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文档简介
2023高考数学模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设全集,集合,,则()A. B. C. D.2.如图,圆锥底面半径为,体积为,、是底面圆的两条互相垂直的直径,是母线的中点,已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离等于()A. B.1 C. D.3.()A. B. C. D.4.某工厂只生产口罩、抽纸和棉签,如图是该工厂年至年各产量的百分比堆积图(例如:年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占、、),根据该图,以下结论一定正确的是()A.年该工厂的棉签产量最少B.这三年中每年抽纸的产量相差不明显C.三年累计下来产量最多的是口罩D.口罩的产量逐年增加5.已知点P不在直线l、m上,则“过点P可以作无数个平面,使得直线l、m都与这些平面平行”是“直线l、m互相平行”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.在复平面内,复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.已知等式成立,则()A.0 B.5 C.7 D.138.费马素数是法国大数学家费马命名的,形如的素数(如:)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是()A. B. C. D.9.已知复数z满足,则z的虚部为()A. B.i C.–1 D.110.已知是双曲线的左、右焦点,是的左、右顶点,点在过且斜率为的直线上,为等腰三角形,,则的渐近线方程为()A. B. C. D.11.设集合,集合,则=()A. B. C. D.R12.设正项等比数列的前n项和为,若,,则公比()A. B.4 C. D.2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在的展开式中,所有的奇数次幂项的系数和为-64,则实数的值为__________.14.设(其中为自然对数的底数),,若函数恰有4个不同的零点,则实数的取值范围为________.15.在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数).(1)求直线和曲线的普通方程;(2)设为曲线上的动点,求点到直线距离的最小值及此时点的坐标.16.某高校组织学生辩论赛,六位评委为选手成绩打出分数的茎叶图如图所示,若去掉一个最高分,去掉一个最低分,则所剩数据的平均数与中位数的差为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,为实数,且.(Ⅰ)当时,求的单调区间和极值;(Ⅱ)求函数在区间,上的值域(其中为自然对数的底数).18.(12分)若数列满足:对于任意,均为数列中的项,则称数列为“数列”.(1)若数列的前项和,,试判断数列是否为“数列”?说明理由;(2)若公差为的等差数列为“数列”,求的取值范围;(3)若数列为“数列”,,且对于任意,均有,求数列的通项公式.19.(12分)已知函数.(1)若在处取得极值,求的值;(2)求在区间上的最小值;(3)在(1)的条件下,若,求证:当时,恒有成立.20.(12分)已知集合,.(1)若,则;(2)若,求实数的取值范围.21.(12分)已知函数,.(1)讨论的单调性;(2)当时,证明:.22.(10分)设函数().(1)讨论函数的单调性;(2)若关于x的方程有唯一的实数解,求a的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
可解出集合,然后进行补集、交集的运算即可.【详解】,,则,因此,.故选:B.【点睛】本题考查补集和交集的运算,涉及一元二次不等式的求解,考查运算求解能力,属于基础题.2.D【解析】
建立平面直角坐标系,求得抛物线的轨迹方程,解直角三角形求得抛物线的焦点到圆锥顶点的距离.【详解】将抛物线放入坐标系,如图所示,∵,,,∴,设抛物线,代入点,可得∴焦点为,即焦点为中点,设焦点为,,,∴.故选:D【点睛】本小题考查圆锥曲线的概念,抛物线的性质,两点间的距离等基础知识;考查运算求解能力,空间想象能力,推理论证能力,应用意识.3.B【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】.故选B.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.4.C【解析】
