大自然数学游戏2-蜜蜂和数学

大自然的數學遊戲

系列之二蜜蜂與數學2020/12/181蜜蜂與數學

2020/12/182一個印度數學問題印度數學家婆什迦拉（Bhaskara,1114～約1185年）寫了一本數學書，叫做《麗羅娃蒂》(Lilavati)，其中有一題以蜜蜂為主角2020/12/183帶著美麗眼睛的少女──

麗羅娃蒂，請你告訴我：茉莉花開香撲鼻，誘得蜜蜂忙採蜜，熙熙攘攘不知數。全體之半平方根，飛入茉莉花園裡。總數的九分之八，徘徊園外做遊戲。另外有一隻雄蜂，循著蓮花的香味，進入花朵中被困。一隻雌蜂來救援，環繞於蓮花周圍，悲傷地飛舞低泣。問蜂群共有幾隻？2020/12/184設蜜蜂共有x

隻，根據題意列得方程式

化簡得本質上這是個一元二次方程式。

，則x=2y2。從而式子變成但不合，故因此，蜜蜂總共有72隻。x=2×62=72令解得y=6或2020/12/185蜜蜂與數學

解此題用到的變數代換的技巧非常重要，透過它使我們能夠「以簡馭繁」或穿越「表象」抓住「本質」古印度盛行運動競賽，其中有一關是解數學難題（頭腦體操）。有一本數學參考書開頭就說：能夠解出本書題目的人，將使太陽暗淡，星星失去光彩。上述蜜蜂問題就是書中的一個題目，可見在當時這是一道難題2020/12/186《麗羅娃蒂》書名由來《麗羅娃蒂》是婆什迦拉女兒的名字。占星家預測麗羅娃蒂的婚姻永遠無成，但是有一個解運的辦法。一個可漂浮在水面上的杯子，底部開一個很小的洞，水可慢慢流進，一小時後若杯子沈沒就可擺脫厄運。在一個吉日良辰施行解運時，由於好奇心，麗羅娃蒂觀看杯中水逐漸上昇，突然有一顆珍珠從她身上掉入杯子裡，恰好堵住進水口，一小時後杯子並沒有沈沒，因此麗羅娃蒂還是要面對永遠結不了婚的命運。為了安慰女兒，婆什迦拉說：「我要寫一本書，以妳的名字為書名，讓妳流芳萬世；因為好名聲是一個人的第二生命，也是不朽的基礎。」書名就是《麗羅娃蒂》2020/12/187蜜蜂簡介蜜蜂是群居性的昆蟲，嚴格施行分工合作的社會。一個蜂巢通常是由一隻后蜂、約五萬隻的工蜂以及數百隻的雄蜂組成的。受精卵會發育為雌蜂，未受精卵則為雄蜂。2020/12/1882020/12/189蜂王（后蜂）蜂王專司產卵，是蜂群共同生活中心，一群蜜蜂只有一隻蜂王，腹部長橢圓形，裡面裝滿待產的卵粒，壽命達3-5年處女王自空中婚禮交尾之後，約三天就負起產卵的使命，每天可產下1500-2000粒卵受精卵孵化出雌蜂之幼蟲，若持續餵以蜂王乳就長成蜂王2020/12/1810工蜂負責築巢、清潔、採蜜、分泌蜂王乳、守衛、餵食幼蜂等工作；蜂群中絕大部分的各體都是工蜂她們不具有生殖的能力，其產卵管也已變成螫針。若前三天餵以蜂王乳，以後餵以蜂蜜或花粉，就發育成工蜂，因此工蜂是雌蜂2020/12/1811雄蜂是蜂蜜世界中唯一的男性，后蜂所產的未受精卵就孵化為雄蜂，一群中大約有數十隻到數百隻不等腹部末端多毛沒有螫針，整天飛舞玩耍、鍛鍊肌肉，而無採集食物的能力，雄蜂唯一的任務是與蜂王交尾傳宗接代，是「小白臉」。雄蜂的食量驚人，比工蜂多吃三倍，14天已經發育成熟，可交配。但須具有充沛的體力才有成親的機會。通常雄蜂精囊中的精液，精子數量有1200-1600萬個。2020/12/1812蜜蜂的各種知識目前由蜜蜂生產而廣為利用的蜂品有蜂蜜、蜂王乳、花粉、蜂膠、蜂醋、蜂臘、蜂毒、蜂幼蛹等。蜂蜜甜甜的，蜂蜜的原料是花蜜，直接由蜜蜂採集而成。主要為提供蜜蜂活動或飛行的能量，主成份為糖類（碳水化合物）蜂王漿(乳)有點辣辣的、酸酸的，並不好喝。工蜂食用花蜜及花粉後，經過消化後，再由咽頭腺分泌出來而成蜂王漿。，而蜂王漿(乳)是蜂王生長發育所需的食物，也是使蜂王擁有每日產卵2,000個的活力，所以蜂王漿一直被人類視為營養補給的聖品工蜂採集10公斤的花蜜才能釀造出半公斤的蜂蜜，而工蜂必須出動八萬次，每次平均飛行兩公里才能採集到10公斤的花蜜。換言之，每釀造1公斤的蜂蜜，必須飛行32萬公里，大約是繞地球8圈的距離。2020/12/1813蜂舞採蜜是工蜂的工作，先派一些做偵察蜂去找蜜源。當偵察蜂發現採蜜的地點時，回巢要如何告知同伴呢？我們人類描述地點的方式有很多種，例如從日常生活用語言說明、用手明指方向、畫張地圖、給出你家的地址、說出颱風所在的經緯度，到數學上更有效的直角坐標、極坐標、柱坐標、球坐標、廣義坐標等等。蜜蜂以跳舞的方式來傳遞訊息，描述地點，基本上就是數學上的『極坐標』！偵察蜂發現蜜源，牠飛回巢就先放出氣味，並且在蜂巢表面上跳舞。基本上分成兩種舞步：圓舞與搖尾舞。2020/12/1814圓舞如果蜜源在100公尺以內，偵察蜂就跳圓舞。這表示蜜源就在附近，請同伴出去四周圍轉一下就可以找到。2020/12/1815搖尾舞如果蜜源距離蜂巢超過100公尺，則跳搖尾舞。先走一小段直線路徑，再繞半圓，回到原出發點，然後走原直線路徑，再對另一側繞半圓，如此規律地反覆交替繞半圓。在走直線路徑時，還不斷地搖擺牠的下腹，這是「搖尾舞」名稱的由來。2020/12/1816極坐標極坐標就是，為了描述平面上P

