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文档简介
第一讲集合与逻辑用语
第1节集合及其运算
1.元素与集合
⑴集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.
⑵集合中元素与集合的关系有且仅有两种:属于(用符号"e”表示)和不属于(用符号“生
表不).
(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法.
2.集合间的基本关系
表示
文字语言符号语言
关系
相等集合只与集合8中的所有元素都相同A=B
集合间
子集A中任意一个元素均为6中的元素店B
的基本
4中任意一个元素均为6中的元素,且6中至少有一个
关系真子集4B
元素不是月中的元素
空集空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集
3.集合的基本运算
集合的并集集合的交集集合的补集
若全集为U,则集
符号表示AUBAQB
合4的补集为[4
(3B(®
U©
图形表示
AUBAQBCM
意义{x\A,或8}{x|4且8}{x|x€U,且超?1}
4.集合的运算性质
并集的性质:/U。=A;AUA=A;A\JB=BUA;A\JB=A^>BQA.
交集的性质:/in0=。;AHA=A-A^B=A<^A^B.
补集的性质:HU(CuA)=u;40(1,d)=上;cAC必)=4;
C向=([t4)n(c,切;【
★练习
1.已知集合4={X|3<X<7},5={X|2<X<10},则([RT4)AB=.
2.(2015•全国I卷)已知集合力={X|X=3A+2,n€N},B={6,8,10,12,14},则集合,n重
中元素的个数为()
A.5B.4C.3D.2
3.(2015•全国口卷)已知集合4={x|-lVxV2},B={x\0<x<3},则4U〃等于()
A.(-l,3)0)C.(0,2)D.(2,3)
4.(2015•浙江卷)已知集合〃={x|W—2x>3},Q={x|2VxV4},则0AQ等于()
A.[3,4)B.(2,3]C.(-l,2)D.(-l,3]
一、选择题
1.(2015・安徽卷)设全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2},B={2,3,4},则力门([L:B)
等于()
A.{1,2,5,6}B.{1}C.{2}D.{1,2,3,4}
2.(2015•南昌监测)已知集合4={(x,y)\x,R,且/+/=",B={(x,y)\x,R,
且尸x},则zn#的元素个数为()
A.OB.lC.2D.3
3.(2015•长春监测)已知集合尸={x|x>0},Q=侣>0,则PCQ等于()
A.(-oo,2)B.(-8,-1]C.[O,+°O)D.(2,+8)
4.(2015•江西师大附中模拟)设集合4={x|-l<xW2,x£N},集合8={2,3},则其U8
等于()
A.{2}B.{1,2,3}C.{-1,0,1,2,3}D.{0,1,2,3}
5.已知集合/W={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=MCN,则P的子集共有()
A.2个B.4个C.6个D.8个
6.(2014•宜春检测)设集合P={x|x>l},Q={x|*-x>0},则下列结论正确的是()
AMQB®PC.P=QD.PUQ=R
第2节命题及其关系、充分条件与必要条件
1.四种命题及其关系⑴四种命题间的相互关系
⑵四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题时,它们的真假性没有关系.
2.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若尸夕,则-是q的充分条件,。是。的必要条件
p是9的充分不必要条件片,且〈户P
p是q的必要不充分条件g且q=^p
P是9的充要条件产q
p是q的既不充分也不必要条件产g且gp
★练习
1.(2015•山东卷)设m£R,命题“若则方程W+x-m=0有实根”的逆否命题是()
A.若方程f+x—m=0有实根,则m>0B.若方程V+x—n?=0有实根,则mWO
C.若方程系+1--〃7=0没有实根,则m>0D.若方程父+*—/7?=0没有实根,则切工0
2(2015•安徽卷)设p:x<3,g;-1<A<3,则p是g成立的()
A.充分必要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
3.(2015■浙江卷)设a,6是实数,则“a+6>0"是“a6>0”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4.下列命题:
①x=2是A2—4x+4=0的必要不充分条件;
②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件;
③sinoc=sin产是《=产的充要条件;④必K0是a#0的充分不必要条件.