根据该厂每年产量未知可判断A、B、D选项的正误,根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C选项的正误.综合可得出结论.【详解】由于该工厂年至年的产量未知,所以,从年至年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法比较,故A、B、D选项错误;由堆积图可知,从年至年,该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的,则三年累计下来产量最多的是口罩,C选项正确.故选:C.【点睛】本题考查堆积图的应用,考查数据处理能力,属于基础题.5.C【解析】
根据直线和平面平行的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】点不在直线、上,若直线、互相平行,则过点可以作无数个平面,使得直线、都与这些平面平行,即必要性成立,若过点可以作无数个平面,使得直线、都与这些平面平行,则直线、互相平行成立,反证法证明如下:若直线、互相不平行,则,异面或相交,则过点只能作一个平面同时和两条直线平行,则与条件矛盾,即充分性成立则“过点可以作无数个平面,使得直线、都与这些平面平行”是“直线、互相平行”的充要条件,故选:.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键.6.B【解析】
化简复数为的形式,然后判断复数的对应点所在象限,即可求得答案.【详解】对应的点的坐标为在第二象限故选:B.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的代数表示法及其几何意义,属于基础题.7.D【解析】
根据等式和特征和所求代数式的值的特征用特殊值法进行求解即可.【详解】由可知:令,得;令,得;令,得,得,,而,所以.故选:D【点睛】本题考查了二项式定理的应用,考查了特殊值代入法,考查了数学运算能力.8.B【解析】
基本事件总数,能表示为两个不同费马素数的和只有,,,共有个,根据古典概型求出概率.【详解】在不超过的正偶数中随机选取一数,基本事件总数能表示为两个不同费马素数的和的只有,,,共有个则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是本题正确选项:【点睛】本题考查概率的求法,考查列举法解决古典概型问题,是基础题.9.C【解析】
利用复数的四则运算可得,即可得答案.【详解】∵,∴,∴,∴复数的虚部为.故选:C.【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部概念,考查运算求解能力,属于基础题.10.D【解析】
根据为等腰三角形,可求出点P的坐标,又由的斜率为可得出关系,即可求出渐近线斜率得解.【详解】如图,因为为等腰三角形,,所以,,,又,,解得,所以双曲线的渐近线方程为,故选:D【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质,属于中档题.11.D【解析】试题分析:由题,,,选D考点:集合的运算12.D【解析】
由得,又,两式相除即可解出.【详解】解:由得,又,∴,∴,或,又正项等比数列得,∴,故选:D.【点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.3或-1【解析】
设,分别令、,两式相减即可得,即可得解.【详解】设,令,则①,令,则②,则①-②得,则,解得或.故答案为:3或-1.【点睛】本题考查了二项式定理的应用,考查了运算能力,属于中档题.14.【解析】
求函数,研究函数的单调性和极值,作出函数的图象,设,若函数恰有4个零点,则等价为函数有两个零点,满足或,利用一元二次函数根的分布进行求解即可.【详解】当时,,由得:,解得,由得:,解得,即当时,函数取得极大值,同时也是最大值,(e),当,,当,,作出函数的图象如图,设,由图象知,当或,方程有一个根,当或时,方程有2个根,当时,方程有3个根,则,等价为,当时,,若函数恰有4个零点,则等价为函数有两个零点,满足或,则,即(1)解得:,故答案为:【点睛】本题主要考查函数与方程的应用,利用换元法进行转化一元二次函数根的分布以及.求的导数,研究函数的的单调性和极值是解决本题的关键,属于难题.15.(1),;(2),.【解析】
(1)利用代入消参的方法即可将两个参数方程转化为普通方程;(2)利用参数方程,结合点到直线的距离公式,将问题转化为求解二次函数最值的问题,即可求得.【详解】(1)直线的普通方程为.在曲线的参数方程中,,所以曲线的普通方程为.(2)设点.点到直线的距离.当时,,所以点到直线的距离的最小值为.此时点的坐标为.【点睛】本题考查将参数方程转化为普通方程,以及利用参数方程求距离的最值问题,属中档题.16.【解析】
