湘教版九年级数学下册第1章二次函数

第1章二次函数1.1二次函数1.一元二次方程的一般形式是什么？2.一次函数、正比例函数的定义是什么？

请用适当的函数关系式表示下列问题情境中的两个变量y与x之间的关系：（1）圆的面积y(

)与圆的半径x(cm);（2）某商店1月的利润是2万元，2、3月利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为x，3月份的利润为y;合作学习探索新知（3）一个温室的平面图如图,温室外围是一个矩形，周长为120m，室内通道的尺寸如图,设一条边长为x（m）,种植面积为y（m2）.1113x1.y=πx22.y=2(1+x)23.y=(60-x-4)(x-2)=2x2+4x+2=-x2+58x-112思考：上述三个问题中的函数关系式具有哪些共同的特征?经化简后都具有y=ax²+bx+c的形式，(a，b，c是常数，且).a≠0定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数。（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；（3）等式的右边最高次数为

，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。注意：（2）a,b,c为常数，且（4）x的取值范围是。a≠0；2任意实数二次函数的一般形式:y＝ax2＋bx＋c

(其中a、b、c是常数,a≠0)二次函数的特殊形式：当b＝0时，y＝ax2＋c当c＝0时，y＝ax2＋bx当b＝0，c＝0时，y＝ax2函数解析式二次项系数a一次项系数b常数项c00242-158-112130说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：

试一试:二次函数y＝ax2+bx+c中a≠0,但b、c可以为0.例题讲解例下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.

(1)y=3(x-1)²+1

(2)y=x+

(3)s=3-2t²

(4)y=(x+3)²-x²(5)y=

-

x(6)v=10πr²1x__x²1__解:(1)y=3(x-1)²+1=3(x2-2x+1)+1=3x2-6x+3+1即y=3x2-6x+4是二次函数.二次项系数:一次项系数:常数项:3-64(2)y=x+1x__不是二次函数.(3)s=3-2t²是二次函数.二次项系数:一次项系数:常数项:-203(4)y=(x+3)²-x²=x2+6x+9-x2

即y=6x+9不是二次函数.二次项系数:一次项系数:常数项:10π00不是二次函数.(5)y=-xx²1__(6)v=10πr²是二次函数.x

用20米长的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的一边长为xm,矩形的面积为ym2。求：(1)写出y关于x的函数关系式.(2)当x=3时,矩形的面积为多少?(2)当x=3时(0<x<10)答：当x＝3时，矩形的面积为42

m2。1.下列函数中,哪些是二次函数?先化简后判断知识运用2.下列函数，哪些是二次函数？

3.下列函数，哪些是二次函数？

(1)y=3x-1(2)y=3x2(3)y=3x3+2x2(4)y=2x2-2x+1(5)y=x-2+x(6)y=x2-x(1+x)做一做（1）正方形边长为x（cm），它的面积

y（

）是多少？（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x厘米，宽增加2x厘米，则面积增加到y平方厘米，试写出y与x的关系式．(2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？(1)它是二次函数?

练一练2.请举一个符合以下条件的y关于x的二次函数的例子.（1）二次项系数是一次项系数的2倍，常数项为任

意值。（2）二次项系数为-5，一次项系数为常数项的3倍。3.关于x的函数

是二次函数,求m的值.【注意】二次函数的二次项系数不能为0.4.写出下列各函数关系式，并判断它们是什么类型的函数？（1）写出正方体的表面积S(

)与正方体棱长a(cm)之间的函数关系式；（2）写出圆的面积

y()与它的周长x(cm)之间的函数关系式；（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S()与一对角线长x(cm)之间的函数关系式．5.已知二次函数y=x²+px+q，当x=1时,函数值为4，当x=2时，函数值为-5，求这个二次函数的关系式.6.已知二次函数

，（1）你能说出此函数的最小值吗？

（2）你能说出这里自变量能取哪些值？

【注意】当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范围.例如：圆的面积y()与圆的半径x(cm)的函数关系是

.y=πx2其中自变量x能取哪些值呢？问题：是否任何情况下二次函数中的自变量的取值范围都是任意实数呢？开动脑筋1.若函数

为二次函数，求m的值。2.m取何值时，函数y=(m+1)

