高等数学李伟版课后习题答案第五章

高等数学李伟版课后习题答案第五章

习题5—1(A)

1.判断下列叙述是否正确？并说明理由：

(1)如果函数f(x)仅在区间［a,b］上有界，它在［a,b］上未必可积，要使其可积，它在

［a,b］上必须连续；

ba

ba

(2)如果积分存在，那么f(x)dx(ab)

f(x)dxlim

f(a

ban

(3)性质5也常称为积分不等式，利用它(包括推论)结合第三章的有关知识，可以估

计积分的值、判定积分的符号，也可证明关于定积分的某些不等式；

(4)定积分的中值定理是一个非常重要的定理，利用它能去掉积分号，同时该“中值”f()

还是被积函数在积分区间上的平均值.答：(1)前者正确.如狄利克雷函数D(x)

1,xQ,0,xQ

在区间［a,b］(其中ba)上

有界，但是它在区间［a,b］上不可积，事实上：将［a,b］任意分成n个小区间［xil,xi］(其

中x0a,xnb)记第i个小区间长度为xi,先在［xil,xi］上取(i1,2,,n),

i为有理数，则lim

D(

0

xilim

0

ba,再在［Gil,xi］上取i为无理数,

则lim

0

D(

i0

i

)xilim

0

0x

i0

对于i的不同取法黎曼和的极限不同，所以D(x)0,

在区间［a,b］上不可积；后者不正确，参见定理1.2.

(2)正确.事实上：由于f(x)在区间［a,b］上可积，则对［a,b］的任意分法，i的任意取

法，都有

ba

n

f(x)dxlimban

0

i1

f(i)xi,现在对［a,b］区间n等分，i去在小区间的ban

右分点，贝ljiai,xi

n

,并且0等价于n,所以

n

ba

f(x)dxlim

0

i1

f(i)xilim

n

i1

f(a

ban

)

ban

(3)正确.它是证明关于定积分不等式的基础，参见例题1.3、1.4、1.5等.(4)正确.它

可以起到去掉积分号的作用

ba

f(x)dxf()(ba)；也可以用来表示连

续函数在区间［a,b］上的平均值

Iba

ba

f(x)dxf()，但是由于位置不好确定，一

般不用它来计算平均值，而是直接计算

Iba

ba

f(x)dx.

2.自由落体下落的速度vgt,用定积分表示前10秒物体下落的距离.解：根据定积分

引入的实例，变速直线运动的路程s

ba

v(t)dt,所以s

100

gtdt.

3.一物体在力FF(x)作用下，沿x轴从xa点移动到xb点，用定积分表示力F(x)

所做的功W.

解：将位移区间［a,b］任意分成n个小区间偏1,xi］(i1,(其中2,,n),

x0a,xnb)记第i个小区间长度为xi,在［xil,xi］上任取一点i,用F(i)近似

代替物体从Xxil移动到XXi时所受的力，则物体从XGil移动到Xxi时所做的功

n

n

i

近似为WiF(i)xi,于是W

n

W

i1

F(

i1

记m)xi,xa{

n

xii1,2,,n},

则Wlim

0

F(

i1

i

)xiF(x)dx(假定极限lim

a

b

0

F(

i1

)xi存在).

4.用定积分的几何意义求下列积分值：

(1)

aa

axdx；(2)

2

22

21

xdx.

解：(1)如图，上半圆的面积Aa/2,

根据定积分几何意义所以，

aa

2

2

aa

axdxA,

22

axdxa2/2.

(2)如图，面积Al4/22,A21/2,

根据定积分几何意义所以，

21

21

xdxA1A23/2,

xdx3/2.

5.若函数yf(x)在区间ia间上连续，用定积分的几何意义说明:

(1)当f(x)为奇函数时，

(2)

aaaa

f(x)dx0；f(x)dx2

aO

当f(x)为偶函数时，

f(x)dx.

解：(1)如图1,当f(x)是奇函数时，由对称性，面积AlA2,

根据定积分几何意义，

aa

Rx)dxA1A20.

(2)如图2,当f(x)是偶函数时，由对称性，面积AlA2,

根据定积分几何意义，

6.比较卜列各组定积分的大小：

(1)II

aa

f(x)dxA1A22A12

aO

f(x)dx.

10

xdx与12

2

10

xdx；(2)Il

3

10

21

xdx与12

21

3

xdx；

(3)Il

20

sinxdx与11

20

sin

3

(4)11xdx；

10

53

Inxdx与12

53

(Inx)dx.

2

解：(1)因为在区间［0,1］上x2x3,所以(2)因为在区间［1,2］±

x

3

xdx

2

2

xdx,即II12.

213

3

x,所以

3

1

xdx

xdx,即II12.

(3)因为在区间［0,/2］±sinxsin

所以x,

5

20

sinxdx

53

20

sin

2

3

即H12.xdx,

2

(4)因为在区间［3,5］JtInx(Inx),所以Inxdx

3

(Inx)dx,即1112.

7.估计下列定积分的值：

(1)I(3)I

2021

(2sinx)dx；(2)I

x

dx；(4)I

1020

arctanxdx；

2

lx

2

(x2x3)dx.

解：(1)设f(x)2sinx,在区间［0,2］上显然有1f(x)3,又f(3/2)1,

f(/2)3,于是函数f(x)在区间［0,2］上的最小值为m1,最大值M3,而区

间长度ba2,根据m(ba)

ba

f(x)dxM(ba),得216.