先根据茎叶图求出平均数和中位数,然后可得结果.【详解】剩下的四个数为83,85,87,95,且这四个数的平均数,这四个数的中位数为,则所剩数据的平均数与中位数的差为.【点睛】本题主要考查茎叶图的识别和统计量的计算,侧重考查数据分析和数学运算的核心素养.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(Ⅰ)极大值0,没有极小值;函数的递增区间,递减区间,(Ⅱ)见解析【解析】
(Ⅰ)由,令,得增区间为,令,得减区间为,所以有极大值,无极小值;(Ⅱ)由,分,和三种情况,考虑函数在区间上的值域,即可得到本题答案.【详解】当时,,,当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,故当时,函数取得极大值,没有极小值;函数的增区间为,减区间为,,当时,,在上单调递增,即函数的值域为;当时,,在上单调递减,即函数的值域为;当时,易得时,,在上单调递增,时,,在上单调递减,故当时,函数取得最大值,最小值为,中最小的,当时,,最小值;当,,最小值;综上,当时,函数的值域为,当时,函数的值域,当时,函数的值域为,当时,函数的值域为.【点睛】本题主要考查利用导数求单调区间和极值,以及利用导数研究含参函数在给定区间的值域,考查学生的运算求解能力,体现了分类讨论的数学思想.18.(1)不是,见解析(2)(3)【解析】
(1)利用递推关系求出数列的通项公式,进一步验证时,是否为数列中的项,即可得答案;(2)由题意得,再对公差进行分类讨论,即可得答案;(3)由题意得数列为等差数列,设数列的公差为,再根据不等式得到公差的值,即可得答案;【详解】(1)当时,又,所以.所以当时,,而,所以时,不是数列中的项,故数列不是为“数列”(2)因为数列是公差为的等差数列,所以.因为数列为“数列”所以任意,存在,使得,即有.①若,则只需,使得,从而得是数列中的项.②若,则.此时,当时,不为正整数,所以不符合题意.综上,.(3)由题意,所以,又因为,且数列为“数列”,所以,即,所以数列为等差数列.设数列的公差为,则有,由,得,整理得,①.②若,取正整数,则当时,,与①式对应任意恒成立相矛盾,因此.同样根据②式可得,所以.又,所以.经检验当时,①②两式对应任意恒成立,所以数列的通项公式为.【点睛】本题考查数列新定义题、等差数列的通项公式,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,难度较大.19.(1)2;(2);(3)证明见解析【解析】
(1)先求出函数的定义域和导数,由已知函数在处取得极值,得到,即可求解的值;(2)由(1)得,定义域为,分,和三种情况讨论,分别求得函数的最小值,即可得到结论;(3)由,得到,把,只需证,构造新函数,利用导数求得函数的单调性与最值,即可求解.【详解】(1)由,定义域为,则,因为函数在处取得极值,所以,即,解得,经检验,满足题意,所以.(2)由(1)得,定义域为,当时,有,在区间上单调递增,最小值为,当时,由得,且,当时,,单调递减;当时,,单调递增;所以在区间上单调递增,最小值为,当时,则,当时,,单调递减;当时,,单调递增;所以在处取得最小值,综上可得:当时,在区间上的最小值为1,当时,在区间上的最小值为.(3)由得,当时,,则,欲证,只需证,即证,即,设,则,当时,,在区间上单调递增,当时,,即,故,即当时,恒有成立.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,以及不等式的证明,着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力,对于此类问题,通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.20.(1);(2)【解析】
(1)将代入可得集合B,解对数不等式可得集合A,由并集运算即可得解.(2)由可知B为A的子集,即;当符合题意,当B不为空集时,由不等式关系即可求得的取值范围.【详解】(1)若,则,依题意,故;(2)因为,故;若,即时,,符合题意;若,即时,,解得;综上所述,实数的取值范围为.【点睛】本题考查了集合的并集运算,由集合的包含关系求参数的取值范围,注意讨论集合是否为空集的情况,属于基础题.21.(1)见解析;(2)见解析【解析】
(1)求导得,分类讨论和,利用
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