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文档简介
2023高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.某几何体的三视图如图所示,图中圆的半径为1,等腰三角形的腰长为3,则该几何体表面积为()A. B. C. D.2.若函数为自然对数的底数)在区间上不是单调函数,则实数的取值范围是()A. B. C. D.3.已知、分别是双曲线的左、右焦点,过作双曲线的一条渐近线的垂线,分别交两条渐近线于点、,过点作轴的垂线,垂足恰为,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.4.设a,b都是不等于1的正数,则“”是“”的()A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件5.已知点为双曲线的右焦点,直线与双曲线交于A,B两点,若,则的面积为()A. B. C. D.6.设,满足约束条件,则的最大值是()A. B. C. D.7.若复数,则()A. B. C. D.208.已知排球发球考试规则:每位考生最多可发球三次,若发球成功,则停止发球,否则一直发到次结束为止.某考生一次发球成功的概率为,发球次数为,若的数学期望,则的取值范围为()A. B. C. D.9.已知函数是上的偶函数,且当时,函数是单调递减函数,则,,的大小关系是()A. B.C. D.10.已知等差数列满足,公差,且成等比数列,则A.1 B.2 C.3 D.411.欧拉公式为,(虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,表示的复数位于复平面中的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.已知函数,为图象的对称中心,若图象上相邻两个极值点,满足,则下列区间中存在极值点的是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.某高中共有1800人,其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列,现用分层抽样的方法从中抽取60人,那么高二年级被抽取的人数为________.14.若满足约束条件,则的最大值为__________.15.的展开式中,常数项为______;系数最大的项是______.16.正方形的边长为2,圆内切于正方形,为圆的一条动直径,点为正方形边界上任一点,则的取值范围是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)椭圆:的左、右焦点分别是,,离心率为,左、右顶点分别为,.过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.(1)求椭圆的标准方程;(2)经过点的直线与椭圆相交于不同的两点、(不与点、重合),直线与直线相交于点,求证:、、三点共线.18.(12分)已知函数(1)解不等式;(2)若均为正实数,且满足,为的最小值,求证:.19.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知平行于x轴的动直线l交抛物线C:于点P,点F为C的焦点.圆心不在y轴上的圆M与直线l,PF,x轴都相切,设M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)若直线与曲线E相切于点,过Q且垂直于的直线为,直线,分别与y轴相交于点A,当线段AB的长度最小时,求s的值.20.(12分)在中,、、的对应边分别为、、,已知,,.(1)求;(2)设为中点,求的长.21.(12分)设函数,.(1)求函数的极值;(2)对任意,都有,求实数a的取值范围.22.(10分)在四棱锥中,底面为直角梯形,,面.(1)在线段上是否存在点,使面,说明理由;(2)求二面角的余弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
几何体是由一个圆锥和半球组成,其中半球的半径为1,圆锥的母线长为3,底面半径为1,计算得到答案.【详解】几何体是由一个圆锥和半球组成,其中半球的半径为1,圆锥的母线长为3,底面半径为1,故几何体的表面积为.故选:.【点睛】本题考查了根据三视图求表面积,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.2.B【解析】
求得的导函数,由此构造函数,根据题意可知在上有变号零点.由此令,利用分离常数法结合换元法,求得的取值范围.【详解】,设,要使在区间上不是单调函数,即在上有变号零点,令,则,令,则问题即在上有零点,由于在上递增,所以的取值范围是.故选:B【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查方程零点问题的求解策略,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.3.B【解析】
设点位于第二象限,可求得点的坐标,再由直线与直线垂直,转化为两直线斜率之积为可得出的值,进而可求得双曲线的离心率.【详解】设点位于第二象限,由于轴,则点的横坐标为,纵坐标为,即点,由题意可知,直线与直线垂直,,,因此,双曲线的离心率为.故选:B.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算,解答的关键就是得出、、的等量关系,考查计算能力,属于中等题.4.C【解析】
根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b的范围,再利用充分必要条件的定义判断即可.【详解】由“”,得,得或或,即或或,由,得,故“”是“”的必要不充分条件,故选C.【点睛】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法,考查指数,对数不等式的解法,是基础题.5.D【解析】
设双曲线C的左焦点为,连接,由对称性可知四边形是平行四边形,设,得,求出的值,即得解.【详解】设双曲线C的左焦点为,连接,由对称性可知四边形是平行四边形,所以,.设,则,又.故,所以.故选:D【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质,考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.D【解析】
作出不等式对应的平面区域,由目标函数的几何意义,通过平移即可求z的最大值.【详解】作出不等式组的可行域,如图阴影部分,作直线:在可行域内平移当过点时,取得最大值.由得:,故选:D【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法,属于基础题.7.B【解析】
化简得到,再计算模长得到答案.【详解】,故.故选:.【点睛】本题考查了复数的运算,复数的模,意在考查学生的计算能力.8.A【解析】