其中为真命题的是(填序号).
基础巩固题组
一、选择题
1.(2015•重庆卷)"x=l"是V-2x+l=0"的()
A.充分必要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
2.命题“若x,尸都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是()
A.若x+y是偶数,则x与7不都是偶数B.若x+y是偶数,则x与尸都不是偶数
C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数D.若x+y不是偶数,则x与/都不是偶数
3.设x€R,则是"|x-2|<l"的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
二、填空题
4.“若aWb,则a/W^,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数
是.
1
5.是"一元二次方程/+x+m=0有实数解”的条件(填"充分不必要、必
要不充分、充要").
6.函数《刈=/+切*+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是.
第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词"且”“或"“非”
⑴命题中的旦、或、韭叫做逻辑联结词.
⑵命题p且g、P或q、的真假判断
Pq尸且q尸或q非P
真真i真假
真假真假
假真假真其
假假假真
2.全称量词与存在量词
⑴常见的全称量词有:“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.
(2)常见的存在量词有:“存在一个”"至少有一个”“有些”“有一个"“某个”"有
的”等.
3.全称命题与特称命题
(1)含有全称量词的命题叫全称命题.(2)含有存在量词的命题叫特称命题.
4.命题的否定
⑴全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是金叁命题.
⑵p或9的否定为:非0且非(7;p且9的否定为:非。或非q.
★练习
1.(2015•湖北卷)命题“存在x€(0,+8),Inx=x-1”的否定是()
A.任意xC(0,+8),InX=/=A—IB.任意碎(0,+°o),Inx=x-1
C.存在x£(0,+8),InxKx—lD.存在E(0,+<=o),ln.v=x-l
2..若命题"Vx€R,公2一这-2工0”是真命题,则实数a的取值范围是.
基础巩固题组
一、选择题
1.(2015・抚州二检)若"是真命题,g是假命题,则()
A.p且g是真命题B.p或g是假命题
C.非p是真命题D.非g是真命题
2..命题“存在实数x,使x>l”的否定是()
A.对任意实数x,都有x>1B.不存在实数x,使xWl
C.对任意实数x,都有xWID.存在实数x,使
3.下列四个命题
A:存在x£(o,+8),8y@';pz:存在xE(OJ),
0:任意x£(0,+8),P4:任意x£(0,f,
其中真命题是()
A.R,B.px,p4C.p2,△D.f>2,p4
第二讲函数概念与函数基本性质
第1节函数及其表示
1.函数的基本概念⑴函数的定义
给定两个非空数集/和8,如果按照某个对应关系£对于集合力中的任何一个数x,在集
合8中都存在唯一的数/U)与之对应,那么就把对应关系/•叫作定义在集合力上的函数,记
作£力-8或后皿*/,此时x叫作自变量,集合/叫做函数的定义域,集合{4M|x
Cd}叫作函数的值域.
(2)函数的三要素是:定义域、值域和对应关系.
(3)表示函数的常用方法有:解析法、列表法和图像法.
(4)分段函数
若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通
常叫作分段函数.
分段函数是一个函数,分段函数的定义域是各段定义域的差集,值域是各段值域的并集.