+(m-3)x+m是二次函数？

练一练第1章二次函数1.2二次函数的图像与性质xyO

-222464-48第1课时?回忆一次函数的图象是一条_____，反比例函数的图象是________.(2)通常怎样画一个函数的图象？直线双曲线(3)二次函数的图象是什么形状

呢？它又有哪些性质？列表、描点、连线

结合图象讨论性质是数形结合的研究函数的重要方法．我们得从最简单的二次函数开始，逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质．xyO－333691.列表：在y=x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：x···－3－2－10123···y=x2······2.根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）画最简单的二次函数y=x2

的图象01491493.连线如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2

的图象．

从图像可以看出，二次函数y=x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线y=x2

，二次函数y=x

2

的图象是轴对称图形，一般地，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c12345x12345678910yo-1-2-3-4-5抛物线与它的对称轴的交点（0，0）叫做抛物线的顶点它是抛物线的最低点．实际上,二次函数的图象都是抛物线，对称轴是y轴

这条抛物线是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是？找几对对称点？抛物线与对称轴有交点吗？

议一议(1)当x<0时,随着x的值增大,y的值如何变化？当x>0呢？(2)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的？观察图象,回答下列问题：xyO当x<0(在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而减小.

当x>0(在对称轴的右侧)时,y随着x的增大而增大.

抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外),顶点是它

的最低点,开口向上,并且向上无限伸展;

当x=0时,函数y的值最小,最小值是0.例1

在同一直角坐标系中，画出函数的图象．x···-4-3-2-101234·········x···-2-1.5-1-0.500.511.52·········84.520.5084.520.584.520.5084.520.5xyO-222464-48解：分别填表，再画出它们的图象，如图函数的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？xyO－222464－48相同点：开口方向：向上顶点：原点（0,0）——最低点对称轴：y轴增减性：y轴左侧，y随x增大而减小

y轴右侧，y随x增大而增大

简称：左降，右升

不同点：开口大小不同a值越大，抛物线的开口越小．极值：x=0时,y最小=0y=ax2(a≠0)a>0图象开口方向顶点坐标对称轴增减性极值xyO向上(0,0)y轴当x<0时，y随着x的增大而减小

x=0时,y最小=0抛物线y=ax2(a>0)的形状是由a来确定的,一般说来,a越大,开口越大当x>0时，y随着x的增大而增大练习1：根据函数图象填空：抛物线y=2x2的开口方向是对称轴是

，顶点坐标是

,在

侧，y随着x的增大而增大；在

侧，y随着x的增大而减小，当x=

时，函数y的值最小，最小值是

,抛物线y=2x2在x轴的

方（除顶点外）。（0，0）y轴对称轴的右对称轴的左00上向上练习2：若抛物线y=ax2(a≠

0)，过点(-1，3).

（1）则a的值是

；

（2）对称轴是

，开口

.

（3）顶点坐标是

，

抛物线在x轴的

方（除顶点外）.3y轴向上(0,0)上（4）求出这个二次函数的最大值或最小值.

（5）在此抛物线上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1>x2>0,试比较y1与y2的大小.第2课时

复习1、二次函数的图象及性质：(1)图象是

；(2)顶点为

，对称轴为

；、(3)当a>0时，抛物线开口向

，顶点是最

点，在对称轴的左侧，y随x的增大而

，

在对称轴的左侧，y随x的增大而

，

a值越大，开口越

；、(4)当a<0时，抛物线开口向

，顶点是最

点，在对称轴的左侧，y随x的增大而

，

在对称轴的左侧，y随x的增大而

，

a值越大，开口越

.一、在同一坐标系中画二次函数的图象：探究归纳用平移观点看函数：

抛物线可以看作是由抛物线平移得到。(1)当c>0时，向上平移个单位；(2)当c<0时，向下平移个单位；2、二次函数是由二次函数

向

平移

个单位得到的。3、二次函数是由二次函数

向上平移5个单位得到的。二次函数

的图象及性质：归纳1.图象是一条抛物线，对称轴为y轴，顶点为(0，c)。2.当a>0时，开口向上；在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当x=0时，y取最小值为c。3.当a<0时，开口向下；在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；当x=0时，y取最大值为c。4、说出下列函数图象的性质：开口方向、对称轴、顶点、增减性。范例例1、求符合下列条件的抛物线

