高中数学基础知识与练习题

第一讲集合与逻辑用语

第1节集合及其运算

1.元素与集合

⑴集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.

⑵集合中元素与集合的关系有且仅有两种：属于（用符号"e”表示）和不属于（用符号“生

表不）.

（3）集合的表示法：列举法、描述法、图示法.

2.集合间的基本关系

表示

文字语言符号语言

关系

相等集合只与集合8中的所有元素都相同A=B

集合间

子集A中任意一个元素均为6中的元素店B

的基本

4中任意一个元素均为6中的元素，且6中至少有一个

关系真子集4B

元素不是月中的元素

空集空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集

3.集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集

若全集为U,则集

符号表示AUBAQB

合4的补集为［4

(3B(®

U©

图形表示

AUBAQBCM

意义{x\A,或8}{x|4且8}{x|x€U,且超？1}

4.集合的运算性质

并集的性质：/U。=A;AUA=A;A\JB=BUA;A\JB=A^>BQA.

交集的性质：/in0=。；AHA=A-A^B=A<^A^B.

补集的性质：HU（CuA）=u；40（1,d）=上；cAC必）=4；

C向=（［t4）n（c，切；【

★练习

1.已知集合4={X|3<X<7},5={X|2<X<10},则([RT4)AB=.

2.（2015•全国I卷）已知集合力={X|X=3A+2,n€N},B={6,8,10,12,14},则集合，n重

中元素的个数为（）

A.5B.4C.3D.2

3.（2015•全国口卷）已知集合4={x|-lVxV2},B={x\0<x<3},则4U〃等于（）

A.（-l,3）0）C.（0,2）D.（2,3）

4.（2015•浙江卷）已知集合〃={x|W—2x>3}，Q={x|2VxV4},则0AQ等于（）

A.[3,4）B.（2,3]C.（-l,2）D.（-l,3]

一、选择题

1.（2015・安徽卷）设全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2},B={2,3,4},则力门（[L：B）

等于（）

A.{1,2,5,6}B.{1}C.{2}D.{1,2,3,4}

2.（2015•南昌监测）已知集合4={（x,y）\x,R,且/+/=",B={（x,y）\x,R,

且尸x},则zn#的元素个数为（）

A.OB.lC.2D.3

3.（2015•长春监测）已知集合尸={x|x>0},Q=侣>0,则PCQ等于（）

A.（-oo,2）B.（-8,-1]C.[O,+°O）D.（2,+8）

4.（2015•江西师大附中模拟）设集合4={x|-l<xW2,x£N},集合8={2,3},则其U8

等于（）

A.{2}B.{1,2,3}C.{-1,0,1,2,3}D.{0,1,2,3}

5.已知集合/W={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=MCN,则P的子集共有（）

A.2个B.4个C.6个D.8个

6.（2014•宜春检测）设集合P={x|x>l},Q={x|*-x>0},则下列结论正确的是（）

AMQB®PC.P=QD.PUQ=R

第2节命题及其关系、充分条件与必要条件

1.四种命题及其关系⑴四种命题间的相互关系

⑵四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.

②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.

2.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若尸夕，则-是q的充分条件,。是。的必要条件

p是9的充分不必要条件片,且〈户P

p是q的必要不充分条件g且q=^p

P是9的充要条件产q

p是q的既不充分也不必要条件产g且gp

★练习

1.（2015•山东卷）设m£R,命题“若则方程W+x-m=0有实根”的逆否命题是（）

A.若方程f+x—m=0有实根，则m>0B.若方程V+x—n?=0有实根，则mWO

C.若方程系+1--〃7=0没有实根，则m>0D.若方程父+*—/7?=0没有实根，则切工0

2（2015•安徽卷）设p:x<3,g；-1<A<3,则p是g成立的（）

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

3.（2015■浙江卷）设a,6是实数，则“a+6>0"是“a6>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.下列命题：

①x=2是A2—4x+4=0的必要不充分条件；

②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件；

③sinoc=sin产是《=产的充要条件；④必K0是a#0的充分不必要条件.

其中为真命题的是（填序号）.

基础巩固题组

一、选择题

1.（2015•重庆卷）"x=l"是V-2x+l=0"的（）

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

2.命题“若x,尸都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（）

A.若x+y是偶数，则x与7不都是偶数B.若x+y是偶数，则x与尸都不是偶数

C.若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数D.若x+y不是偶数，则x与/都不是偶数

3.设x€R,则是"|x-2|<l"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题

4.“若aWb,则a/W^,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数

是.

1

5.是"一元二次方程/+x+m=0有实数解”的条件（填"充分不必要、必

要不充分、充要"）.