(2)设f(x)arctanx,由于函数f(x)在区间［0,1］上单调增加，于是f(x)在区间

［0,1］上的最小值为mf(0)0,最大值Mf(l)/4,而区间长度6a1,

根据m(ba)

ba

f(x)dxM(ba),得0I/4.

lx

22

(3)设f(x)

xlx

2

，则f(x)

(lx)

2

，在区间［1,2］±f(x)0,于是函数f(x)

在区间口，2］上单调减少，所以f(x)在区间［1,2］上的最小值为mf(2)5/2,最大值

Mf(l)1/2,而区间长度ba1,根据m(ba)得2/5I1/2.

(4)设f(x)x22x3,则f(x)2x2,有“f(x)0,在区间(0,2)(2)edx

1

X

10

(lx)dx.

证明：(1)在区间［0,/4］上显然有sinxcosx,所以

40

sinxdx

40

cosxdx.

xx

(2)设f(x)elx,在区间［0,1］上，f(x)el0,于是函数f(x)在区间

［0,1］上单调增加，从而f(x)出0)0,即在区间［0,1］上exlx,所以

10

edx

x

10

(lx)dx.

习题5—1(B)

1.右图给出了做直线运动的某质点在0到9s代数和，即v(t)dt1082(单位)；

09

质点在。到9s内所实际走的路程为阴影面积的

和，即v(t)dt10818(单位)

9

2.用定积分中值定理求下列极限：

(1)lim(2)lim

n

82

x

2xx

x；

lx

nln

n

xarctanx.

82

解：（1）由定积分中值定理,

82

x

n

n

2xx

x

6n

n

n

2nnlim

（其中2n8）,于是

6

lim

n

x

n

n

2xx

xlim

6n2

n

n

n

n

n

n

21/

nln

3.

（2）由定积分中值定理，

nln

xarctan

lx

Xnarctan

1

n

(其中nnnl),

由nnpl,有n等价于n.,于是

lim

n

nln

xarctan

lx

xlimnarctan

n.

1

n

limn

n.

1

n

1.

]ab)3.若函数f(x),g(x)在区间[a,b(上连续,f(x)g(x),且f(x)不恒等于g(x),

证明

ba

f(x)dx

ba

g(x)dx.

证明：设F(x)g(x)f(x),由题目条件知，在区间[a,b]上函数F(x)连续且F(x)0又不恒

等于零，于是有xO[a,b],使得F(xO)0,由连续函数的性质，.0,在区间[xO,

xO][a,b](1)2e

122

2

f(x)dx

ba

g(x)dx.

02

e

xx

2

dx2e

12

1/4

(2)

1

xdxx

xx

2

n

(其中n是正整数).

证明：(1)设f(x)e

x

,则f(x)(2x1)e

2

x

，由f(x)0,在区间(0,2)内得驻

点x1⑵又f(0)l,f(l/2)el/4,f(2)e2,于是函数f(x)在区间［0,2］的最小值为mel/4,

最大值为Me2,从而2el/4~

20

e

XX

2

因为dx2e,

2

02

e

xx

2

dx

20

e

xx

2

dx,所以2e

x2

2

02

e

xx

2

dx2e

1/4

x2

XX

n

(2)在区间［0,1］上显然有

xx

10

n

x,且等号不恒成立，而函数、

X都连续，根据本节习题(B)3,有

12

x2

10

dx

10

xdxx

10

xdx,而由定积分的几何

意义得xdx

1

10

x2

dx

12

xdx

122

,所以

22

10

xdxx

n

12

习题5—2(A)

1.判断下列叙述是否正确？并说明理由：

(1)在定理2.1的证明中，被积函数连续的条件是不可缺少的；(2)若f(x)连续、则

F(x)(x)可导，

(x)

f(t)dt的导数等于被积函数在上限处的值；

(3)在f(x)连续、(x)及(x)可导时，通过将F(x)

(x)

(X)

Rt)dt化成两个变上限定

积分，可求得F(x)f((x))(x)f((x))(x)；

(4)使用牛顿―莱布尼兹公式计算定积分，首先要找到被积函数在积分区间上的一个原

函数，然后求该原函数在积分区间上的增量.

答：(1)正确.定理的证明中两次用到连续性，一次是使用定积分中值定理时，再一次是

最后求极限时.

(2)不正确.应该是F(x)fl(x)](x),即被积函数在上限处的值与上限处函数

(x)的导数之积.

(3)正确.将函数F(x)改写为F(x)(4)正确.这就是牛顿-莱布尼兹公式

(x)

ab

f(x)dx

(x)

a

f(x)dx,再根据(2)求导.

a

f(x)dxF⑹F(a)(其中F(x)是Rx)在

区间®b]上的一个原函数)，但是要注意被积函数的连续性，对分段函数(或分区间连续

函数)要分区间求.2.计算下列定积分：

(1)(3x42x2l)dx；(2)(xa)(xa)dx；

la

(3)(5)

94

x(l

4

lx

)dx；(4)

23

llx

X；

21

xl

X；(6)3

X

lx3x

x；(8)2

31/

3

dxlx

2

(7)(9)

10

120

dxx

tan

2

2

(12sinx)dx；(10)

40

30

xdx

(11)

20

dxlsinx

2

»(12)

20

cosxx；

(13)x2xldx；(14)

4

2

ex,x1,

f(x)dx,其中f(x)

x1.

