(3)定积分也有与不定积分类似的凑微分法与三角代换法等换元法,具体采取哪种换元
法,其依据与不定积分是相同的;
(4)在利用奇、偶函数的积分性质时,不仅要注意被积函数的奇偶性,而且还要注意积
分区间关于坐标原点必须是对称的.
答:(1)正确.此时fl(t)](。在[,]或[,]上是连续的,因此它可积.(2)不正
确.如xcost,则积分
ba
10
xdxsintdt,其中下限大,上限小;对
/2
2
2
f(x)dx作换元x(t),原积分下限xa对应的t值在换元后积分的下限上,原
积分上限xb对应的t值在换元后积分的上限上.(3)正确.
(4)正确.但是还需注意函数是可积的.2.计算下列定积分:
(1)
91
xl
x
X;(2)
613
dxxl
(3)
11
x54x
x;(4)
10
x
3
xdx;
2
(5)
31
dxx
2
.x
2
2
;(6)
112
xx
2
2
dx;
(7)
21
xlx
2
dx;(8)
32
dx(82x)
4
(9)
30
xxdx;(10)(lsin
3
2
01
cosxsin
2
4
xdx
(11)
x
x)dx;(12)xedx;
(13)(15)
el2
1
x
Inxdx
x;(14)
3/2/
sinx
2
lx
x;
3
1
x2xl0
2
(16)
sinxsinxdx.
解:(1)令x3则xt2,dx2tdt,于是
91
xl
x
X2
31
t
2
It
t2
31
(tl
lit
)dtt
23
13
421n(lt)l421n2.
(2)令xt,则xt31,dx3t2dt,于是
013
dxxl
10
3tdttl
2
3(tl
1
3320
)dt[t3t31n(tl)]l31n2.2tl2
1
(3)令$4xt,则x(5t2)/4,dxtdt/2,于是
11
x54x
x
13
(5t)t8t
2
X
18
(10
t
3
1
3
3
)
16
(4)令xsint,贝ljdxcostdt,于是
10
x
3
xdx
2
20
sin
3
tcostdt
2
20
(cos
4
tcost)dcost
2
cost5
5
cost3
3
]
13
15
215
2
(5)令xtant,贝(Idxsectdt,于是
31
dxx
2
x
2
/3
/4
sectdttan
2
2
tsect
/3
/4
costdtsin
2
t
j
Isint
]必
/3
2
233
(6)令xsint,则dxcostdt,于是
112
XX
2
2
dx
/2
/4
cottdt
2
/2
/4
(csctl)dtcott
2
/2/4
4
1
4
(7)令xsect,则dxtantsectdt,于是
21
xlx
2
2
dx
/3
sin
2
t
cost
dt
/3
(sectcost)dt
[Intantsectsint]O
dx(82x)
30
/3
ln(23)
321
(8)(9)
32
4
12
I
32
d(82x)(82x)
30
4
6(82x)
2
3
32
7111
.0
3846864
2
3/2
03
xxdxcosxsin
4
2
2
.xd(lx)
4
2
13x
(lx)
13
(81)
73
(10)(11)
xdx
sin
xdsinx
15
sin
5
0.
(Jsin
2
3
x)dx.
1
10
2
2
(cos
12
2
xl)dcosx.[
2
cosx3
3
cosx]0
43
(12)xedx
1
x
2
e
x
d(x)e
x
1
12
(el).
(13)
el
1
X
Inx
xInx
lx
el
Inxdlnx1
23
(Inx)
3/2e
1
1
23
53
(14)(15)(16)
3/2/
sinx
2
Ixx
3/2/
sin
2
lx
)•cos
lx
3/2/
12
0
12
1(0)
1234
21
2
dxx2xl0
d(xl)(xl.)3
2
2
13
arctan
xl3
2
sinxsm
3
xdx
sinxcos
2
xdx
sinxcosxdx
23
/2
sinxcosxdxsinxdsinx
3/2
/2
sinxcosxdxsinxdsinx
/2
3/2
/2
sinx
/2
23
sinx
/2
23
23
43
3.计算下列定积分:
(1)
Oe
xsinxdx;(2)xe
041
2
1
X
dx;
(3)Inxdx;(4)
i
Inxx
i
dx;
(5)xarctanxdx;(6)
1
2
20
arcsinxdx;
(7)解:(1)
/2
2
ecosxdx;(8)ln(l
4
x)dx.
xsinxdxxcosx
2
2
xcosxdx
2
2(xsinx
sinxdx)
1
2
.2cosx
X
2
4.