6.函数《刈=/+切*+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是.

第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词"且”“或"“非”

⑴命题中的旦、或、韭叫做逻辑联结词.

⑵命题p且g、P或q、的真假判断

Pq尸且q尸或q非P

真真i真假

真假真假

假真假真其

假假假真

2.全称量词与存在量词

⑴常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.

（2）常见的存在量词有：“存在一个”"至少有一个”“有些”“有一个"“某个”"有

的”等.

3.全称命题与特称命题

（1）含有全称量词的命题叫全称命题.（2）含有存在量词的命题叫特称命题.

4.命题的否定

⑴全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是金叁命题.

⑵p或9的否定为：非0且非（7；p且9的否定为：非。或非q.

★练习

1.（2015•湖北卷）命题“存在x€（0,+8）,Inx=x-1”的否定是（）

A.任意xC（0,+8）,InX=/=A—IB.任意碎（0,+°o）,Inx=x-1

C.存在x£（0,+8）,InxKx—lD.存在E（0,+<=o）,ln.v=x-l

2..若命题"Vx€R,公2一这-2工0”是真命题，则实数a的取值范围是.

基础巩固题组

一、选择题

1.（2015・抚州二检）若"是真命题，g是假命题，则（）

A.p且g是真命题B.p或g是假命题

C.非p是真命题D.非g是真命题

2..命题“存在实数x,使x>l”的否定是（）

A.对任意实数x,都有x>1B.不存在实数x,使xWl

C.对任意实数x,都有xWID.存在实数x,使

3.下列四个命题

A：存在x£（o,+8）,8y@'；pz：存在xE（OJ）,

0：任意x£（0,+8）,P4：任意x£（0,f，

其中真命题是（）

A.R,B.px,p4C.p2,△D.f>2,p4

第二讲函数概念与函数基本性质

第1节函数及其表示

1.函数的基本概念⑴函数的定义

给定两个非空数集/和8,如果按照某个对应关系£对于集合力中的任何一个数x,在集

合8中都存在唯一的数/U）与之对应,那么就把对应关系/•叫作定义在集合力上的函数，记

作£力-8或后皿*/,此时x叫作自变量，集合/叫做函数的定义域，集合｛4M|x

Cd｝叫作函数的值域.

(2)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系.

(3)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图像法.

(4)分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系，这样的函数通

常叫作分段函数.

分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的差集，值域是各段值域的并集.

2.函数定义域的求法

类型.V满足的条件

2yf(x),n€N，/(A)>0

看与国X)］。

logXX)

四则运算组成的函数各个函数定义域的交集

实际问题使实际问题有意义

★练习

1.下列函数中，不满足(2@=2(用的是()

A./(x)=|x\=x—|x\C./(x)=x+1=-x

2.(2015-重庆卷)函数G)=log2a2+2*—3)的定义域是()

A.[-3,1]B.(—3,1)

C.(-oo,-3]U[1,+oo)D.(-oo,-3)U(1,+8)

I—/,AO'.y

3.(2015•陕西卷)设侬=«则顺—2))等于()

2',xV0,

113

A一B-C2Di

基础巩固题组

一、选择题

1.下图中可作为函数尸=4①的图象的是()

BCD

2.下列函数中,与函数尸——的定义域相同的函数为（)

1Inxsinx

\.y=^.B.y=C.尸xexD.j/=

sinxxx

"W+l,1,

3.设函数《吊=02则钦3））等于（）

一，x>l,

x

1213

A-5B.303叼

4.•某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数

大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数了与该班人数x之间的函数关系用取

整函数尸区（因表示不大于x的最大整数）可以表示为（)

x+3x+4x+5

Bj—-C.尸Dy

A『[高"w

二、填空题

x+1

6.函数《刈=-7=,、的定义域为

yi。勘.2（3—X）

3—A2,[―1,2],

7.已知函数《耳=,「,则方程《勾=1的解为

lx-3,x£(2,5],

第2节函数的单调性与最大（小）值

1.函数的单调性

⑴单调函数的定义

增函数减函数

在函数尸《耳的定义域内的一个区间A1,如果对于任意两数不，X2W/1

定义当X]VX2时，都有《X?,那么就说当不〈西时，都有反左强，那么就说

函数人用在区间4上是增加的函数《同在区间4上是减少的

续表

y=M

自左向右看图像是上升的

图像描述

O|«l%2X

自左向右看图像是下降的

"如,

⑵函数单调性的两种等价形式:设任意/，X2S[a,句且为〈如那么

fX[—fX2fX\—fX?