的函数关系式：(1)经过点(-3，2)；(3)当x的值由0增加到2时，函数值减少4。(2)与的开口大小相同，方向相反；巩固5、已知一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是如下图的()xyoxyoxyoxyoxyoABCD巩固6、如图，某桥洞的抛物线形，水面宽AB=1.6m，桥洞顶点C到水面的距离为2.4m，求这个桥洞所在抛物线的解析式。xyoABC范例例2、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成：长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可用表示。(1)一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过隧道吗？xyo-444-2(2)如果隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？(3)如果隧道内设双行道，为安全起见，你认为2m宽的卡车应限高多少比较合适？xyo-444-2小结二次函数的图象及性质：(1)形状、对称轴、顶点坐标；(2)开口方向、极值、开口大小；(3)对称轴两侧增减性。第3课时

复习1、抛物线向上平移3个单位，得到抛物线

；2、抛物线向

平移

个单位，得到抛物线。用平移观点看函数：

抛物线可以看作是由抛物线平移得到。(1)当c>0时，向上平移个单位；(2)当c<0时，向下平移个单位；复习3、指出下列函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性：、二次函数的图象及性质：复习1.图象是一条抛物线，对称轴为y轴，顶点为(0，c)。2.当a>0时，开口向上；在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当x=0时，y取最小值为c。3.当a<0时，开口向下；在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；当x=0时，y取最大值为c。一、在同一坐标系中画二次函数的图象：探究二、关于三条抛物线，你有什么看法？左右平移得到-4-3-2-10123421-1-2-3-4-5-6-7-8xy归纳用平移观点看函数：

抛物线可以看作是由抛物线平移得到。xyo(1)当h>0时，向右平移

个单位；(2)当h<0时，向左平移

个单位。巩固4、二次函数是由二次函数

向

平移

个单位得到的。5、二次函数是由二次函数

向左平移3个单位得到的。探究三、观察三条抛物线：(1)开口方向是什么？-4-3-2-10123421-1-2-3-4-5-6-7-8xy(2)开口大小有没有变化？-4-3-2-10123421-1-2-3-4-5-6-7-8xy(3)对称轴是什么？-4-3-2-10123421-1-2-3-4-5-6-7-8xy(4)顶点各是什么？-4-3-2-10123421-1-2-3-4-5-6-7-8xy(5)增减性怎么样？-4-3-2-10123421-1-2-3-4-5-6-7-8xy二次函数的图象及性质：归纳1.图象是一条抛物线，对称轴为直线x=h，顶点为(h，0)。2.当a>0时，开口向上；在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当x=h时，y取最小值为0。3.当a<0时，开口向下；在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；当x=h时，y取最大值为0。范例例1、已知抛物线经过点(1，3)，求：(1)抛物线的关系式；(2)抛物线的对称轴、顶点坐标；(3)x=3时的函数值；(4)当x取何值时，y随x的增大而增大。巩固6、说出下列函数图象的性质：开口方向、对称轴、顶点、增减性。巩固7、将抛物线向左平移后，所得新抛物线的顶点横坐标为-2，且新抛物线经过点(1，3)，求a的值。范例例2、求抛物线的对称轴方程和最大值(或最小值)，然后画出图象。学过哪些二次函数的特殊形式？巩固8、将抛物线左右平移，使得它与x轴相交于点A，与y轴相交于点B。若△ABO的面积为8，求平移后的抛物线的解析式。小结(1)形状、对称轴、顶点坐标；(2)开口方向、极值、开口大小；(3)对称轴两侧增减性。二次函数的图象及性质：第4课时

复习1、抛物线可以看作是由抛物线向

平移

个单位而得到。☆抛物线的顶点坐标和对称轴是什么？复习用平移观点看函数：

抛物线可以看作是由抛物线平移得到。(1)当c>0时，向上平移个单位；(2)当c<0时，向下平移个单位；2、抛物线可以看作是由抛物线向

平移

个单位而得到。复习用平移观点看函数：

抛物线可以看作是由抛物线平移得到。xyo(1)当h>0时，向右平移

个单位；(2)当h<0时，向左平移

个单位。一、在同一坐标系中画二次函数的图象：探究二、观察三条抛物线：(1)形状怎么样？位置怎么样？-4-3-2-10123421-1-2-3-4-5-6-7-8xy归纳用平移观点看函数：(1)、抛物线与抛物线