4

解：(1)(3x2x1)dx[x

1

3

4

23

2

5

xx]O

31

15

a

3

(2)(xa)(xa)dx

094

a

aO

(xa)dx

2

x

3

a

323x

a

3

3

9

a

3

2a3

2

(3)(4)(5)(6)(7)

x(l

llx

4

lx

)dx

94

(x

lx

)dx[

3/2

,2x]424

283

443

'23

xInx

21

01n2ln2.

21

xl

x3

x

3

(x

lx

)dx[3

3

x

2

2

12x

2

]1

2

178

1

98

dx

3

1/

lx

2

arctanx

1/3

3

6

6

1

10

lx3x

x[2

13

arctan

x3

1/20

12

ln(3x)]0

3

63

12

ln4

12

ln3

63

12

In

34

1

(8)(9)

20

dxx

2

arcsinx

6

0

6

(12sinx)dx.2cosx

.2(11)~4.

(10)

30

tan

2

xdx

30

(sec

2

xl)dxtanx

/3

3

30

3

3

3

(11)

40

dxlsinx

20

40

(Isinx)dxcos

2

x

2

[tanxsecx]O

/4

1212.

(12)(13)

cosxx

cosxdx

20

cosxdxsinx

10

/2

sinx

21

/2

10(01)2.

20

x2xldx

2

xlx

(ix)

21

21

(lx)dx

(xl)

221

(x)dx

12

1.

20

10

12

12

12

(14)

f(x)dx

cdx

x

xdxe

xlO

x

2

21

2

el2

12

e

12

3,求下列函数yy(x)的导数(l)y(3)y解：(1)(2)

dydx

dydx

xO

e

x

t

2

dt；(2)y

2

lx

sintt

x2

dt；

sintdt；(4)y

x

2

ex

Inxdt.

e

2

dydx

sinxx

(3)

dydx

dydx

sin(x)

12x

sinx2x

2

(4)ln(e)(e)ln(x)(x)x(e21nx).

xx2x2

4.求下列极限：

(1)lim

xl

edt

t

2

x1

Inx

xO

2

；(2)lim

xO

sintdtx

3

2

dt)

2

2

x0

xOxO

2

costdtxsin

x

2

sintt

(3)lim

X0

5

x

；(4)lim.

x0

costdt

解：(1)lim

1

edt

lim

2

x1

t

e

x

2

x1

xO

Inxsintdtx

xO

3

1/x

limxe

x1

x

2

e.

(2)lim

x0

lim

2

sinx3x

2

2

xO

13

2

x0

costdtxsin

5

(3)lim

x0

x

lim

costdtxx

5

x0

lim

cosxl5x

4

2

x0

lim

x/25x

4

4

x0

110

(4)lim

(

xOxO

2

sintt

dt)

2

2

x0

lim

2

xO

sint

costdt

x0

tx

4

2xcosx

dt

sinx

lim

X0

xO

sinttx

dtlim

x0

sinxxl

1.

习题5—2(B)

1.求变力F(t)

2

it沿数轴从点t1到点t2所做的功.

解：根据习题5・1(A)3,

W

21

F(t)dt

21

(tt)dx[t

3

2y0

2

2

2

3/2

2

t

3

3

]1

2

2

423

83

23

13

423

3.

2.设函数yy(x)由方程解：方程

2y0

,tdt

2

2

xO

ltdt0,求

dydx

.tdtdydx

2

xO

'tdt0两边同时对x求导，有

24y

2

.2xx

4

0,解得

xl

dydx

dy

xx4y

42

3.若函数f(x)连续，设y解：yx

xl

dxdy

f(t)dt,根据乘积求导法则，

dx

xf(t)dt,求.

xl

f(t)dtxf(x).

4.证明：当x0时，函数I(x)

xO

te

2

出取得最小值.

2

x

证明：函数I(x)在(，，由I(X)0得唯一驻点X0,.)内有定义，I(x)xe

2

2

又I(x)e

x

2xe

2x

,I(0)10,于是x0是函数I(x)

x0

te

t

2

出的唯一极

小值点，从而也是最小值点，所以当x0时、函数I(x)

x0

te

t

2

dt取得最小值.

5.若函数f(x)在区间［a,b］上连续,在(a,b)内可导,且f(x)0,设

F(x)

Ixa

xa

f(t)dt,

证明：在区间(a,b)内F(x)0.

f(x)(xa)

证明：F(x)

2

xa

f(t)dt

(xa)

f(x)(xa)f()(xa)

(xa)

2

(方法1)由定积分中值定理，F(x)

f(x)f()

xa

(其中ax),由f(x)0,有函数f(x)单调减少，而x,得f(x)f(),

所以在区间(a,b)(方法2)因为

xa

f(x)dtf(x)(xa),所以

F(x)

xa

f(x)dt

xa2

f(t)dt

xa

[f(x)f(t)]dt(xa)

2

(xa)

(xt),

illf(x)0,有函数f(x)单调减少，而Xt,于是f(xjf(t)0,得

xa

[f(x)f(t)]dt0,所以在区间(a,b)内证明F(x)0.

(方法3)设g(x)f(x)(xa)

xa

f(t)dt,则g(x)f(x)(xa)0,

于是函数g(x)在区间[a,b]上单调减少，g(x)g(a)0,所以F(x)0.

6.若函数f(x)可导，且f(O)0,f(0)2,求极限lim

xO

f(t)dtx

2

x0

解：lim

xO

f(t)dtx

2

x0

lim

f(x)2x

X0

12

lim

f(x)f(O)

x

X0

12

x0

f(0)1.