①在[a,句上是增函数；"—<0=4x）在⑶句上是减函

X「X2X「Xz

数.

②（XLXJ孙）—既）]>0=侬在回切上是增函数；（XLXM«X0—侬）]<0=/（吊在,，回上是

减函数.

（3）单调区间的定义:如果尸在区间A上是增加的或是减少的，那么称4为单调区间.

2.函数的最值

前提函数尸/W的定义域为D

⑴对于任意x£O,都有痴&M;（3）对于任意x€。，都有

条件

⑵存在斯6。，使得心。）=加（4）存在厮£。，使得[x6=M

结论〃为最大值“为最小值

★练习

1.（2015•宜春调研）下列函数中，在区间（0,+8）内单调递减的是（）

B.y=x2—xC.y=Inx—xD.尸e'-x

2.数Q）=lgX的单调递减区间是.

2

3《刈=--x£[2,6],则《刈的最大值为________,最小值为________.

X—1

基础巩固题组

一、选择题

1.（2015•九江模拟）下列四个函数中，在区间（0,1）上是减函数的是（）

AflV1

A.7=lo&xB.y=A3C.J——I-ID.尸一

2.已知函数《力=2数2+4（a—3）x+5在区间（一8,3）上是减函数，则a的取值范围是（）

'。，1c.0,I3

B.。，；D°，工

1

3.函数《X）=k＞g5（M-4）的单调递增区间为（）

A.(0,+oo)B.(—8,0)C.(2,+oo)D.(—8,-2)

二、填空题

4.（2015•中山质检）尸一V+2|x|+3的单调增区间为

5.已知函数他）为（0,+8）上的增函数，若不/—a）＞（a+3）,则实数a的取值范围为

第3节函数的奇偶性与周期性

1.奇函数、偶函数

图像关于原点对称的函数叫作奇函数.图像关于y轴对称的函数叫作偶函数.

2.奇（偶）函数的性质

⑴奇函数在关于原点对称的区间上的单调性桓圆，偶函数在关于原点对称的区间上的单调

性相反（填“相同”、“相反”）.

⑵在公共定义域内

①两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数.

②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数.

③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数.

⑶若函数侬是奇函数且在x=0处有定义，则＜0）=0.

3.周期性

⑴周期函数：对于函数仆），如果存在非零常数表,对定义域内的任意一个x值，都有心

+乃=©,就把耳耳称为周期函数，称T为这个函数的周期.

⑵最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数

就叫做《耳的最小正周期.

★练习

1.（2015•广东卷）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）

1

A.y=x+sin2xB.r=A2—cosxC.y=2v4-~D.r—j^+sinx

2.已知4x）=a/+bx是定义在k一1,2司上的偶函数，那么的值是（）

3.（2014-四川卷）设而是定义在R上的周期为2的函数，当x€[-l,1）时，的=

-4^+2,-l<x<0

x,0<x<1,

4.已知函数《耳是定义在R上的奇函数，当x>0时，《耳=式1+⑼，则xVO时，《吊=.

基础巩固题组

一、选择题

1.（2015・吉安二检）下列函数为偶函数的是（）

A.y=sinxB./=1—x）C.y=evD.j=1

2.（2015•石家庄模拟）设函数4用为偶函数，当x€（0,+四时，/fA）=lo&x,

则1-币=（）

11

A.--B-C.2D.-2

jA2+1,X>0,

3.（2014・福建卷）已知函数则下列结论正确的是（）

[cosx,x《0,

A./（用是偶函数B./W是增函数

C.«匆是周期函数D.《对的值域为[―1,+oo）

X+x+l2

4（2015・沈阳质量监测）已知函数«用=/+1，若则《一®=（）

2244

A.-B.~~C-D.—"

二、填空题

5.函数《刘在R上为奇函数，且x>0时，«x）=q^+l,则当xVO时，人自=.

第三讲基本初等函数及其性质

第1节二次函数性质的再研究与寡函数

1.二次函数

⑴二次函数解析式的三种形式:

①一般式：长角=ad+bx+c(aK0).②顶点式:=m)2+"(a子0).③零点式：《x)=a(x—

X1)(x-xJQKO).

(2)二次函数的图象和性质

解析式«刈=a*+bx+4a>0)/(A)=/+bx+&nV0)

图象

\kzaK：一

定义域(—8,4-00)(—8,4-00)

4ac—廿(4/ic—廿

+oojco,

值域_____1__一_____________4.^2____

J/、-1

在(-8,-£

-8,一[

上单调递减；a上单调递增；

单调性

T+8)上单调递减

]上单调递增「I+8

在在

T

b

对称性函数的图象关于'=三对称

2.薛函数

⑴僚函数的定义如果一个函数,底数是自变量x,指数是常量即即y=『，这样的函数

称为福函数.