(2)xedxxe
Oel
xl
10
e
x
dx
le
e
xl
2e
(3)Inxdxxlnx(4)
41
e
I
xx
xe(el)1.
41
Inxx
1
2
dx2xlnx
41
2
xx
dx81n24x
41
81n24(21)81n24.
(5)xarctanxdx
x
3
3
arctanx
1
13
10
x
32
lx
10
dx
16
10
x
22
lx
d(x)
2
12
1
6
10
x
22
lx
d(x)
2
1
2
16
[x
16
120
21
llx
2
d(lx)]
2
12
120
16
[Iln(lx)0]
12
1/20
(iln2).
(6)
arcsinxdxxarcsinx
/2
XX
2
dx
12
x
2
1/20
12
32
1.
(7)因为
ecosxdxesinx
x
xx/2
/2
esinxdx
x
e2ecosx
/2
x
/2
/2
ecosxdxe21
/2
x
/2
ecosxdx,
x
有2
4
ecosxdxe21,所以
ecosxdx
x
12
(e21).
(8)ln(l
40
x)dxxln(lx)
4
40
x2x(l
x)
dx4In3
40
x2(l
x)
dx
对积分
40
x2(l
x)
dx,令
xt,则xt2,dx2tdt,于是
x2(l
4
x)
dx
20
2
It
dt
20
(tl
lit
)dt[
2
2
.tln(lt)]
20
ln3,
所以,ln(l
x)dx41n31n331n3.
4,试选择简便的方法计算下列定积分:
(1)
x
74
1sinx
x;(2)
1
1
x(ee
3xx
)dx;
(3)
11
XX
2
x;(4)
5/23/2
sin
3
xcos
4
xdx.
解:(1)因为f(x)
X
74
Isinx
是奇函数,所以
74
Isinx
x0.
(2)设f(x)x3(exex),Rx)x3(exex)f(x),于是f(x)是奇函数,所以x(ee
11
3
x
x
)dx0.
(3)因为f(x)
XX
2
是偶函数,所以
11
XX
2
X2
3
10
XX
2
x2x
21
2(21).
(4)因为f(x)sinxcos
4
4
x是2为周期的奇函数,所以
5/23/2
sin
3
xcosxdx
/2
/2
sin
3
xcos
4
xdx0.
5.若函数f(x)连续,证明下列定积分等式:
(1)(2)
a0
f(x)dx
a0
fi(ax)dx;
20
|sinx)dx
m
n
20
f(cosx)dx.
10
n
m
(3)x(lx)dx
1
x(lx)dx;
(4)
lx
dxlx
2
1/xl
dxlx
2
(x0).
证明:(1)令xat,则
aO
f(x)dx
Oa
f(at)(dt)
aO
f(at)dt
aO
f(ax)dx.
(2)令x
2
t,则
20
f(sinx)dx
f[sin(
2
t)](dt)
2
20
f(cost)dt
20
Rcosx)dx.
(3)令xIt,则
10
x(lx)dx
It
mn
01
(it)t(dt)
mn
10
t(lt)dt
nm
10
x(lx)dx.
nm
(4)令x
lx
,则
11/x
dxlx
2
dt/t
22
l(l/t)
1/xl
dxtl
2
1/xl
dxlx
2
习题5—3(B)
1.计算下列定积分:
(1)
21n21n2
dxel
X
(2)
2a0
x2axxdx(a0);
2
1
lex,x0,2
(3)f(xl)dx,其中f(x)
01
,x0.lx
(4)
10
xf(2x)dx,其中f(2)
x
2
12
,f(2)0,
2tdtjt
2
20
f(x)dx1.
解:(1)令elt,则xln(lt2),dx
21n21n2
,于是
dxel
x
31
21t
t2arctatl
2
3
2(
3
)
6
(2)令xaasint,贝dxacostdt,于是a
2a0
x2axxdx
2
2a0
xa(xa)dx
22
3
2
2
(Isint)costdt2a
23
20
1a
costdt2a.