(注：由于f(x)未必连续，因此极限lim

f(x)2x

不能再用洛必达法则)

7.设函数f(x)在闭区间［0,1］连续，且f(x)1,证明方程公

(0,1)有且仅有一个实根.

x0

f(t)dt1在开区间

证明：设F(x)2x

x0

f(t)dtl,根据已知，函数F(x)在闭区间［0,1］连续，又

F(0)'10,F(l)1

10

f(t)dt,由于连续函数f(x)1,则

10

f(t)dt1,

从而F(l)0,由零点定理得方程2"

x0

f(t)dt1在开区间(0,1)至少有一个实根.

而F(x)2f(x)0,F(x)单调增加，于是方程F(x)0至多有一个实根，即方程2"

x0

f(t)dt1在开区间(0,1)至多有一个实根.

综上，证明方程或

x0

f(t)dt1在开区间(0,1)有且仅有一个实根.

x0

6(xx2),0x1,

8.若函数f(x)求函数(x)

0,其它，

f(t)dt在i,,)内的表达式.

解：当x0时，(x)

x0

f(t)dt

xO

Odt0；

当0x1时，(x)

xO

f(t)dt

xO

(6t6t)dt[3t2t]03x2x；

223x23

当x1时，(x)

xO

f(t)dt

10

(6t6t)dt

2

xl

Odt［3t2t］Q01,

231

x0,0,

23

所以，(x)3x2x,0x1,

1,x1.

习题5—3(A)

1.判断下列叙述是否正确？并说明理由：

(1)在定积分的换元积分法中，要求被积函数4x)在区间［a,b］上连续，函数x⑴在以

、为端点的区间上有连续的导数，以保证f［(t)］⑴在［,］或［,］上可积；(2)

对定积分进行换元时，需要注意的是换元的同时要换积分限，这时还要特别注意换元后积分

的下限要小于上限；

(3)定积分也有与不定积分类似的凑微分法与三角代换法等换元法，具体采取哪种换元

法，其依据与不定积分是相同的；

(4)在利用奇、偶函数的积分性质时，不仅要注意被积函数的奇偶性，而且还要注意积

分区间关于坐标原点必须是对称的.

答：(1)正确.此时fl(t)］(。在［,］或［,］上是连续的，因此它可积.(2)不正

确.如xcost,则积分

ba

10

xdxsintdt,其中下限大，上限小；对

/2

2

2

f(x)dx作换元x(t),原积分下限xa对应的t值在换元后积分的下限上，原

积分上限xb对应的t值在换元后积分的上限上.(3)正确.

(4)正确.但是还需注意函数是可积的.2.计算下列定积分：

(1)

91

xl

x

X；(2)

613

dxxl

(3)

11

x54x

x；(4)

10

x

3

xdx；

2

(5)

31

dxx

2

.x

2

2

；(6)

112

xx

2

2

dx；

(7)

21

xlx

2

dx；(8)

32

dx(82x)

4

(9)

30

xxdx；(10)(lsin

3

2

01

cosxsin

2

4

xdx

(11)

x

x)dx；(12)xedx；

(13)(15)

el2

1

x

Inxdx

x；(14)

3/2/

sinx

2

lx

x；

3

1

x2xl0

2

(16)

sinxsinxdx.

解：(1)令x3则xt2,dx2tdt,于是

91

xl

x

X2

31

t

2

It

t2

31

(tl

lit

)dtt

23

13

421n(lt)l421n2.

(2)令xt,则xt31,dx3t2dt,于是

013

dxxl

10

3tdttl

2

3(tl

1

3320

)dt[t3t31n(tl)]l31n2.2tl2

1

(3)令$4xt,则x(5t2)/4,dxtdt/2,于是

11

x54x

x

13

(5t)t8t

2

X

18

(10

t

3

1

3

3

)

16

(4)令xsint,贝ljdxcostdt,于是

10

x

3

xdx

2

20

sin

3

tcostdt

2

20

(cos

4

tcost)dcost

2

cost5

5

cost3

3

]

13

15

215

2

(5)令xtant,贝(Idxsectdt,于是

31

dxx

2

x

2

/3

/4

sectdttan

2

2

tsect

/3

/4

costdtsin

2

t

j

Isint

］必

/3

2

233

(6)令xsint,则dxcostdt,于是

112

XX

2

2

dx

/2

/4

cottdt

2

/2

/4

(csctl)dtcott

2

/2/4

4

1

4

(7)令xsect,则dxtantsectdt,于是

21

xlx

2

2

dx

/3

sin

2

t

cost

dt

/3

(sectcost)dt

[Intantsectsint]O

dx(82x)

30

/3

ln(23)

321

(8)(9)

32

4

12

I

32

d(82x)(82x)

30

4

6(82x)

2

3

32

7111

.0

3846864

2

3/2

03

xxdxcosxsin

4

2

2

.xd(lx)

4

2

13x

(lx)

13

(81)

73

(10)(11)

xdx

sin

xdsinx

15

sin

5

0.

(Jsin

2

3

x)dx.

1

10

2

2

(cos

12

2

xl)dcosx.[

2

cosx3

3

cosx]0

43

(12)xedx

1

x

2

e

x

d(x)e

x

1

12

(el).