點（蜜源）的位置，於是在平面上選定一條半線（蜂巢與太陽方向之半線），叫做極軸，O

點叫做極點（蜂巢），將極軸旋轉一個角度θ，遇到P

點，，那麼P

點的極坐標就是(r,θ)。極坐標有時是直角坐標方程式難於表達的。2020/12/1817太陽、蜂巢與蜜源的位置關係圖直線路徑偏離鉛垂線右方30度，這表示蜜源在太陽方向偏右30度的方向。蜂巢與蜜源的距離由單位時間的繞圈數決定，繞越多圈表示距離越遠鳥類與魚類也有類似的行為2020/12/1818KarlvonFrisch（1886～1982）奧地利動物學家KarlvonFrisch就是專門研究蜜蜂的跳舞語言與定向而有成的人。由於對個別動物及其社會行為規律的研究有卓著的貢獻，在1973年得到諾貝爾生理學暨醫學獎2020/12/1819KarlvonFrisch（1886～1982）在1910年證明魚可以看出不同的顏色1919年發現蜜蜂透過身體的搖動來傳遞訊息在1947年發現蜜蜂利用極化光來定向他更在1967年出版《蜜蜂的跳舞語言與定向》一書（即參考資料）物理學家李政道曾說，他喜讀各種雜書，其中Frisch的這本名著就是他覺得特別有趣的一本。2020/12/1820蜂巢巢房是用蜂蠟造成的，是由工蜂腹部的蠟腺分泌而出，須由工蜂吃下三至四公斤的蜂蜜，才能產生半公斤的的蜂蠟。蜂巢做為后蜂產卵、育幼，以及存放蜂蜜、花粉的儲藏室。從正面看起來，蜂巢是由許多正六邊形的中空柱狀儲藏室連結而成2020/12/1821蜂巢從整個立體的蜂巢來看，它具有左右（或前後）兩側的儲藏室．其截面如圖2020/12/1822蜂巢圖是一個柱狀的蜂巢儲藏室，其底部是由三個全等的菱形面ASBR、ASCQ與PBSC