222
2
3
3
或:令xat,贝IIdxdt,于是
2a0
x2axxdx
aO
2
2a0
xa(xa)dx
22
aa
(at)atdt
22
2a
a
2
tdt2a
2
4
a
2
a
3
2
(3)令力t,则
20
f(xl)dx
dt
11
f(t)dt
01
01
f(t)dt
tt
10
f(t)dt
01
dtle
t
10
It
(1
e
le
)dtln(lt)
10
lln(le)
1
01
,ln2lln21n(le
12
10
2
xf(2x)
10
1
,)ln2ln(le).
2
(4)xf(2x)dx
10
xf(2x)dx
f(2)214
12
12
10
xf(2x)
12
10
f(2x)dx
f(2x)dx.
对积分
10
f(2x)dx,令2xt,则
10
f(2x)dx
12
20
f(t)dt
12
,所以
10
2
xf(2x)dx
141
11
0.22
40
2.设In
40
tanxdx,证明In
n
nl
In2.并计算
tan
4
xdx.
证明:In
40
tanxdx
n
40
tan
n2
x(sec
2
xl)dx
40
tan
n2
xdtanxln2
tan
nl
x
/4
nl
In2
lnll3
In2.
3.证明
40
tan
4
xdx
13
12
110
40
dx
23
4
23
20
cosxcosxsinx
dx
20
sinxcosxsinx
dx,并由此计算该积分值.
证明:记II
2
20
sinxcosxsinx
dx,12
20
cosxcosxsinx
costsintcost
dx,
令x
t,则
20
sinxcosxsinx
dx
2
(dt)
20
cosxcosxsinx
dx.
20
sinxcosxsinx
dxII
12
(IJI2)
2
12
20
sinxcosxcosxsinx
dx
1
.422
4.若函数f(x)连续,设F(x)
f(tlnx)dt,求F(x).
解:(方法1)令.tlnxu,则F(x)F(x)f(21nx)
lx
f(Jlnx)
lx
21
f(tlnx)dt
21nxllnx
f(u)du,所以
f(21nx)fi(llnx)
x
(方法2)设f(x)的原函数为G(x)(连续函数一定有原函数),则F(x)
21
f(tlnx)dt
21
f(tlnx)d(tlnx)G(tlnx)
2
G(21nx)G(llnx),所以,F(x)G(21nx)
lx
G(llnx)
lx
f(21nx)fi(llnx)
x
5.若函数f(x)连续,证明下列定积分等式:
(1)(2)(3)
xf(sinx)dx
2
f(sinx)dx;
ba
f(x)dx(ba)f(x)dx
10
f1(a(ba)x]dx;
2a0
aO
[f(x)f(2ax)]dx.
证明:(1)令X3则
xf(sinx)dx
(
t)f[sin('t)](dt)
(t)f(sint)dt
f(sint)dt
tf(sint)dt
f(sinx)dx
xRsinx)dx,
于是,2所以,
xf{sinx)dx
f(sinx)dx,f(sinx)dx.
xfi(sinx)dx
2
(2)令xa(ba)t,则
ba
f(x)dx
2a0
10
f[(a(ba)t](ba)dt(ba)
10
f[(a(ba)x]dx.
(3)
f(x)dx
aO
f(x)dx
2aa
f(x)dx,
在右式第二个积分中,令x2at,则
2aa2a0
f(x)dxf(x)dx
OaaOa
f(2at)(dt)f(x)dx
aO
f(2at)dt
aO
f(2ax)dx,所以
2aa
f(x)dx
aO
f(x)dx
aO
f(2ax)dx
[f(x.)f(2ax)]dx.
xlcos
2
6.设函数f(x)在区间、[,]上连续,且满足f(x)
f(x).