2.函数定义域的求法
类型.V满足的条件
2yf(x),n€N,/(A)>0
看与国X)]。
logXX)
四则运算组成的函数各个函数定义域的交集
实际问题使实际问题有意义
★练习
1.下列函数中,不满足(2@=2(用的是()
A./(x)=|x\=x—|x\C./(x)=x+1=-x
2.(2015-重庆卷)函数G)=log2a2+2*—3)的定义域是()
A.[-3,1]B.(—3,1)
C.(-oo,-3]U[1,+oo)D.(-oo,-3)U(1,+8)
I—/,AO'.y
3.(2015•陕西卷)设侬=«则顺—2))等于()
2',xV0,
113
A一B-C2Di
基础巩固题组
一、选择题
1.下图中可作为函数尸=4①的图象的是()
BCD
2.下列函数中,与函数尸——的定义域相同的函数为()
1Inxsinx
\.y=^.B.y=C.尸xexD.j/=
sinxxx
"W+l,1,
3.设函数《吊=02则钦3))等于()
一,x>l,
x
1213
A-5B.303叼
4.•某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数
大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数了与该班人数x之间的函数关系用取
整函数尸区(因表示不大于x的最大整数)可以表示为()
x+3x+4x+5
Bj—-C.尸Dy
A『[高"w
二、填空题
x+1
6.函数《刈=-7=,、的定义域为
yi。勘.2(3—X)
3—A2,[―1,2],
7.已知函数《耳=,「,则方程《勾=1的解为
lx-3,x£(2,5],
第2节函数的单调性与最大(小)值
1.函数的单调性
⑴单调函数的定义
增函数减函数
在函数尸《耳的定义域内的一个区间A1,如果对于任意两数不,X2W/1
定义当X]VX2时,都有《X?,那么就说当不〈西时,都有反左强,那么就说
函数人用在区间4上是增加的函数《同在区间4上是减少的
续表
y=M
自左向右看图像是上升的
图像描述
O|«l%2X
自左向右看图像是下降的
"如,
⑵函数单调性的两种等价形式:设任意/,X2S[a,句且为〈如那么
fX[—fX2fX\—fX?
①在[a,句上是增函数;"—<0=4x)在⑶句上是减函
X「X2X「Xz
数.
②(XLXJ孙)—既)]>0=侬在回切上是增函数;(XLXM«X0—侬)]<0=/(吊在,,回上是
减函数.
(3)单调区间的定义:如果尸在区间A上是增加的或是减少的,那么称4为单调区间.
2.函数的最值
前提函数尸/W的定义域为D
⑴对于任意x£O,都有痴&M;(3)对于任意x€。,都有
条件
⑵存在斯6。,使得心。)=加(4)存在厮£。,使得[x6=M
结论〃为最大值“为最小值
★练习
1.(2015•宜春调研)下列函数中,在区间(0,+8)内单调递减的是()
B.y=x2—xC.y=Inx—xD.尸e'-x
2.数Q)=lgX的单调递减区间是.
2
3《刈=--x£[2,6],则《刈的最大值为________,最小值为________.
X—1
基础巩固题组
一、选择题
1.(2015•九江模拟)下列四个函数中,在区间(0,1)上是减函数的是()
AflV1
A.7=lo&xB.y=A3C.J——I-ID.尸一
2.已知函数《力=2数2+4(a—3)x+5在区间(一8,3)上是减函数,则a的取值范围是()
'。,1c.0,I3
B.。,;D°,工
1
3.函数《X)=k>g5(M-4)的单调递增区间为()
A.(0,+oo)B.(—8,0)C.(2,+oo)D.(—8,-2)
二、填空题
4.(2015•中山质检)尸一V+2|x|+3的单调增区间为
5.已知函数他)为(0,+8)上的增函数,若不/—a)>(a+3),则实数a的取值范围为
第3节函数的奇偶性与周期性
1.奇函数、偶函数
图像关于原点对称的函数叫作奇函数.图像关于y轴对称的函数叫作偶函数.
2.奇(偶)函数的性质
⑴奇函数在关于原点对称的区间上的单调性桓圆,偶函数在关于原点对称的区间上的单调
性相反(填“相同”、“相反”).
⑵在公共定义域内
①两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数.
②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数.
③一个奇函数,一个偶函数的积函数是奇函数.
⑶若函数侬是奇函数且在x=0处有定义,则<0)=0.