形状相同，位置不同。xyo探究(2)可以通过平移得到吗？-4-3-2-10123421-1-2-3-4-5-6-7-8xy归纳用平移观点看函数：(1)、抛物线与抛物线

形状相同，位置不同。(2)、把抛物线上下、左右平移，可以得到抛物线，平移的方向、距离要根据h、k的值来决定。xyo巩固3、二次函数是由二次函数先向

平移

个单位，再向

平移

个单位得到。探究三、观察三条抛物线：(1)开口方向是什么？-4-3-2-10123421-1-2-3-4-5-6-7-8xy探究三、观察三条抛物线：(2)开口大小有没有变化？-4-3-2-10123421-1-2-3-4-5-6-7-8xy探究三、观察三条抛物线：(3)对称轴是什么？-4-3-2-10123421-1-2-3-4-5-6-7-8xy探究三、观察三条抛物线：(4)顶点各是什么？-4-3-2-10123421-1-2-3-4-5-6-7-8xy探究三、观察三条抛物线：(5)增减性怎么样？-4-3-2-10123421-1-2-3-4-5-6-7-8xy二次函数图象及性质：归纳1.图象是一条抛物线，对称轴为直线x=h，顶点为(h，k)。归纳2.当a>0时，开口向上；在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当x=h时，y取最小值为k。二次函数图象及性质：归纳3.当a<0时，开口向下；在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；当x=h时，y取最大值为k。二次函数图象及性质：范例例1、已知抛物线

.(1)写出抛物线的开口方向、顶点M的坐标、对称轴；(2)作出函数的图象；(3)写出与y轴交点C的坐标及与x轴交点A、B的坐标；(4)当x取何值时：①函数值y随x的增大而增大？②函数值y随x的增大而减小？二次函数形式之一：归纳二次函数的顶点式：巩固4、说出下列函数图象的性质：开口方向、对称轴、顶点、增减性、最大(小)值。范例例2、已知二次函数的图象经过(1，0)、(0，3)两点，对称轴为x=-1。(1)求二次函数的解析式；(2)设这个函数的图象与x轴的交点为A、B(A在B的左边)，与y轴的交点为C，顶点为D，求A、B、C、D四点的坐标；(3)求四边形ABCD的面积。巩固5、已知二次函数图象顶点为(-1，-6)，并且图象经过点(0，5)，求这个二次函数的解析式。小结(1)形状、对称轴、顶点坐标；(2)开口方向、极值、开口大小；(3)对称轴两侧增减性。二次函数图象及性质：第5课时

我们来画的图象，并讨论一般地怎样画二次函数的图象．?思考我们知道，像这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为（h,k)，二次函数也能化成这样的形式吗？接下来，利用图象的对称性列表（请填表）x···3456789·········33.557.53.557.5xyO510510配方可得，由此可知，抛物线的顶点是（6，3），对称轴是直线x=6函数y=ax²+bx+c的顶点式这个结果通常称为求顶点坐标公式.因此，抛物线的对称轴是，顶点坐标是一般地，我们可以用配方法求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点与对称轴

这是确定抛物线顶点与对称轴的公式矩形场地的周长是60m，一边长为l，则另一边长为，场地的面积用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，当l是多少时，场地的面积S最大？即可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数的图象的最高点，也就是说，当l取顶点的横坐标时，这个函数有最大值．由公式可求出顶点的横坐标．分析：先写出S与l的函数关系式，再求出使S最大的l值．S＝l(30－l)S＝－l2+30l(0<l<30)lsO51010020015202530也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大（S＝225m2）

因此，当时，

S有最大值S＝－l2+30l(0<l<30)

一般地，因为抛物线的顶点是最低（高）点，所以当时，二次函数有最小（大）值二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质1.顶点坐标与对称轴2.位置与开口方向3.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.根据图形填表：1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x为何值时，y的值最小（大）？（4）（3）（2）（1）练习解:(1)a=3>0，抛物线开口向上解:a=－1<0，抛物线开口向下（2）解:a=－2<0抛物线开口向下（3）解:a=0.5>0抛物线开口向上（4）2．已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？第1章二次函数1.3不共线三点确定二次函数的表达式(1)y=kx+b

