2017-2018学年高三数学上学期期末复习备考黄金30题专题02大题好拿分（基础版20题）版

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE47学必求其心得，业必贵于专精专题02大题好拿分(基础版，20题）一、解答题1．已知函数部分图象如图所示。（1)求函数的解析式；（2）当时，求函数的值域。【答案】（1）（2)(2）,10分因为，故，则,即,所以函数的值域为．14分考点:三角函数解析式,三角函数性质2．设函数,的两个极值点为，线段的中点为.（1）如果函数为奇函数，求实数的值;当时,求函数图象的对称中心；（2）如果点在第四象限,求实数的范围；(3）证明:点也在函数的图象上,且为函数图象的对称中心.【答案】（1）函数图象的对称中心为（1，0）.（2）或.（3）由（2）得点，推出点也在函数的图象上.设为函数的图象上任意一点，求得关于的对称点为证明在函数的图像上.证得为函数的对称中心.（3)由（2）得点，又=，所以点也在函数的图象上.12分设为函数的图象上任意一点，关于的对称点为而=.即在函数的图像上。所以，为函数的对称中心.16分【法二】设。为奇函数,对称中心为.把函数的图象按向量平移后得的图象，为函数的对称中心。16分考点：本题主要考查函数的奇偶性，函数图象的对称性。点评:中档题，本题解法较多，紧紧围绕函数图象的对称性展开讨论。奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称。3．如图，在半径为、圆心角为的扇形金属材料中剪出一个长方形,并且与的平分线平行,设．(1）试写出用表示长方形的面积的函数；（2）在余下的边角料中在剪出两个圆（如图所示）,试问当矩形的面积最大时,能否由这个矩形和两个圆组成一个有上下底面的圆柱？如果可能，求出此时圆柱的体积．【答案】（1）(2）.另一方面,如图所示，设圆与边切于点，连结，.设两小圆的半径为，则,且,从而所以，因，所以能作出满足条件的两个圆。此时圆柱的体积.……………16分考点：本题主要考查三角函数模型，圆柱的体积计算,三角函数倍半公式。点评：中档题，结合图形特征，利用直角三角形中的边角关系，建立函数模型。确定函数最值过程中,可利用导数。4．如图，单位圆（半径为的圆)的圆心为坐标原点，单位圆与轴的正半轴交于点，与钝角的终边交于点，设.角终边角终边(1)用表示;(2)如果,求点的坐标；（3）求的最小值。【答案】(1).（2）;（3)最小值为。【法二】为钝角，,，,，的最小值为14分考点:本题主要考查单位圆，三角函数定义，三角函数同角公式，辅助角公式.点评：中档题，结合单位圆及三角函数定义，得出，进一步求点的坐标等。5．在学校开展的综合实践活动中,某班进行了小制作评比,作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按照5天一组分组统计,绘制了频率分布直方图（如图所示).已知从左到右各长方形的高的比为2：3：4:6：4:1，第三组的频数为12，请解答下列各题。（1)本次活动共有多少件作品参加评比？(2)哪组上交的作品数量最多?有多少件?（3)经过评比,第四组和第六组分别有10件､2件作品获奖，问这两组哪一组获奖率较高?【答案】（1）60（2）四18（3)第六组获奖率较高。6．已知函数,其中(1）当时，求函数在上的值域；(2)若函数在上的最小值为3，求实数的取值范围.【答案】(1）;(2）。(2）方法一：①当时，，函数在区间单调递增所以即(舍）②当时,，函数在区间单调递减所以符合题意③当时，当时，区间在单调递减方法二:①当时，,函数在区间单调递减所以符合题意…………8分②当时,，函数在区间单调递增所以不符合题意③当时，当时，区间在单调递减当时，区间在单调递增所以不符合题意综上所述：实数取值范围为7．（2015秋•扬州期末）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D、E分别为BC、CC1中点，BC1⊥B1D．（1)求证:DE∥平面ABC1；（2)求证:平面AB1D⊥平面ABC1．【答案】见解析考点:平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．8．若数列中不超过的项数恰为()，则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数.(1）已知，且，写出、、；(2）已知,且，求的前项和;(3）已知，且()，若数列中，，,是公差为（)的等差数列,且，求的值及的值【答案】（1)（2)(3），或再由得，为正整数，最后代入验证得,因此，最后由得，经验证得或．试题解析:解：(1），则；，则，,则,（2）为偶数时，则，则;为奇数时，则，则；为偶数时，则；为奇数时，则；由得，为正整数,当时,,不合题意，舍去；当时，,不合题意,舍去；当时，无解当时,无解当时,当时，无解或综上：，或．考点：新定义9．已知函数（)，其中是自然对数的底数.（1)当时，求的极值；（2）若在上是单调增函数，求的取值范围；(3）当时，求整数的所有值，使方程在上有解。【答案】（1），(2)（3）试题解析：解:（1），则令，00增极大值减极小值增，（2）问题转化为在上恒成立；又即在上恒成立；,对称轴①当，即时，在上单调增,在上单调减，在上单调增又由零点的存在性定理可知：即．考点:利用导数求函数极值，利用导数研究函数单调性,利用导数研究函数零点10．已知函数（）的周期为。（1）当时，求函数的值域;(2）已知的内角,，对应的边分别为，，，若,且，，求的面积。