3.周期性
⑴周期函数:对于函数仆),如果存在非零常数表,对定义域内的任意一个x值,都有心
+乃=©,就把耳耳称为周期函数,称T为这个函数的周期.
⑵最小正周期:如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数
就叫做《耳的最小正周期.
★练习
1.(2015•广东卷)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()
1
A.y=x+sin2xB.r=A2—cosxC.y=2v4-~D.r—j^+sinx
2.已知4x)=a/+bx是定义在k一1,2司上的偶函数,那么的值是()
3.(2014-四川卷)设而是定义在R上的周期为2的函数,当x€[-l,1)时,的=
-4^+2,-l<x<0
x,0<x<1,
4.已知函数《耳是定义在R上的奇函数,当x>0时,《耳=式1+⑼,则xVO时,《吊=.
基础巩固题组
一、选择题
1.(2015・吉安二检)下列函数为偶函数的是()
A.y=sinxB./=1—x)C.y=evD.j=1
2.(2015•石家庄模拟)设函数4用为偶函数,当x€(0,+四时,/fA)=lo&x,
则1-币=()
11
A.--B-C.2D.-2
jA2+1,X>0,
3.(2014・福建卷)已知函数则下列结论正确的是()
[cosx,x《0,
A./(用是偶函数B./W是增函数
C.«匆是周期函数D.《对的值域为[―1,+oo)
X+x+l2
4(2015・沈阳质量监测)已知函数«用=/+1,若则《一®=()
2244
A.-B.~~C-D.—"
二、填空题
5.函数《刘在R上为奇函数,且x>0时,«x)=q^+l,则当xVO时,人自=.
第三讲基本初等函数及其性质
第1节二次函数性质的再研究与寡函数
1.二次函数
⑴二次函数解析式的三种形式:
①一般式:长角=ad+bx+c(aK0).②顶点式:=m)2+"(a子0).③零点式:《x)=a(x—
X1)(x-xJQKO).
(2)二次函数的图象和性质
解析式«刈=a*+bx+4a>0)/(A)=/+bx+&nV0)
图象
\kzaK:一
定义域(—8,4-00)(—8,4-00)
4ac—廿(4/ic—廿
+oojco,
值域_____1__一_____________4.^2____
J/、-1
在(-8,-£
-8,一[
上单调递减;a上单调递增;
单调性
T+8)上单调递减
]上单调递增「I+8
在在
T
b
对称性函数的图象关于'=三对称
2.薛函数
⑴僚函数的定义如果一个函数,底数是自变量x,指数是常量即即y=『,这样的函数
称为福函数.
(2)常见的5种黑函数的图象
⑶常见的5种寡函数的性质
特征7数
1
y=x尸/_„2y=x-'
性47^尸X
{x\x6R,
定义域RRR2,+8)
且VO}
{川"R,
值域R(0,+8)R[0,+8)
且「片0}
奇偶性奇偶奇非奇非偶奇
(—8,0]减,(-8,0)减,
单调性增增增
[0,+8)增(0,+8)减
定点(0,0),(1,1)(1,1)
★课前练习
1
1.函数y=5,一5*+1的对称轴和顶点坐标分别是()
(23、(23、(23、(23、
A.x=5,I5,——IB.x=—5,I—5,-lc.x=5,I—5,—\D.x=~5,I5,——
2.已知/W=V+px+9满足中)=《2)=0,则4一I)的值是()
A.5B.-5C.6D.—6
1
3.在同一坐标系内,函数尸fQwO)和尸=公+-的图象可能是()
a
在区间________
基础巩固题组
一、选择题
1.二次函数尸一f+4x+i图象的顶点在x轴上,则[的值是()
A.-4B.4C.-2D.2
2.若aVO,则0.5\5S5一的大小关系是()
'5弋5“<。52B.5yo.5y5一“
C.0.5”V5)V5'D.5"V5一”<0.5’
3.(2015・汉中模拟)如果函数《刈=/一数一3在区间(-8,4]上单调递减,则实数w满足的条
件是()
A.a》8B.a48C.a>4D.w》一4
4若二次函数Q)="+ZW+c满足则/(xi+xj等于()
bb4ac-B
A.一—B.-~*C.cD."