(k≠0)系数k待定找一个点确定一个方程解一元一次方程

系数k,b待定找两个点两个方程解二元一次方程组y=kx(k≠0)y=(k≠0)xk1.什么是待定系数法？怎样用待定系数法确定函数解析式？2、二次函数的解析式怎样？要确定二次函数表达式需待定的系数是哪些？y=ax2+bx+c(a≠0)解：设二次函数表达式是：y=ax2+bx+cc=2a+b+c=04a-2b+c=3例1、已知一个二次函数的图象过点（0，2）、（1，0）、（-2，3）三点，求这个函数的表达式？把点(0，2)、(1，0)、(-2，3)代入表达式，得：解之得：21a=-23b=-c=2∴

y=-x2-x+22321已知三点求二次函数的解析式。1.设y=ax2+bx+c2.代（三点）3.列（三元一次方程组）4.解5.写（回代，写成一般形式）（消元）解：设

y=a(x＋1)2-3例2、已知抛物线的顶点为(-1,-3)，与x轴交点为(0,-5)，求抛物线的解析式？y=-2(x＋1)2-3，即y=-2x2-4x-5y=

-2(x2

+2x+1)-3又抛物线与x轴交点为（0，-5）a-3=-5，得a=-2已知抛物线的顶点求表达式。“设”时，不设一般式，而设为“y=a(x-h)2+k”的形式（顶点式）。再把另一点代入，得一元一次方程。(1)已知抛物线y=x2+4x+3它的开口向

，对称轴是直线

，顶点坐标为

，图象与x轴的交点为

，与y轴的交点为

.上x=-2（-2，-1）(-3,0)，(-1,0)（0，3）(2)二次函数y=3(x+1)2+4的顶点坐标为

。(-1，4)(3)顶点为（0，0）且过点（1，-3）的抛物线的解析式为

.y=-3x2(4)抛物线y=-x2-2x+m，若其顶点在x轴上，则m=

.-1(5)写出一个图象经过原点的二次函数的表达式

.y=x2y=-x2+3x1、填空巩固练习4、已知抛物线与x轴交于点M（-1,0）、（2,0），且经过点（1,2），求抛物线解析式．3、当自变量x=0时，函数值y=-2，当自变量x=-1时，函数值y=-1，当自变量x=1时，函数值y=1,求当自变量x=2时，函数值y是多少？y=2x2+x-22、二次函数的图象过点（-1,0）（2,0）（-3,5）求这个函数的表达式？5、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2，1)，且这条抛物线与x轴的一个交点坐标是(3，0)，求抛物线的表达式。设一般式a-b+c=04a+2b+c=09a-3b+c=5设一般式求出表达式，再求函数值。实际就是已知三点，求函数表达式。设顶点式，求解。6、某抛物线是将抛物线y=ax2

向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到的，且抛物线过点（3,-3），求该抛物线的表达式。顶点坐标（1，1）设y=a(x-1)2+17、已知抛物线对称轴为x=2，且经过点（1，4）和（5，0），求该二次函数解析式。8、抛物线的图象经过（2，0）与（6，0）两点，其顶点的纵坐标是2，求它的函数关系式提示：由题意得x==4

22+6∴顶点坐标为（4，2）由顶点式可求得,

y=-

x2+4x-621设y=ax2+bx+c-

=22aba+b+c=425a+5b+c=0设y=a(x-2)2+ka+k=49a+k=0今天我们学到了什么？1、求二次函数解析式的一般方法：.已知图象上三点坐标，通常选择一般式。.已知图象的顶点坐标（对称轴或最值）,通常选择顶点式。y=ax2+bx+c

（a≠0）三个系数待定找三个点三个方程解三元一次方程组2、求二次函数解析式的

常用思想：转化思想

无论采用哪一种表达式求解，最后结果都化为一般形式。解方程或方程组课堂小结1.3不共线三点确定二次函数的表达式(2)1、求二次函数解析式的一般方法：.已知图象上三点坐标，通常选择一般式。.已知图象的顶点坐标（对称轴或最值）,通常选择顶点式。y=ax2+bx+c