(2)常见的5种黑函数的图象

⑶常见的5种寡函数的性质

特征7数

1

y=x尸/_„2y=x-'

性47^尸X

{x\x6R,

定义域RRR2,+8)

且VO}

{川"R,

值域R(0,+8)R[0,+8)

且「片0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

(—8,0]减,(-8,0)减,

单调性增增增

[0,+8)增(0,+8)减

定点(0,0),(1,1)(1,1)

★课前练习

1

1.函数y=5,一5*+1的对称轴和顶点坐标分别是（）

(23、(23、(23、(23、

A.x=5,I5,——IB.x=—5,I—5,-lc.x=5,I—5,—\D.x=~5,I5,——

2.已知/W=V+px+9满足中)=《2)=0,则4一I)的值是()

A.5B.-5C.6D.—6

1

3.在同一坐标系内，函数尸fQwO)和尸=公+-的图象可能是()

a

在区间________

基础巩固题组

一、选择题

1.二次函数尸一f+4x+i图象的顶点在x轴上，则［的值是（）

A.-4B.4C.-2D.2

2.若aVO,则0.5\5S5一的大小关系是()

'5弋5“<。52B.5yo.5y5一“

C.0.5”V5）V5'D.5"V5一”<0.5’

3.（2015・汉中模拟）如果函数《刈=/一数一3在区间（-8,4］上单调递减，则实数w满足的条

件是（）

A.a》8B.a48C.a>4D.w》一4

4若二次函数Q）="+ZW+c满足则/（xi+xj等于（）

bb4ac-B

A.一—B.-~*C.cD."

2aa4〃

5..已知函数/（3=4+2公+3,xW[―4,6].

⑴当*=一2时，求《勾的最值;

⑵求实数a的取值范围，使尸=《吊在区间[—4,6]上是单调函数.

第2节指数与指数函数

1.根式:⑴概念：式子%叫做根式,其中〃叫做根指数，a叫做被开方数.

⑵性质：（gg"=a（a使<〃有意义）；当〃为奇数时，母/=",

当”为偶数时，§7=|0=[

[―a,aVO.

2.分数指数嘉

⑴规定：正数的正分数指数篝的意义是「=知/（。>0,m,nCN',且〃>1）；正数的负分

m1

数指数号的意义是a—-=^^（a>0,m,N,,且〃>1）；0的正分数指数嘉等于。；0的

.包

负分数指数用没有意义.

⑵有理指数嘉的运算性质：//=£；⑶'=式；（的三丝，其中a>0,b>0,r,s€Q.

3.指数函数的图象与性质

n>10<^<1

图象一@力二3

定义域R

值域(0,+8)

过定点（0,1）,即X=O时，7=1

性质

当x>0时，y>l;当x<0时，y>l;

当x<0时，0<y<l当x>0时，0<」<1

在(-8,+8)上是增函数在(-8,+8)上是减函数

★课前练习

1.下列运算中，正确的是()

A.才•ai)2C.(yl-a—'[')o=OD.(—a2)3=~

0f)

2.(2015■山东卷)设a=0.6°”,6=0.6"，c=1.5,则%b,c的大小关系是()

A.^<b<cB.5<c<bC.Z?<n<cD.b<c<n

1

3.已知04x&2,则广=4X-5—3-2A+5的最大值为.

基础巩固题组

一、选择题

1.函数侬=式2+1(心()，且门1)的图象必经过点()

A.(0,1)B.(l,1)C.(2,0)D.(2,2)

2.函数/(x)=dl—2，的定义域是()

A.(-oo,0]B.[0,+oo)C.(-oo,0)D.(—8,+oo)

3..函数y—的图象的大致形状是()

1X\

:「三

AB

4-

*

cD

1

4.若函数K吊=)2X—4|(W>0,且值1),满足中)=§,则/w的单调递减区间是()

A.(—8,2]B.[2,+oo)C.[-2,+oo)D.(-8,-2]

二、填空题

3

(16厂[54

51区)+1。际+I0g3g=---------.

6.已知函数《刈=二”(a>0,且。片1),且(一2)>«—3),则a的取值范围是.

第三节对数与对数函数

1.对数的概念

一般地，如果a(a>0,aKl)的6次号等于N,即才=N,那么数。叫作以z为底N的对数,

记作1。叱=6.其中a叫作对数的底数,N叫作真数.

2.对数的性质与运算性质

⑴对数的性质①对。沙=N；②1。&外=以心0,且片1)；③零和负数没有对数.