根据题意,分别求出再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可【详解】由题可知,,,则解得,由可得,答案选A【点睛】本题考查离散型随机变量期望的求解,易错点为第三次发球分为两种情况:三次都不成功、第三次成功9.D【解析】
利用对数函数的单调性可得,再根据的单调性和奇偶性可得正确的选项.【详解】因为,,故.又,故.因为当时,函数是单调递减函数,所以.因为为偶函数,故,所以.故选:D.【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用,比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系,本题属于中档题.10.D【解析】
先用公差表示出,结合等比数列求出.【详解】,因为成等比数列,所以,解得.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题,化归基本量,寻求等量关系是求解的关键.11.A【解析】
计算,得到答案.【详解】根据题意,故,表示的复数在第一象限.故选:.【点睛】本题考查了复数的计算,意在考查学生的计算能力和理解能力.12.A【解析】
结合已知可知,可求,进而可求,代入,结合,可求,即可判断.【详解】图象上相邻两个极值点,满足,即,,,且,,,,,,当时,为函数的一个极小值点,而.故选:.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象及性质的简单应用,解题的关键是性质的灵活应用.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
由三个年级人数成等差数列和总人数可求得高二年级共有人,根据抽样比可求得结果.【详解】设高一、高二、高三人数分别为,则且,解得:,用分层抽样的方法抽取人,那么高二年级被抽取的人数为人.故答案为:.【点睛】本题考查分层抽样问题的求解,涉及到等差数列的相关知识,属于基础题.14.4【解析】
作出可行域如图所示:由,解得.目标函数,即为,平移斜率为-1的直线,经过点时,.15.【解析】
求出二项展开式的通项,令指数为零,求出参数的值,代入可得出展开式中的常数项;求出项的系数,利用作商法可求出系数最大的项.【详解】的展开式的通项为,令,得,所以,展开式中的常数项为;令,令,即,解得,,,因此,展开式中系数最大的项为.故答案为:;.【点睛】本题考查二项展开式中常数项的求解,同时也考查了系数最大项的求解,涉及展开式通项的应用,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.16.【解析】
根据向量关系表示,只需求出的取值范围即可得解.【详解】由题可得:,故答案为:【点睛】此题考查求平面向量数量积的取值范围,涉及基本运算,关键在于恰当地对向量进行转换,便于计算解题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)见解析【解析】
(1)根据已知可得,结合离心率和关系,即可求出椭圆的标准方程;(2)斜率不为零,设的方程为,与椭圆方程联立,消去,得到纵坐标关系,求出方程,令求出坐标,要证、、三点共线,只需证,将分子用纵坐标表示,即可证明结论.【详解】(1)由于,将代入椭圆方程,得,由题意知,即.又,所以,.所以椭圆的方程为.(2)解法一:依题意直线斜率不为0,设的方程为,联立方程,消去得,由题意,得恒成立,设,,所以,直线的方程为.令,得.又因为,,则直线,的斜率分别为,,所以.上式中的分子,.所以,,三点共线.解法二:当直线的斜率不存在时,由题意,得的方程为,代入椭圆的方程,得,,直线的方程为.则,,,所以,即,,三点共线.当直线的斜率存在时,设的方程为,,,联立方程消去,得.由题意,得恒成立,故,.直线的方程为.令,得.又因为,,则直线,的斜率分别为,,所以.上式中的分子所以.所以,,三点共线.【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系,要熟练掌握根与系数关系,设而不求方法解决相交弦问题,考查计算求解能力,属于中档题.18.(1)或(2)证明见解析【解析】
(1)将写成分段函数的形式,由此求得不等式的解集.(2)由(1)求得最小值,由此利用基本不等式,证得不等式成立.【详解】(1)当时,恒成立,解得;当时,由,解得;当时,由解得所以的解集为或(2)由(1)可求得最小值为,即因为均为正实数,且(当且仅当时,取“”)所以,即.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的求法,考查利用基本不等式证明不等式,属于中档题.19.(1),(2).【解析】
根据题意设,可得PF的方程,根据距离即可求出;点Q处的切线的斜率存在,由对称性不妨设,根据导数的几何意义和斜率公式,求,并构造函数,利用导数求出函数的最值.【详解】因为抛物线C的方程为,所以F的坐标为,设,因为圆M与x轴、直线l都相切,l平行于x轴,所以圆M的半径为,点,则直线PF的方程为,即,所以,又m,,所以,即,所以E的方程为,,设,,,由知,点Q处的切线的斜率存在,由对称性不妨设,由,所以,,所以,,所以,.令,,则,由得,由得,所以在区间单调递减,在单调递增,所以当时,取得极小值也是最小值,即AB取得最小值此时.【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系,以及利用导数求函数最值的关系,考查了运算能力和转化能力,属于难题.20.(1);(2).【解析】
(1)直接根据特殊角的三角函数值求出,结合正弦定理求出;(2)结合第一问的结论以及余弦定理即可求解.【详解】解:(1)∵,且,∴,由正弦定理,∴,∵∴锐角,∴(2)∵,∴∴∴在中,由余弦定理得∴【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用.考查了学生对三角函数基础知识的综合运用.21.(1)当时,无极值;当时,极小值为;(2).【解析】
(1)求导,对参数进行分类讨论,即可容易求得函数的极值;(2)构造函数,两次求导,根据函数单调性,由恒成立问题求参数范围即可.【详解】(1)依题,当时,,函数在上单调递增,此时函数无极值;当时,令,得,令,得所以函数在上单调递增,在上单调递减.此时函数有极小值,且极小值为.综上:当时,函数无极值;当时,函数有极小值,极小值为.(2)令易得且,令所以,因为,,从而,所以,在上单调递增.又若,则所以在上单调递增,从而,所以时满足题意.若,所以,,在中,令,由(1)的单调性可知,有最小值,从而.所以所以,由零点存在性定理:,使且在上单调递减,在上单调递增.所以当时,.故当,不成立.综上所述:的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数研究含参函数的极值,涉及由恒成立问题求参数范围的问题,属压轴题.22.(1)存在;详见解析(2)【解析】
(1)利用面面平行的性质定理可得,为上靠近点的三等分点,
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