X
Rx)sinxdx,求
解:记
f(x)sinxdxL则Rx)
xlcos
2
x
I,此等式两边同时乘sinx,然后再xsinx
2
区间i,〕上求积分,有
I
f(x)sinxdx
Icos
Icos
xsinxx
sinx
22
dxl0dx
Icos
xsinx
2
x
dx2
dxIsinxdx,即
x
xsinx
dx2
1cosx
Icosx
dcosxlcosx
2
arctan(cxo)0
(
4
4
)
2
2
所以,f(x)
xlcos
2
X
2
2
习题5—4(A)
1.下列叙述是否正确?并按照你的判断说明理由:
(1)无论是无穷(限)积分还是无界函数的积分(瑕积分),它们的收敛性都是利用“定积分”
与“极限”这两个基本概念作“已知”来定义的;(2)积分则
0
f(x)dx收敛,是指
0
0
f(x)dx与
0
f(x)dx都收敛,若
f(x)dx发散,
f(x)dx与
f(x)dx都发散;
(3)无论是无穷(限)积分还是无界函数的积分(瑕积分),在它们收敛时,要计算其值,
一般可以利用推广的牛顿一莱布尼兹公式,而不必再利用定义转化为求定积分的极限.答:
(1)正确.参见定义4.1及定义4.2.
(2)前者正确.参见教材P260第8至12行,(注意积分限中的“0”可以是某一个实数c);
后者不正确.若发散,如
f(x)dx发散,则两个积分
0
f(x)dx与
X.
.0
f(x)dx中可能只有一个
edx;也可以两个都发散如
xlx
2
(3)正确.参见教材P260第13至17行及P262第1至7行.2.先判断下列广反常积
分是否收敛,然后对于收敛的积分再计算其值:
(1)(3)
1
dxx
3
;(2)dx(a0);(4)
dx
.0
dxxl
»
,0
e
ax
0
xdxlx
1
2
(5)(7)(9)
2
x2x3
x
;(6)
101
exdxx
2
0
xedx;(8)xdxx
2
dxlx
10
;(10)
10
dxxdx
(11)解:(1)
1
20
dx(lx)
2
;(12)
el
12
xInx
12b
2
dxx
3
lim
b.
bl
dxx
3
liml
b.
12x
2
]1lim(
b.
b
12
),
所以,此无穷积分收敛,且积分值为
0
12
(2)
dxxl
lim
b.
bO
dxxl
b
lim[2xl]021im(bl1).,b
b.
所以,此无穷积分发散.
(3)
0
e
ax
dxlim
b
bO
e
ax
dx〜
la
b
lim[e
la
ax
]0
b
la
b
lim(le
ab
)
la
所以,此无穷积分收敛,且积分值为
(4)
0
2
xdxlx
2
lim
a
Oa
xdxlx
2
12
a
lim[ln(lx)]a
12
a
limln(la),
2
所以,此无穷积分发散.(5)因为
1
2
dxx2x3
d(xl)(xl.)2
2
12
arctan
xl2
1
22
2
dxx2x3
1
xl
arcta22
2
1
22
以上两个积分都收敛,所以
dxx2x3
收敛,且
dx
2
dxx2x3
1
2
dxx2x3
1
1
〜]
2
x2x3
22
22
2
(6)
1
exdxx
2
1
exd(
lx
1
)exel,
所以,此无穷积分收敛,且积分值为"L(7)
0
xedxxe
xx
0
edxlim
x
xe
x
x
e
x
0
lim
le
x
x
1'1,
所以,此无穷积分收敛,且积分值为1.
(8)因为lim
x'1
1
lx
a-l
,所以下限x'1是瑕点.
01
dxlx
lim
0a
dxlx
Iim[ln(lx)]alirnln(la).,
a1
a1
所以,此瑕积分发散.
(9)因为lim
x1
X
xlim
b1
2
,所以上限x1是瑕点.
10
xdxx
2
b0
xdxx
2
〜洞x]0llimb
b1
b1
2b2
1,
所以,此瑕积分收敛,且积分值为1.
(10)因为lim
x1
1
,所以上限X1是瑕点.
X
b0
10
dxx
lim
b1
dxx
21im[x]0221imb2,
b1
b1
b
所以,此瑕积分收敛,且积分值为2.
(11)因为lim
l(lx)
10
2
,所以x1是瑕点.
x1
此积分分为
10
dx(lx)
2
与
1
21
dx(lx)
2
讨论,
因为
dx(lx)
2
dx
d(lx)(lx)
2
lix
io
lim
x1
llxdx
1,
所以,瑕积分
10
(ix)
2
发散,从而瑕积分
20
(lx)
2
也发散.