(13)

el

1

X

Inx

xInx

lx

el

Inxdlnx1

23

(Inx)

3/2e

1

1

23

53

(14)(15)(16)

3/2/

sinx

2

Ixx

3/2/

sin

2

lx

)•cos

lx

3/2/

12

0

12

1(0)

1234

21

2

dxx2xl0

d(xl)(xl.)3

2

2

13

arctan

xl3

2

sinxsm

3

xdx

sinxcos

2

xdx

sinxcosxdx

23

/2

sinxcosxdxsinxdsinx

3/2

/2

sinxcosxdxsinxdsinx

/2

3/2

/2

sinx

/2

23

sinx

/2

23

23

43

3.计算下列定积分：

(1)

Oe

xsinxdx；(2)xe

041

2

1

X

dx；

(3)Inxdx；(4)

i

Inxx

i

dx；

(5)xarctanxdx；(6)

1

2

20

arcsinxdx；

(7)解：(1)

/2

2

ecosxdx；(8)ln(l

4

x)dx.

xsinxdxxcosx

2

2

xcosxdx

2

2(xsinx

sinxdx)

1

2

.2cosx

X

2

4.

(2)xedxxe

Oel

xl

10

e

x

dx

le

e

xl

2e

(3)Inxdxxlnx(4)

41

e

I

xx

xe(el)1.

41

Inxx

1

2

dx2xlnx

41

2

xx

dx81n24x

41

81n24(21)81n24.

(5)xarctanxdx

x

3

3

arctanx

1

13

10

x

32

lx

10

dx

16

10

x

22

lx

d(x)

2

12

1

6

10

x

22

lx

d(x)

2

1

2

16

[x

16

120

21

llx

2

d(lx)]

2

12

120

16

[Iln(lx)0]

12

1/20

(iln2).

(6)

arcsinxdxxarcsinx

/2

XX

2

dx

12

x

2

1/20

12

32

1.

(7)因为

ecosxdxesinx

x

xx/2

/2

esinxdx

x

e2ecosx

/2

x

/2

/2

ecosxdxe21

/2

x

/2

ecosxdx,

x

有2

4

ecosxdxe21,所以

ecosxdx

x

12

(e21).

(8)ln(l

40

x)dxxln(lx)

4

40

x2x(l

x)

dx4In3

40

x2(l

x)

dx

对积分

40

x2(l

x)

dx,令

xt,则xt2,dx2tdt,于是

x2(l

4

x)

dx

20

2

It

dt

20

(tl

lit

)dt[

2

2

.tln(lt)]

20

ln3,

所以，ln(l

x)dx41n31n331n3.

4,试选择简便的方法计算下列定积分:

(1)

x

74

1sinx

x；(2)

1

1

x(ee

3xx

)dx；

(3)

11

XX

2

x；(4)

5/23/2

sin

3

xcos

4

xdx.

解：(1)因为f(x)

X

74

Isinx

是奇函数，所以

74

Isinx

x0.

(2)设f(x)x3(exex),Rx)x3(exex)f(x),于是f(x)是奇函数，所以x(ee

11

3

x

x

)dx0.

(3)因为f(x)

XX

2

是偶函数，所以

11

XX

2

X2

3

10

XX

2

x2x

21

2(21).

(4)因为f(x)sinxcos

4

4

x是2为周期的奇函数，所以

5/23/2

sin

3

xcosxdx

/2

/2

sin

3

xcos

4

xdx0.

5.若函数f(x)连续，证明下列定积分等式:

(1)(2)

a0

f(x)dx

a0

fi(ax)dx；

20

|sinx)dx

m

n

20

f(cosx)dx.

10

n

m

(3)x(lx)dx

1

x(lx)dx；

(4)

lx

dxlx

2

1/xl

dxlx

2

(x0).

证明：(1)令xat,则

aO

f(x)dx

Oa

f(at)(dt)

aO

f(at)dt

aO

f(ax)dx.

(2)令x

2

t,则

20

f(sinx)dx

f[sin(

2

t)](dt)

2

20

f(cost)dt

20

Rcosx)dx.

(3)令xIt,则

10

x(lx)dx

It

mn

01

(it)t(dt)

mn

10

t(lt)dt

nm

10

x(lx)dx.

nm

(4)令x

lx

，则

11/x

dxlx

2

dt/t

22

l(l/t)

1/xl

dxtl

2

1/xl

dxlx

2

习题5—3(B)

1.计算下列定积分:

(1)

21n21n2

dxel

X

(2)

2a0

x2axxdx(a0)；

2

1

lex,x0,2

(3)f(xl)dx,其中f(x)

01

,x0.lx

(4)

10

xf(2x)dx,其中f(2)

x

2

12

,f(2)0,

2tdtjt

2

20

f(x)dx1.

解：(1)令elt,则xln(lt2),dx

21n21n2

,于是

dxel

x

31

21t

t2arctatl

2

3

2(

3

)

6

(2)令xaasint,贝dxacostdt,于是a

2a0

x2axxdx

2

2a0

xa(xa)dx

22

3

2

2

(Isint)costdt2a

23

20

1a

costdt2a.

222

2

3

3

或：令xat,贝IIdxdt,于是

2a0

x2axxdx

aO

2

2a0

xa(xa)dx

22

aa

(at)atdt

22

2a

a

2

tdt2a

2

4

a

2

a

3

2

(3)令力t,则

20

f(xl)dx

dt

11

f(t)dt

01

01

f(t)dt

tt

10

f(t)dt

01

dtle

t

10

It

(1

e

le

)dtln(lt)

10

lln(le)

1

01

,ln2lln21n(le

12

10

2

xf(2x)

10

1

,)ln2ln(le).