（a≠0）三个系数待定找三个点三个方程解三元一次方程组2、求二次函数解析式的

常用思想：转化思想

无论采用哪一种表达式求解，最后结果都化为一般形式。解方程或方程组3、求二次函数解析式的

两种形式：一般式：y=ax2+bx+c顶点式：y=a(x-h)2+k

例1、已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B（1,0），且经过点

C（2,8），求该二次函数解析式。解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，则4a-2b+c=0a+b+c=04a+2b+c=8解得a=2b=2c=-4∴y=2x2+2x-4想一想：还有更快更好的解法吗？由二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-2,0)和(1，0)，设x1=-2，x2=1，将x1、x2分别代入二次函数解析式中可得y=0，x1、x2也就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，方程可写成a(x-x1)(x-x2)=0形式。二次函数的解析式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，我们把这种解析式称为“交点式”。于是，二次函数的解析式也可得到以下这种形式：小结：二次函数的表达式有几种形式？已知抛物线与x轴交于点A(-2，0)，B（1，0），且经过点C（2，8），求该二次函数解析式。解法二：设函数解析式为y=a(x+2)(x-1)，又抛物线经过点C(2,8)，则把点C(2,8)代入可得，8=a(2+2)(2-1)，解得a=2故解析式为y=2(x+2)(x-1)，即y=2x2+2x-4例2．已知二次函数图象经过点(1，4)、(-1，0)和(3，0)三点，

求二次函数的表达式。（交点式）∵二次函数图象经过点(3，0)、(-1，0)∴设二次函数表达式为：y=a(x-3)(x+1)∵函数图象过点(1，4)∴4=a(1-3)(1+1)得a=-1∴函数的表达式为：y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3知道抛物线与x轴的两个交点的坐标，用交点式比较简便。（一般式）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c∵二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和(3,0)，则得：a+b+c=4a-b+c=09a+3b+c=0

解得a=-1b=2c=3∴函数的解析式为y=-x2+2x+3∵

抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0)，∴

点(1，4)为抛物线的顶点可设二次函数解析式为y=a(x-1)2+4

（顶点式）∵抛物线过点(-1，0)∴0=a(-1-1)2+4

得，a=-1∴函数的解析式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+34、已知抛物线与x轴两交点横坐标为1，3且图像过（0，-3），求

出对应的二次函数解析式。y=-x2+4x-35、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，

它的对称轴为直线x＝2，求这个二次函数的解析式？y=x2-4x-51、求经过三点A（-2，-3），B（1，0），C（2，5）的二次函数的

解析式.2、已知抛物线的顶点为D(-1，-4)，又经过点C(2，5)，求其解析式。3、已知抛物线与x轴的两个交点为A(-3，0)、B(1，0)，又经过点

C(2，5)，求其解析式。6、抛物线与x轴的一个交点坐标是(-1，0)，且当x=1时，

函数有最大值为4，求此函数解析式。课堂练习7、已知一个二次函数的图象经过点(4，-3)，并且当x=3时有最大值4，试确定这个二次函数的解析式。8、已知二次函数的对称轴是直线x=1，图像上最低点P的纵坐标为-8，图像还过点(-2，10)，求此函数的表达式。顶点坐标（

1，-8）设y=a(x-1)2-89、已知二次函数的图象与x轴两交点间的距离为4，且当x=1时，函数有最小值-4，求此表达式。顶点坐标（1，-4）设y=a(x-1)2-410、有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式．y=-

x2+

x25158求二次函数解析式的一般方法：已知图象上三点或三对的对应值，通常选择一般式y=ax2+bx+c

已知图象的顶点坐标、对称轴和最值通常选择顶点式y=a(x-h)2+k已知图象与x轴的两个交点的横x1、x2，通常选择交点式（两根式）y=a(x-x1)(x-x2)。确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。课堂小结第1章二次函数1.4二次函数与一元二次方程的联系

已知函数值y=0，求对应自变量x.请问这位同学的跳远成绩是多少？

高度y(m)与水平距离x(m)之间具有的关系:

高度h(m)与时间t(s)之间具有的关系:h=20t-5t2

球从飞出到落地需要多少时间？

已知函数值h=0，求对应自变量t.