(12)因为lim
x1
1
,所以下限X1是瑕点.
X
Inx
dxx
Inx
dlnxlnx
21nx
el
21im21nx2,
x1
所以,此瑕积分收敛,且积分值为2.
习题5—4(B)
1.有一个长为1的细杆AB均匀带电,总电量为q,若在杆的延长线上距点A为xO处有
一个单位正电荷,现将单位正电荷从xO处沿杆的延长线方向移动到无穷远处,试求克服电
场引力所做的功W.
解:如图取坐标,A点为原点,
设单位正电荷位于x处时,受细杆产生的电场力为F(x),则
10
F(x)
kq/l(xt)
t2
kql
Ixt
,xO
1
kql
(
1x1
lx
)(其中k是引力系数).
W
xO
F(x)dx
kql
1x1
lx
)dx
kql
In
xlx
xO
kql
In
xOxOl
2.下列反常积分是否收敛?
(1)
1
arctanxx
1
2
dx;(2)
2a0
2axx
dx
dx(a0).
解:⑴
arctanxx
2
dx
arctanx
x
1
1x(lx)
2
4
12
xlx
2
)dx
4
12
In
x
22
1
4
12
In
12
4
,In2.
(2)因为lim
x0
2ax
x
,所以下限x0是瑕点.
(方法1)令
2axx
t,贝I」x
2aIt
2
于是
2a0
2axx
dx
0
td
2aIt
2
2atlt
2
0
0
2adt11
2
2aarctant
0
a.
(方法2)令x2asin2t,则dx4asintcostdt,于是
2a0
2axx
dx
20
costsint
4asintcostdt4a
20
costdt4a
2
4
a.
(方法3)令xaasint,贝ljdxacostdt,于是
2a0
2axxacostlsint
2
dx
2a0
2axxx
2
x
2a0
a(xa)
x
dta.
22
2
2
dta
n
x
2
2
(Isint)dta
2
2
3.建立In
0
xe
dx的递推公式,并山此计算In.
0
解:In
0
xe
nx
dxxe
n
x
n
X
nl
e
x
dxlim
xe
nx
x.
nlnlnlnl.
Innlnln(nl)In2n(nl)(n2)In3
n!IOn!
0
e
x
dxn![e
x
]0
n!.
0
4.已知反常积分
sin
0
sinxx
x
2
,求反常积分
sinx
22
x
x.
22
解:由于lim
x0
x
X
1,所以X0不是瑕点.
0
sinx
22
X
X
sin
2
x
xsinx
22
0
0
2sinxcosx
xsin2x2x
x0
0
sin2x2x
X),
令2xt,贝IJ
0
X
X
0
x)
0
sintt
t
2
5.当k为何值时,反常积分
2
dxx(lnx)
k
收敛?当k为何值时,这个反常积分发散?又问
当k为何值时,这个反常积分取得最小值?解:当1时,
2
dxx(lnx)dxx(lnx)dxx(Inx)
kkk
2
dxxlnxl
Inlnx
2
.,反常积分发散;
当k1时,
2
(lk)(lnx)
1
(lk)(lnx)
kl
2
,,反常积分发散;
当k1时,
2
kl
2
1
(kl)(ln2)
kl
,反常积分收敛.
所以,当k1时,该反常积分收敛于
1
(kl)(ln2)
kl
,当k1时,该反常积分发散.
在k1时,记f(k)(kl)(ln2)kl,则f(k)(In2)kl[l(kl)lnln2],由
f(k)0,得唯••驻点kIk1
llnln2
llnln2
,当0ki
1lnln2
1lnln2
时,f(k)0,当
时,f(k)0,所以k1
llnln2
是函数f(k)的极大值点,也是最
llnln2
大值点,从而ki是
1
(kl)(ln2)
kl
的最小值点,所以当ki反常
积分
,2
dxx(lnx)
k
取最小值.
习题5—5(A)
1.下面的叙述是否正确?并说明理由:
利用微元法时首先要确定所求的量Q可以看作是定义在哪个区间上的非均匀变化的连续
量,在该区间上任取一个微小区间[x,xdx],在[x,xdx]上“以匀(常)代变”,即:将区间
[x,xdx]上对应的量Q的周部量Q看作从x起是连续均匀变化的,从而用
初等方法求出Q的近似值,即Q的微元dQf(x)dx.