所組成。2020/12/1823蜂巢為何是正六邊形？底邊為何是三個全等的菱形面組成？2020/12/1824為何是正六邊形？在平面上，要用固定長的線段圍成一塊封閉的領域，使其面積為最大，問應如何圍法？正確的答案：圓。不過，要等到兩千多年後的十九世紀，透過變分學(calculusofvariation)的研究，才有真正嚴格的證明。※西元1943年，匈牙利數學家陶斯地證明，在所有首尾相連的正多邊形中，正多邊形的周長是最小的。2020/12/1825為何是正六邊形？正多邊形能為成平面的只有正三邊形、正四邊形，正六邊形邊數越多，越接近圓形，表示可用最少的材料（周長）創造出最大的空間（面積），所以正六邊形就成為最佳的選擇。2020/12/1826底邊為何是三個全等的菱形面組成？蜂巢的一個儲藏室，它是中空的正六角形柱，而底部是由三個菱形面組成，交會於底部中心頂點S

2020/12/1827底邊為何是三個全等的菱形面組成？1712年，巴黎天文觀測所的天文學家馬若迪，他實際度量菱形的角度，得到的結果是70°32'與109°28'，並且相信蜜蜂是根據單純與數學美兩個原理來築巢2020/12/1828底邊為何是三個全等的菱形面組成？馬若迪的結果引起法國著名的博物學家黎曼的興趣，他猜測蜜蜂選擇這兩個角度一定是有原因的，因此，黎曼就去請教瑞士年輕的數學家庫寧，題目如下：給定正六角形柱，底部由三個全等的菱形作成，問應如何做會最節省材料？沒有透露這個問題是由蜂巢引起的2020/12/1829底邊為何是三個全等的菱形面組成？庫寧算得的結果為70°34“與109°26”，與蜂巢實際的角度僅相差2“。2020/12/1830底邊為何是三個全等的菱形面組成？庫寧的結果支持了蜜蜂是按「最經濟原理」來行事。庫寧利用微分法解決上述的極值問題，他說：「蜜蜂所解決的問題，超越古典幾何的能力範圍，而必須用到Newton與Leibniz的微積分。」一般認為蜜蜂只是按照天生自然與造物者的指示，「不知亦能行」地（盲目地）使用高等數學而已。後來經過的重算，發現蜜蜂是對的，而庫寧所犯的小錯是出在計算時，所使用的數值表印錯了一個數字。2020/12/1831蜜蜂的故事－1在《伊索寓言》一書中，有一則「蜜蜂與宙斯」的故事:「蜜蜂看到自己辛苦採來的蜜被人偷走，感到很氣憤，就到天神宙斯(Zeus)那裡，請求給予一種能力，能夠懲罰接近蜂巢的人。宙斯對蜜蜂這種惡毒心理非常不高興，於是就賦予蜜蜂螫人之針，但是針連著腸子並且有倒鉤，使得蜜蜂刺人一次，腸子就被拉出來，因而喪命。」2020/12/1832蜜蜂的故事－2台灣也有類似的故事：「蜜蜂向觀世音請求給予自衛武器，起先觀世音不同意，生怕蜜蜂胡亂攻擊人。於是蜜蜂發誓，非到不得已的緊要關頭不會螫人，並且只要螫人一次，自己也願意付出生命的代價。觀世音同意，因此賦予連腸螫針。」2020/12/1833結論蜂蜜是人們自古以來最早享用的甜食，古時候的中國人形容蜂蜜是日月及大地孕育的百花精華，古埃及人把蜂蜜當成最貴重的貢品，獻給他們最崇敬的王。聖經裡提到，上帝將給以色列人一個「流著奶與蜜」的地方，可見蜜蜂在古人（或上帝）心目中占有