(2)对数的运算性质(心0,且a沪1,M>Q,20)

M

®log,(M-A?)=lo&M±lo&N;②lo叼；=lo&=-lo&N;③1。&”=加每幽衣R).

⑶对数的重要公式

logJV1

①换底公式：@gW=Fr(a,6均大于零且不等于1)；②1。&6=^—，推广log)log—1。蝇

-log，/

=10&^

3.对数函数的图象与性质

a>\0<^<1

XX

^y=\o^x4=1

三

图象/60)

!尸1咻4

定义域(0,+8)

值域R

过点(1,0),即x=j_时，

当x>l时，y<0；当OVxVl时，X

性质当X>1时，F>0；当0<x<l时，£<0

>0

在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是速函数

★练习

1.函数/(x)=lo&(x+2)—2缶>0,且w*l)的图象必过定点()

A.(l,0)B.(l,-2)C.(-l,-2)D.(T,-1)

2.（2015.浙江卷）计算：log停=

；210^3+10^3=

3.函数4田=10将（2才+1）的单调增区间是.

3

4.若log,]<l（a>0,且。大1）,则实数a的取值范围是,

基础巩固题组

一、选择题

，<，

1.（2015•四川卷）设储6为正实数，则a>b>\^是"log2a>10取6>0”的（）

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

2.若函数尸logXa>0,且arl）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）

CD

3.已知6>0,1。骸=a,lgb=c,5J=10,则下列等式一定成立的是（）

A.d=acB.w=cdC.c=adD.d=w+c

3

4.若log,-<1,则a的取值范围是（）

AO,I33

B.+-C.1DM+oo)

5?

5.（2015•萍乡调研）函数《切=1。&（公一3）在口，3]上单调递增，则a的取值范围是（）

1

A.(l,+oo)B.(0,1)C.(O,-)D.(3,+oo)

二、填空题

6.(2015-四川卷)lg0.01+10a16的值是

1

7.函数尸1。坛（八一2M的定义域是;单调递减区间是.

8.（2016・武汉调研）已知函数4期为奇函数，当x>0时，《用=1°改*，则满足不等式《切>0的

x的取值范围是.

第四讲函数图像及其应用

第1节函数的图像

1.利用描点法作函数图象：其基本步骤是列表、描点、连线.

首先：⑴确定函数的定义域，⑵化简函数解析式，⑶讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周

期性、对称性等）.

其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连

线.

2.函数图象间的变换

⑴平移变换

[94)+4]

上MA>0）个单位

移

IyW+a)}左移右移

0305>0）个单瓦

下

看贴>0）个单位

I尸危TI

对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减.

⑵对称变换

关于y轴对称函数尸f（T）丽函

函

关于左轴对称函数尸毋与）而酶

数

y

=关于原点对称尸-f(T)

(X的

X轴及上方部分不变

图I函数尸巩式）1懒泉1

4轴下方部分翻折到上方I

象

峋轴左侧部分去掉、右侧不变

函数y=f（141）的图象

y轴右侧部分翻折到左侧

（3）伸缩变换

_纵坐标不变1_

了=心）各点横坐标变为原屎的-（a>0）倍了=《初.

4

尸.各点纵坐标度的A(A>0)倍尸四灯

★练习

1.(2015•广州一调)把函数尸(x—2>+2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，

所得图象对应的函数解析式是()

A.y=(x—3/+3B.y=(A—3)2+1C.y=(x-1)2+3D.j/=(x-l)2+l

2.点。从点O出发，按逆时针方向沿周长为/的图形运动一周，O,。两点连线的距离了与

点夕走过的路程X的函数关系如图，那么点夕所走的图形是()

r

011X

2

尹

ABCD

3.(2016•延安调研)已知图⑴中的图象对应的函数为尸题,则图⑵中的图象对应的函数为

()

彳X7k

(1)(2)

A.y=4|x|)B.y=|XX>|C.y=/(-|x|)D.y=—4|x|)

lo&x(x>0),

4.(2015-长沙模拟)已知函数,、且关于x的方程《t)-a=0有两个实

〔2"(x<0),

根，则实数2的取值范围是________.

基础巩固题组

一、选择题

1

1.函数尸1、一［的图象是()

1

2.函数尸5'.与函数,上一不的图象关于()

A.x轴对称B.y轴对称C.原点对称D.直线尸x对称

3.已知定义在区间[0,2]上的函数尸《囚的图象如图所示，则尸一42—⑼的图象为(

4.使logj(—X><x+l成立的x的取值范围是()

A.(-l,0)0)