已知二次函数y=ax2

+bx+c(a≠0)的函数值为0，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2

+bx+c=0(a≠0).探究新知(1)球的飞行高度能否达到15m?若能,需要多少飞行时间?

已知函数值h=15，求对应自变量t.(2)球的飞行高度能否达到20m?若能,需要多少飞行时间?(3)球的飞行高度能否达到20.5m?若能,需要多少飞行时间?

已知二次函数y=ax2

+bx+c(a≠0)的函数值为m，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2

+bx+c=m(或ax2

+bx+c-m=0)(a≠0).探究新知h=20t-5t2归纳总结

已知二次函数y=ax2

+bx+c(a≠0)的函数值为0，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).

已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值为m，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2+bx+c=m(或ax2+bx+c-m=0)(a≠0).以上关系反之也成立.

根据图象你能得出相应方程的解吗?思考0xy1y=x2+x-2y=x2-6x+9y=x2-x+1..(1)方程x2

+x-2=0的根是______________;(2)方程x2

-6x+9=0的根是______________;(3)方程x2

-x+1=0的根是______________.

如果抛物线y=ax2

+bx+c(a≠0)与x轴有公共点(x0,0),那么x=x0

就是方程ax2+bx+c=0的一个根.x1

=-2,x2

=1x1=x2

=3无实数根归纳总结二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根有两个交点有两个相异的实数根有一个交点有两个相等的实数根没有交点没有实数根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4acb2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac<0说明：a≠0练一练下列二次函数的图象与x轴有交点吗？有几个交点？(5)y=2x2

-(4k+1)x+2k2

-1;(1)y=2x2

+x-3;(2)y=-4x2

-4x-1;(3)y=3x2

-2x+3;(4)y=x2

+(2k+1)x-k2

+k;若此抛物线与x轴有两个交点,求k的取值范围.基础练习:1.不与x轴相交的抛物线是()Ay=

2x2–3By=-2x2+3Cy=-x2

–3x

Dy=

-

2(x+1)2-32.若抛物线y=ax2+bx+c,当a>0,c<0时,图象与x轴交点情况是()A无交点B只有一个交点C有两个交点D不能确定DC3.如果关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线y=x2-2x+m与x轴有＿＿个交点

.4.已知抛物线y=x2–8x+c的顶点在x轴上,则c=＿＿＿.11165.若函数y=-x2+2kx+2与坐标轴交点的个数有

个.3(1,0)6.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图,则关于x的方程ax2+bx+c

=0根的情况是()A有两个不相等的实数根B有两个异号的实数根C有两个相等的实数根D没有实数根xyO12D-3例:利用函数图象求方程

x

²-2x-2=0的实数根

(精确到0.1)解:作y=x²-2x-2的图象(如图),它与x轴的公共点的横坐标大约是–0.7,2.7

所以方程x

²-2x-2=0的实数根为

x₁≈-0.7,

x₂≈2.7.练习:根据下列表格的对应值:

判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是(

)

A3<x<3.23

B3.23<x<3.24

C3.24<x<3.25

D3.25<x<3.26

x3.233.243.253.26y=ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09C升华提高体会两种思想：数形结合思想弄清一种关系------函数与一元二次方程的关系

如果抛物线y=ax2

+bx+c

与x轴有公共点(x0,0),那么x=x0

就是方程ax2+bx+c

=0的一个根.分类讨论思想二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根有两个交点有两个相异的实数根有一个交点有两个相等的实数根没有交点没有实数根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4acb2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac<0第1章二次函数1.5二次函数的应用（1）复习巩固：1、二次函数可以用哪几种方法表示？2、写出下列函数的顶点坐标，并说出它的最值情况：（1）y=2x2-3x+5（2）y=-2x2+4x+3何时橙子总产量最大某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？(1)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？(2)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.（100+x）棵这时平均每棵树结多少个橙子？（600-5x）个何时橙子总产量最大果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x）个橙子,因此果园橙子的总产量你能根据表格中的数据作出猜想吗？y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000.在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多?X/棵1234567891011121314Y/个6009560180602556032060375604206045560480604956050060495604806045560420y/个x/棵0132456789101214131160000601006040060200603006050060600678910111213142.利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.?何时橙子总产量最大1.利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.3.增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?何时获得最大利润某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1