2

(4)xf(2x)dx

10

xf(2x)dx

f(2)214

12

12

10

xf(2x)

12

10

f(2x)dx

f(2x)dx.

对积分

10

f(2x)dx,令2xt,则

10

f(2x)dx

12

20

f(t)dt

12

，所以

10

2

xf(2x)dx

141

11

0.22

40

2.设In

40

tanxdx,证明In

n

nl

In2.并计算

tan

4

xdx.

证明：In

40

tanxdx

n

40

tan

n2

x(sec

2

xl)dx

40

tan

n2

xdtanxln2

tan

nl

x

/4

nl

In2

lnll3

In2.

3.证明

40

tan

4

xdx

13

12

110

40

dx

23

4

23

20

cosxcosxsinx

dx

20

sinxcosxsinx

dx,并由此计算该积分值.

证明：记II

2

20

sinxcosxsinx

dx,12

20

cosxcosxsinx

costsintcost

dx,

令x

t,则

20

sinxcosxsinx

dx

2

(dt)

20

cosxcosxsinx

dx.

20

sinxcosxsinx

dxII

12

(IJI2)

2

12

20

sinxcosxcosxsinx

dx

1

.422

4.若函数f(x)连续,设F(x)

f(tlnx)dt,求F(x).

解：(方法1)令.tlnxu,则F(x)F(x)f(21nx)

lx

f(Jlnx)

lx

21

f(tlnx)dt

21nxllnx

f(u)du,所以

f(21nx)fi(llnx)

x

(方法2)设f(x)的原函数为G(x)(连续函数一定有原函数)，则F(x)

21

f(tlnx)dt

21

f(tlnx)d(tlnx)G(tlnx)

2

G(21nx)G(llnx),所以，F(x)G(21nx)

lx

G(llnx)

lx

f(21nx)fi(llnx)

x

5.若函数f(x)连续，证明下列定积分等式：

(1)(2)(3)

xf(sinx)dx

2

f(sinx)dx；

ba

f(x)dx(ba)f(x)dx

10

f1(a(ba)x]dx；

2a0

aO

[f(x)f(2ax)]dx.

证明：（1）令X3则

xf(sinx)dx

(

t)f[sin('t)](dt)

(t)f(sint)dt

f(sint)dt

tf(sint)dt

f(sinx)dx

xRsinx)dx,

于是，2所以，

xf{sinx)dx

f(sinx)dx,f(sinx)dx.

xfi(sinx)dx

2

(2)令xa(ba)t,则

ba

f(x)dx

2a0

10

f[(a(ba)t](ba)dt(ba)

10

f[(a(ba)x]dx.

(3)

f(x)dx

aO

f(x)dx

2aa

f(x)dx,

在右式第二个积分中，令x2at,则

2aa2a0

f(x)dxf(x)dx

OaaOa

f(2at)(dt)f(x)dx

aO

f(2at)dt

aO

f(2ax)dx,所以

2aa

f(x)dx

aO

f(x)dx

aO

f(2ax)dx

[f(x.)f(2ax)]dx.

xlcos

2

6.设函数f(x)在区间、[,]上连续，且满足f(x)

f(x).

X

Rx)sinxdx,求

解：记

f(x)sinxdxL则Rx)

xlcos

2

x

I,此等式两边同时乘sinx,然后再xsinx

2

区间i,〕上求积分，有

I

f(x)sinxdx

Icos

Icos

xsinxx

sinx

22

dxl0dx

Icos

xsinx

2

x

dx2

dxIsinxdx,即

x

xsinx

dx2

1cosx

Icosx

dcosxlcosx

2

arctan(cxo)0

(

4

4

)

2

2

所以，f(x)

xlcos

2

X

2

2

习题5—4(A)

1.下列叙述是否正确？并按照你的判断说明理由：

(1)无论是无穷(限)积分还是无界函数的积分(瑕积分)，它们的收敛性都是利用“定积分”

与“极限”这两个基本概念作“已知”来定义的；(2)积分则

0

f(x)dx收敛，是指

0

0

f(x)dx与

0

f(x)dx都收敛,若

f(x)dx发散,

f(x)dx与

f(x)dx都发散;

(3)无论是无穷(限)积分还是无界函数的积分(瑕积分)，在它们收敛时，要计算其值,

一般可以利用推广的牛顿一莱布尼兹公式，而不必再利用定义转化为求定积分的极限.答:

(1)正确.参见定义4.1及定义4.2.

(2)前者正确.参见教材P260第8至12行，(注意积分限中的“0”可以是某一个实数c)；

后者不正确.若发散，如

f(x)dx发散，则两个积分

0

f(x)dx与

X.

.0

f(x)dx中可能只有一个

edx；也可以两个都发散如

xlx

2

(3)正确.参见教材P260第13至17行及P262第1至7行.2.先判断下列广反常积

分是否收敛，然后对于收敛的积分再计算其值：

(1)(3)

1

dxx

3

；(2)dx(a0)；(4)

dx

.0

dxxl

»

,0

e

ax

0

xdxlx

1

2

(5)(7)(9)

2

x2x3

x

；(6)

101

exdxx

2

0

xedx；(8)xdxx

2

dxlx

10

；(10)

10

dxxdx

(11)解：(1)

1

20

dx(lx)

2

；(12)

el

12

xInx

12b

2

dxx

3

lim

b.

bl

dxx

3

liml

b.