2aa4〃
5..已知函数/(3=4+2公+3,xW[―4,6].
⑴当*=一2时,求《勾的最值;
⑵求实数a的取值范围,使尸=《吊在区间[—4,6]上是单调函数.
第2节指数与指数函数
1.根式:⑴概念:式子%叫做根式,其中〃叫做根指数,a叫做被开方数.
⑵性质:(gg"=a(a使<〃有意义);当〃为奇数时,母/=",
当”为偶数时,§7=|0=[
[―a,aVO.
2.分数指数嘉
⑴规定:正数的正分数指数篝的意义是「=知/(。>0,m,nCN',且〃>1);正数的负分
m1
数指数号的意义是a—-=^^(a>0,m,N,,且〃>1);0的正分数指数嘉等于。;0的
.包
负分数指数用没有意义.
⑵有理指数嘉的运算性质://=£;⑶'=式;(的三丝,其中a>0,b>0,r,s€Q.
3.指数函数的图象与性质
n>10<^<1
图象一@力二3
定义域R
值域(0,+8)
过定点(0,1),即X=O时,7=1
性质
当x>0时,y>l;当x<0时,y>l;
当x<0时,0<y<l当x>0时,0<」<1
在(-8,+8)上是增函数在(-8,+8)上是减函数
★课前练习
1.下列运算中,正确的是()
A.才•ai)2C.(yl-a—'[')o=OD.(—a2)3=~
0f)
2.(2015■山东卷)设a=0.6°”,6=0.6",c=1.5,则%b,c的大小关系是()
A.^<b<cB.5<c<bC.Z?<n<cD.b<c<n
1
3.已知04x&2,则广=4X-5—3-2A+5的最大值为.
基础巩固题组
一、选择题
1.函数侬=式2+1(心(),且门1)的图象必经过点()
A.(0,1)B.(l,1)C.(2,0)D.(2,2)
2.函数/(x)=dl—2,的定义域是()
A.(-oo,0]B.[0,+oo)C.(-oo,0)D.(—8,+oo)
3..函数y—的图象的大致形状是()
1X\
:「三
AB
4-
*
cD
1
4.若函数K吊=)2X—4|(W>0,且值1),满足中)=§,则/w的单调递减区间是()
A.(—8,2]B.[2,+oo)C.[-2,+oo)D.(-8,-2]
二、填空题
3
(16厂[54
51区)+1。际+I0g3g=---------.
6.已知函数《刈=二”(a>0,且。片1),且(一2)>«—3),则a的取值范围是.
第三节对数与对数函数
1.对数的概念
一般地,如果a(a>0,aKl)的6次号等于N,即才=N,那么数。叫作以z为底N的对数,
记作1。叱=6.其中a叫作对数的底数,N叫作真数.
2.对数的性质与运算性质
⑴对数的性质①对。沙=N;②1。&外=以心0,且片1);③零和负数没有对数.
(2)对数的运算性质(心0,且a沪1,M>Q,20)
M
®log,(M-A?)=lo&M±lo&N;②lo叼;=lo&=-lo&N;③1。&”=加每幽衣R).
⑶对数的重要公式
logJV1
①换底公式:@gW=Fr(a,6均大于零且不等于1);②1。&6=^—,推广log)log—1。蝇
-log,/
=10&^
3.对数函数的图象与性质
a>\0<^<1
XX
^y=\o^x4=1
三
图象/60)
!尸1咻4
定义域(0,+8)
值域R
过点(1,0),即x=j_时,
当x>l时,y<0;当OVxVl时,X
性质当X>1时,F>0;当0<x<l时,£<0
>0
在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是速函数
★练习
1.函数/(x)=lo&(x+2)—2缶>0,且w*l)的图象必过定点()
A.(l,0)B.(l,-2)C.(-l,-2)D.(T,-1)
2.(2015.浙江卷)计算:log停=
;210^3+10^3=
3.函数4田=10将(2才+1)的单调增区间是.