【答案】（1）（2)试题解析：解：（1）的周期为，且，，解得又,得，,即函数在上的值域为．（2）由，知,解得:，所以由余弦定理知：，即,因为，所以∴．考点：降幂公式、二倍角公式、配角公式，余弦定理11．已知数列满足，．(1）求证：；(2）求证：当时，．【答案】（1）详见解析(2）详见解析（2）用数学归纳法加以证明：①当时，，所以当时,结论成立．②假设当时，结论成立，即,则时，，由可知，，即．所以当时，结论也成立．综合①②可得，当时，．考点：数学归纳法12．如图,在直三棱柱中,底面是直角三角形，，点是棱上一点,满足．（1）若，求直线与平面所成角的正弦值;（2）若二面角的正弦值为,求的值．【答案】（1）（2）的值为（2）设平面的法向量为，，由得不妨取，则,所以平面的法向量为．则，又因为二面角的正弦值为,所以,化简得，解得或(舍去）,故的值为．考点：利用空间向量求线面角，利用空间向量研究二面角，13．如图,在四棱锥中，已知底面为矩形，平面,点为棱的中点，求证：（1）平面；（2）平面平面．【答案】(1）详见解析（2)详见解析OPABOPABCDE考点：线面平行判定定理,线面垂直的判定及性质定理14．的内角所对的边分别为，向量与平行．（1）求;（2）若，求的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）。视频15．已知函数.（1）若f(x）的图象与g（x）的图象所在两条曲线的一个公共点在y轴上，且在该点处两条曲线的切线互相垂直，求b和c的值。(2)若a＝c＝1，b＝0，试比较f（x）与g（x）的大小，并说明理由；（3)若b＝c＝0，证明：对任意给定的正数a,总存在正数m，使得当x时，恒有f（x）＞g（x)成立。【答案】（1)(2）当时，；当时，；当时,．（3）详见解析试题解析：（1）解:,，，,，2分依题意:，所以;4分（2)解：，时，，5分①时，,，即②时，,，即③时，令,则.设,则,当时，单调递减;当时,单调递增。所以当时，取得极小值,且极小值为即恒成立，故在上单调递增，又，因此,当时，,即.9分综上，当时，；当时，;当时,．10分（3)证法二：设，则，当时，，单调减,当时，，单调增,故在上有最小值，，12分①若，则在上恒成立，即当时，存在,使当时，恒有；②若，存在，使当时,恒有;③若，同证明一的②，15分综上可得，对任意给定的正数，总存在，当时,恒有。16分考点：导数几何意义，利用导数研究不等式16．如图，某商业中心O有通往正东方向和北偏东30º方向的两条街道,某公园P位于商业中心北偏东角(）,且与商业中心O的距离为公里处，现要经过公园P修一条直路分别与两条街道交汇于A，B两处。（1）当AB沿正北方向时，试求商业中心到A，B两处的距离和；（2)若要使商业中心O到A，B两处的距离和最短，请确定A，B的最佳位置.【答案】（1）13.5km．(2）商业中心到A、B两处的距离和最短为9km，此时OA=6km，OB=3km,其中，或．利用导数可得当时,有极小值也是最小值为9km；此时OA=6km，OB=3km，试题解析:（2)方法1：当AB与轴不垂直时,设AB：，①令,得；由题意，直线OB的方程为，②解①②联立的方程组，得,∴，∴，由，，得，或．11分，令，得，当时，,是减函数；当时,，是增函数，∴当时，有极小值为9km；当时,，是减函数，结合(1）知km．综上所述，商业中心到A、B两处的距离和最短为9km，此时OA=6km，OB=3km，同理在△PMB中，，得，,13分当且仅当即即时取等号．方法3：若设点，则AB:，得，∴,13分当且仅当即时取等号．方法4：设，AB：,得,考点:函数解析式，利用导数求最值17．如图，A，B，C是椭圆M：上的三点，其中点A是椭圆的右顶点,BC过椭圆M的中心，且满足AC⊥BC，BC＝2AC。（1）求椭圆的离心率；(2)若y轴被△ABC的外接圆所截得弦长为9，求椭圆方程。【答案】(1）（2）【解析】试题分析：（1）确定△OAC是以角C为直角的等腰直角三角形，可得点的坐标，代入椭圆方程，可得a，b的关系，即可求椭圆的离心率；（2)求出△ABC的外接圆的方程，由垂径定理得,求出a，可得b，即可求椭圆方程试题解析：（1）因为过椭圆的中心，所以,又，所以是以角为直角的等腰直角三角形，则,所以,则，所以；（2）的外接圆圆心为中点，半径为，则的外接圆为：令，或，所以，得，（也可以由垂径定理得，得)所以所求的椭圆方程为．考点：椭圆方程及性质18．在三棱锥P﹣ABC中，D为AB的中点．（1）与BC平行的平面PDE交AC于点E,判断点E在AC上的位置并说明理由如下：（2）若PA=PB，且△PCD为锐角三角形，又平面PCD⊥平面ABC，求证：AB⊥PC．【答案】（1）为中点（2)详见解析在△ABC中，因为D为AB的中点，所以E为AC中点；考点:平面与平面垂直的判定．19．（本题满分16分）数列，，满足：，，．（1）若数列是等差数列，求证:数列是等差数列；（2）若数列，都是等差数列，求证：数列从第二项起为等差数列；(3）若数列是等差数列,试判断当时，数列是否成等差数列？证明你的结论．【答案】（1）详见解析(2)详见解析（3）数列成等差数列．试题解析：证明:（1）设数列的公差为，∵，∴，∴数列是公差为的等差数列．4分（2）当时，，∵，∴，∴,∴，∵数列，都是等差数列，∴为常数,∴数列从第二项起为等差数列．10分∴，12分令，得，∵，∴,∴，∴，∴，∴数列(）是公差为的等差数列,14分∵,令，，即，∴数列是公差为的等差数列．16分解法2∵，，令，，即，12分∴，,∴,∵数列是等差数列,∴，∴，14分∵,∴,∴数列是等差数列．16分考点：等差数列定义20．（本小题满分1