12x

2

]1lim(

b.

b

12

)，

所以，此无穷积分收敛，且积分值为

0

12

(2)

dxxl

lim

b.

bO

dxxl

b

lim[2xl]021im(bl1).,b

b.

所以，此无穷积分发散.

(3)

0

e

ax

dxlim

b

bO

e

ax

dx〜

la

b

lim[e

la

ax

]0

b

la

b

lim(le

ab

)

la

所以，此无穷积分收敛，且积分值为

(4)

0

2

xdxlx

2

lim

a

Oa

xdxlx

2

12

a

lim[ln(lx)]a

12

a

limln(la),

2

所以，此无穷积分发散.(5)因为

1

2

dxx2x3

d(xl)(xl.)2

2

12

arctan

xl2

1

22

2

dxx2x3

1

xl

arcta22

2

1

22

以上两个积分都收敛，所以

dxx2x3

收敛，且

dx

2

dxx2x3

1

2

dxx2x3

1

1

〜]

2

x2x3

22

22

2

(6)

1

exdxx

2

1

exd(

lx

1

)exel,

所以，此无穷积分收敛，且积分值为"L(7)

0

xedxxe

xx

0

edxlim

x

xe

x

x

e

x

0

lim

le

x

x

1'1,

所以，此无穷积分收敛，且积分值为1.

(8)因为lim

x'1

1

lx

a-l

,所以下限x'1是瑕点.

01

dxlx

lim

0a

dxlx

Iim[ln(lx)]alirnln(la).,

a1

a1

所以，此瑕积分发散.

(9)因为lim

x1

X

xlim

b1

2

，所以上限x1是瑕点.

10

xdxx

2

b0

xdxx

2

〜洞x]0llimb

b1

b1

2b2

1,

所以，此瑕积分收敛，且积分值为1.

(10)因为lim

x1

1

，所以上限X1是瑕点.

X

b0

10

dxx

lim

b1

dxx

21im[x]0221imb2,

b1

b1

b

所以，此瑕积分收敛，且积分值为2.

(11)因为lim

l(lx)

10

2

，所以x1是瑕点.

x1

此积分分为

10

dx(lx)

2

与

1

21

dx(lx)

2

讨论，

因为

dx(lx)

2

dx

d(lx)(lx)

2

lix

io

lim

x1

llxdx

1,

所以，瑕积分

10

(ix)

2

发散，从而瑕积分

20

(lx)

2

也发散.

(12)因为lim

x1

1

，所以下限X1是瑕点.

X

Inx

dxx

Inx

dlnxlnx

21nx

el

21im21nx2,

x1

所以，此瑕积分收敛，且积分值为2.

习题5—4(B)

1.有一个长为1的细杆AB均匀带电，总电量为q,若在杆的延长线上距点A为xO处有

一个单位正电荷，现将单位正电荷从xO处沿杆的延长线方向移动到无穷远处，试求克服电

场引力所做的功W.

解：如图取坐标，A点为原点，

设单位正电荷位于x处时，受细杆产生的电场力为F(x),则

10

F(x)

kq/l(xt)

t2

kql

Ixt

,xO

1

kql

(

1x1

lx

)(其中k是引力系数).

W

xO

F(x)dx

kql

1x1

lx

)dx

kql

In

xlx

xO

kql

In

xOxOl

2.下列反常积分是否收敛？

(1)

1

arctanxx

1

2

dx；(2)

2a0

2axx

dx

dx(a0).

解：⑴

arctanxx

2

dx

arctanx

x

1

1x(lx)

2

4

12

xlx

2

)dx

4

12

In

x

22

1

4

12

In

12

4

,In2.

(2)因为lim

x0

2ax

x

,所以下限x0是瑕点.

(方法1)令

2axx

t,贝I」x

2aIt

2

于是

2a0

2axx

dx

0

td

2aIt

2

2atlt

2

0

0

2adt11

2

2aarctant

0

a.

（方法2）令x2asin2t,则dx4asintcostdt,于是

2a0

2axx

dx

20

costsint

4asintcostdt4a

20

costdt4a

2

4

a.

（方法3）令xaasint,贝ljdxacostdt,于是

2a0

2axxacostlsint

2

dx

2a0

2axxx

2

x

2a0

a(xa)

x

dta.

22

2

2

dta

n

x

2

2

(Isint)dta

2

2

3.建立In

0

xe

dx的递推公式，并山此计算In.

0

解：In

0

xe

nx

dxxe

n

x

n

X

nl

e

x

dxlim

xe

nx

x.

nlnlnlnl.

Innlnln(nl)In2n(nl)(n2)In3

n!IOn!

0

e

x

dxn![e

x

]0

n!.

0

4.已知反常积分

sin

0

sinxx

x

2

,求反常积分

sinx

22

x

x.

22

解：由于lim

x0

x

X

1,所以X0不是瑕点.

0

sinx

22

X

X

sin

2

x

xsinx

22

0

0

2sinxcosx

xsin2x2x

x0

0

sin2x2x

X)，

令2xt,贝IJ

0

X

X

0

x)

0

sintt

t

2

5.当k为何值时，反常积分

2

dxx(lnx)

k

收敛？当k为何值时，这个反常积分发散？又问

当k为何值时，这个反常积分取得最小值？解：当1时,

2

dxx(lnx)dxx(lnx)dxx(Inx)

kkk

2

dxxlnxl

Inlnx

2

.,反常积分发散；

当k1时，

2

(lk)(lnx)

1

(lk)(lnx)

kl

2

,，反常积分发散；

当k1时，

2

kl

2

1

(kl)(ln2)

kl

，反常积分收敛.