答:正确.这就是建立“微元”的方法,核心是在区间[x,xdx]上“以匀(常)代变”,但是
要注意微元dQf(x)dx必须满足:(1)函数f(x)连续,(2)QdQo(dx)(在实际应用中,
这一点往往是凭经验).2.求山下列各平面图形的面积A:
(1)由抛物线yx2与直线yx及x2围成;(2)由曲线yex,yAx与直线ye
围成;(3)由抛物线y2x2,y
x与直线y2围成;
(4)由双曲线xy1及三条直线yx,x1/2,x2围成;(5)椭圆周x4cost,y9sint
所围的内部;(6)星形线xacost,yasint所围的内部;
(7)位于圆周x?y2a2外部及圆周x?y22ax内部;
(8)由阿基米德螺线3上对应于从0到2一段与极轴围成.
yX,解:(1)由得x1(x0舍去),于是2
yX,
21
2
33
A
(xx)dx[
x
3
3
x
2
2
]1
2
73
32
56
yex,
(2)由得x1,又由图形的对称性,于是
ye,A2(ee)dx2(ee
01
x
xl
)2(eel)2.
x,
2
(3)按V型区域计算,由
y
得y1,于是
y2x,y
3
A
21
(y
2
2y)dy[
3
23
3
(2y)2]l
2
73
23
53
(4)由
xy1,yx,
11/2
得x1,于是
A
lx
x)dx
21
G
lx
)dx[Inx
x
2
2
]
11/2
[
X
2
2
lnx]l
2
98
(5)由对称性
A4A14
40
ydx144
/2
sintdt144
2
/2
sintdt144
2
136.22
(6)由对称性
A4A14ydx12a
0a
2
sin
/2
4
tcostdt12a
22
Z2
(sintsin
46
t)dt
12a(
2
3153132
)a42264228
(7)两圆的极坐标方程分别为a、2acos,由由对称性,
A2A1
a,
2acos,
得
3
/3
(4acosa)d2a
2222
/3
(lcos2)da/3
2
a2/3a2sin2(8)A
12
20
/3
3
32
3
)a.
2
9d
2
32
32
12.
3.求下列各平面图形绕指定坐标轴旋转一周所产生的旋转体的体积:
(1)由y
X,y0与X2围成,绕X轴旋转;
2
(2)由yxx,及x轴围成,绕x轴旋转;
(3)由y2x,yx及y轴围成,分别绕x轴、y轴旋转;
2
2
(tsint)ya(icost)的第一拱与x轴围成,绕x轴旋转•解:⑴Vx(2)
(4)由摆线xa,
Vx
10
20
(x)dx
2
2
2
2
x
2
2
2.
(xx)dx
1215)
10
(x2xx)dx
234
(
13
30
yx2,
(3)111得x1,y1,于是2
y2x,
Vx
10
[(2x)x]dx
1
21
224
10
(44x)dx4(1
2
13
)
83
Vy[ydy
(2y)dy](
3
20
12
2
3
y
2
21
2
)(
52
32
).
(4)Vx
3
2a0
ydxa
2
2
(lcost)dt
2
3
a
3
(13cost3costcost)dt
123
-0)5a.22
a(2〜012
4.一个垂直于x轴的正三角形沿x轴移动,而在移动过程中底边的两个端点分别在曲线
y4ax^y2ax(a0)上,求由x0移动到xa它所生成的立体体积.
解:在区间[0,a]上任取一点x,该点对应的正三角面积为
12
a0
A(x)2ax
32
2ax3ax,所以
V
A(x)dx
3a
aO
xdx
32
a.
3
5.由半径为R球体上截取一个高为H(HR)球缺,求该球缺的体积.
解:如图取坐标,球缺的体枳可以看作阴影部分图形绕y轴
旋转的旋转体体积,于是V
RRH
xdy
y
3
2
RRH
(Ry)dy
H3
22
(RH
2
3
RRH
)H(R
2
)・
6.计算下列平面曲线的弧长s:
(Dy
13
x(3x)±,从x1至Ijx3的一段;
(2)悬链线ychx上
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