3
4.若log,]<l(a>0,且。大1),则实数a的取值范围是,
基础巩固题组
一、选择题
,<,
1.(2015•四川卷)设储6为正实数,则a>b>\^是"log2a>10取6>0”的()
A.充分必要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
2.若函数尸logXa>0,且arl)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是()
CD
3.已知6>0,1。骸=a,lgb=c,5J=10,则下列等式一定成立的是()
A.d=acB.w=cdC.c=adD.d=w+c
3
4.若log,-<1,则a的取值范围是()
AO,I33
B.+-C.1DM+oo)
5?
5.(2015•萍乡调研)函数《切=1。&(公一3)在口,3]上单调递增,则a的取值范围是()
1
A.(l,+oo)B.(0,1)C.(O,-)D.(3,+oo)
二、填空题
6.(2015-四川卷)lg0.01+10a16的值是
1
7.函数尸1。坛(八一2M的定义域是;单调递减区间是.
8.(2016・武汉调研)已知函数4期为奇函数,当x>0时,《用=1°改*,则满足不等式《切>0的
x的取值范围是.
第四讲函数图像及其应用
第1节函数的图像
1.利用描点法作函数图象:其基本步骤是列表、描点、连线.
首先:⑴确定函数的定义域,⑵化简函数解析式,⑶讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周
期性、对称性等).
其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连
线.
2.函数图象间的变换
⑴平移变换
[94)+4]
上MA>0)个单位
移
IyW+a)}左移右移
0305>0)个单瓦
下
看贴>0)个单位
I尸危TI
对于平移,往往容易出错,在实际判断中可熟记口诀:左加右减,上加下减.
⑵对称变换
关于y轴对称函数尸f(T)丽函
函
关于左轴对称函数尸毋与)而酶
数
y
=关于原点对称尸-f(T)
(X的
X轴及上方部分不变
图I函数尸巩式)1懒泉1
4轴下方部分翻折到上方I
象
峋轴左侧部分去掉、右侧不变
函数y=f(141)的图象
y轴右侧部分翻折到左侧
(3)伸缩变换
_纵坐标不变1_
了=心)各点横坐标变为原屎的-(a>0)倍了=《初.
4
尸.各点纵坐标度的A(A>0)倍尸四灯
★练习
1.(2015•广州一调)把函数尸(x—2>+2的图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位,
所得图象对应的函数解析式是()
A.y=(x—3/+3B.y=(A—3)2+1C.y=(x-1)2+3D.j/=(x-l)2+l
2.点。从点O出发,按逆时针方向沿周长为/的图形运动一周,O,。两点连线的距离了与
点夕走过的路程X的函数关系如图,那么点夕所走的图形是()
r
011X
2
尹
ABCD
3.(2016•延安调研)已知图⑴中的图象对应的函数为尸题,则图⑵中的图象对应的函数为
()
彳X7k
(1)(2)
A.y=4|x|)B.y=|XX>|C.y=/(-|x|)D.y=—4|x|)
lo&x(x>0),
4.(2015-长沙模拟)已知函数,、且关于x的方程《t)-a=0有两个实
〔2"(x<0),
根,则实数2的取值范围是________.
基础巩固题组
一、选择题
1
1.函数尸1、一[的图象是()
1
2.函数尸5'.与函数,上一不的图象关于()
A.x轴对称B.y轴对称C.原点对称D.直线尸x对称
3.已知定义在区间[0,2]上的函数尸《囚的图象如图所示,则尸一42—⑼的图象为(
4.使logj(—X><x+l成立的x的取值范围是()
A.(-l,0)0)
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