所以，当k1时，该反常积分收敛于

1

(kl)(ln2)

kl

，当k1时，该反常积分发散.

在k1时，记f(k)(kl)(ln2)kl,则f(k)(In2)kl[l(kl)lnln2],由

f(k)0,得唯••驻点kIk1

llnln2

llnln2

，当0ki

1lnln2

1lnln2

时，f(k)0,当

时，f(k)0,所以k1

llnln2

是函数f(k)的极大值点，也是最

llnln2

大值点，从而ki是

1

(kl)(ln2)

kl

的最小值点，所以当ki反常

积分

,2

dxx(lnx)

k

取最小值.

习题5—5(A)

1.下面的叙述是否正确？并说明理由：

利用微元法时首先要确定所求的量Q可以看作是定义在哪个区间上的非均匀变化的连续

量,在该区间上任取一个微小区间［x,xdx］,在［x,xdx］上“以匀(常)代变”，即：将区间

［x,xdx］上对应的量Q的周部量Q看作从x起是连续均匀变化的，从而用

初等方法求出Q的近似值，即Q的微元dQf(x)dx.

答：正确.这就是建立“微元”的方法，核心是在区间［x,xdx］上“以匀(常)代变”，但是

要注意微元dQf(x)dx必须满足：(1)函数f(x)连续，(2)QdQo(dx)(在实际应用中，

这一点往往是凭经验).2.求山下列各平面图形的面积A：

(1)由抛物线yx2与直线yx及x2围成；(2)由曲线yex,yAx与直线ye

围成；(3)由抛物线y2x2,y

x与直线y2围成；

(4)由双曲线xy1及三条直线yx,x1/2,x2围成；(5)椭圆周x4cost,y9sint

所围的内部；(6)星形线xacost,yasint所围的内部；

(7)位于圆周x?y2a2外部及圆周x?y22ax内部；

(8)由阿基米德螺线3上对应于从0到2一段与极轴围成.

yX,解：(1)由得x1(x0舍去)，于是2

yX，

21

2

33

A

(xx)dx［

x

3

3

x

2

2

］1

2

73

32

56

yex,

(2)由得x1,又由图形的对称性，于是

ye,A2(ee)dx2(ee

01

x

xl

)2(eel)2.

x,

2

(3)按V型区域计算，由

y

得y1,于是

y2x,y

3

A

21

(y

2

2y)dy[

3

23

3

(2y)2]l

2

73

23

53

(4)由

xy1,yx,

11/2

得x1,于是

A

lx

x)dx

21

G

lx

)dx[Inx

x

2

2

]

11/2

[

X

2

2

lnx]l

2

98

(5)由对称性

A4A14

40

ydx144

/2

sintdt144

2

/2

sintdt144

2

136.22

(6)由对称性

A4A14ydx12a

0a

2

sin

/2

4

tcostdt12a

22

Z2

(sintsin

46

t)dt

12a(

2

3153132

)a42264228

(7)两圆的极坐标方程分别为a、2acos,由由对称性,

A2A1

a，

2acos，

得

3

/3

(4acosa)d2a

2222

/3

(lcos2)da/3

2

a2/3a2sin2(8)A

12

20

/3

3

32

3

)a.

2

9d

2

32

32

12.

3.求下列各平面图形绕指定坐标轴旋转一周所产生的旋转体的体积:

(1)由y

X,y0与X2围成，绕X轴旋转；

2

(2)由yxx,及x轴围成，绕x轴旋转；

(3)由y2x,yx及y轴围成，分别绕x轴、y轴旋转;

2

2

(tsint)ya(icost)的第一拱与x轴围成，绕x轴旋转•解：⑴Vx(2)

(4)由摆线xa,

Vx

10

20

(x)dx

2

2

2

2

x

2

2

2.

(xx)dx

1215)

10

(x2xx)dx

234

(

13

30

yx2,

(3)111得x1,y1,于是2

y2x,

Vx

10

[(2x)x]dx

1

21

224

10

(44x)dx4(1

2

13

)

83

Vy[ydy

(2y)dy](

3

20

12

2

3

y

2

21

2

)(

52

32

).

(4)Vx

3

2a0

ydxa

2

2

(lcost)dt

2

3

a

3

(13cost3costcost)dt

123

-0)5a.22

a(2〜012

4.一个垂直于x轴的正三角形沿x轴移动，而在移动过程中底边的两个端点分别在曲线

y4ax^y2ax(a0)上，求由x0移动到xa它所生成的立体体积.

解：在区间［0,a］上任取一点x,该点对应的正三角面积为

12

a0

A(x)2ax

32

2ax3ax,所以

V

A(x)dx

3a

aO

xdx

32

a.

3

5.由半径为R球体上截取一个高为H(HR)球缺，求该球缺的体积.

解：如图取坐标，球缺的体枳可以看作阴影部分图形绕y轴

旋转的旋转体体积，于是V

RRH

xdy

y

3

2

RRH

(Ry)dy

H3

22

(RH

2

3

RRH

)H(R

2

)・

6.计算下列平面曲线的弧长s：

(Dy

13

x(3x)±,从x1至Ijx3的一段；

(2)悬链线ychx上