2018届数学大复习第一章集合与常用逻辑用语第二节命题及其关系、充分条件与必要条件理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE18-学必求其心得，业必贵于专精第二节命题及其关系、充分条件与必要条件☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度1.理解命题的概念；2。了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；3。理解充分条件、必要条件与充要条件的含义。2016,北京卷，4,5分（充要条件的判断)2016，天津卷，5，5分（充要条件的判断)2014，全国卷Ⅰ，9，5分(逻辑推理判断)1。分析四种命题的相互关系；由原命题写另一种命题;2。判定指定条件之间的关系；探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件;与命题真假性结合。微知识小题练自|主｜排｜查1．命题（1）命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。（2)四种命题及相互关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系。2．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件pq且qp微点提醒1．“否命题”与“命题的否定"是两个不同的概念，否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论，命题的否定只否定结论。2．由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假。3．“p是q的充分不必要条件”即为“p⇒q且qp”；“p的充分不必要条件是q”即为“q⇒p且pq”。小|题|快|练一、走进教材1．(选修1－1P10练习T3（2)改编）“（x＋1)（y－2）＝0”是“x＝－1且y＝2"的________条件.【解析】因为(x＋1）(y－2）＝0，所以x＝－1或y＝2，所以（x＋1)(y－2）＝0x＝－1且y＝2，x＝－1且y＝2⇒（x＋1）（y－2)＝0，所以是必要不充分条件。【答案】必要不充分2．（选修1－1P8习题1。1A组T2（1）改编）“若a，b都是偶数，则ab必是偶数“的逆否命题为________。【解析】“a，b都是偶数”的否定为“a，b不都是偶数”，“ab是偶数”的否定为“ab不是偶数”，故其逆否命题为“若ab不是偶数,则a，b不都是偶数”.【答案】若ab不是偶数,则a，b不都是偶数二、双基查验1．(2016·天津高考)设x>0，y∈R,则“x>y”是“x〉|y|”的(）A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件【解析】由x〉y推不出x〉|y｜,由x〉｜y｜能推出x〉y，所以“x〉y”是“x〉｜y|”的必要而不充分条件。故选C。【答案】C2．命题“若α＝eq\f(π，4）,则tanα＝1”的逆否命题是()A．若α≠eq\f（π，4），则tanα≠1 B．若α＝eq\f（π,4)，则tanα≠1C．若tanα≠1,则α≠eq\f（π，4） D．若tanα≠1，则α＝eq\f（π,4)【解析】以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝eq\f(π,4），则tanα＝1”的逆否命题是“若tanα≠1,则α≠eq\f(π,4)”.故选C.【答案】C3．设集合A，B,则“A⊆B"是“A∩B＝A”成立的(）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由A⊆B,得A∩B＝A；反过来，由A∩B＝A，且（A∩B）⊆B，得A⊆B，因此，“A⊆B”是“A∩B＝A"成立的充要条件。故选C。【答案】C4．“在△ABC中,若∠C＝90°，则∠A,∠B都是锐角”的否命题为：___________________________________________________。【解析】原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°。结论：∠A，∠B都是锐角.否命题是否定条件和结论.即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A,∠B不都是锐角”.【答案】在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角5．若“x2〉1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为________.【解析】由x2〉1得x>1或x〈－1。由题意知｛x｜x〈a}｛x|x〉1或x<－1｝，结合数轴可知，a≤－1,从而a的最大值为－1。【答案】－1微考点大课堂考点一四种命题及其相互关系【典例1】(1)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是(）A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数(2)原命题为“若z1,z2互为共轭复数，则|z1｜＝｜z2｜",关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，假，真 B．假，假，真C．真，真，假 D．假，假，假【解析】（1)由于“x，y都是偶数”的否定是“x，y不都是偶数"，“x＋y是偶数”的否定是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”。故选C。(2）先证原命题为真:当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋bi（a,b∈R）,则z2＝a－bi，则|z1|＝｜z2｜＝eq\r（a2＋b2)，∴原命题为真,故其逆否命题为真；再证其逆命题为假：取z1＝1，z2＝i,满足|z1|＝|z2｜，但是z1,z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假。故选B.【答案】(1）C(2）B反思归纳1。写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提。2.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题,只需举出反例。3.根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假。【变式训练】（1）命题“若α＝eq\f(π,3），则cosα＝eq\f(1,2)”的逆命题是(）A．若α＝eq\f（π，3)，则cosα≠eq\f（1，2)B．若α≠eq\f（π，3),则cosα≠eq\f(1，2)C．若cosα＝eq\f（1，2),则α＝eq\f(π，3)D．若cosα≠eq\f（1,2）,则α≠eq\f(π,3）（2)已知命题α：如果x〈3，那么x〈5；命题β:如果x≥3，那么x≥5;命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是（)①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题;②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题,且命题γ是命题α的逆否命题。A．①③ B．②C．②③ D．①②③【解析】(1)命题“若α＝eq\f(π，3)，则cosα＝eq\f（1,2)”的逆命题是“若cosα＝eq\f（1,2），则α＝eq\f（π,3)"。故选C。（2）命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定，然后交换条件与结论所得,因此①正确,②错误,③正确.故选A。【答案】（1）C（2)A考点二充分条件与必要条件的判断……多维探究角度一:用定义法判断充分条件、必要条件【典例2】（2016·北京高考)设a，b是向量，则“｜a｜＝|b｜"是“｜a＋b|＝|a－b|”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】取a＝－b≠0，则｜a｜＝|b|≠0，｜a＋b|＝｜0｜＝0，|a－b|＝|2a｜≠0，所以｜a＋b|≠|a－b｜,故由|a｜＝｜b|推不出|a＋b|＝｜a－b｜。由|a＋b｜＝｜a－b｜，得|a＋b|2＝|a－b|2,整理得a·b＝0,所以a⊥b，不一定能得出｜a|＝｜b｜,故由｜a＋b｜＝|a－b|推不出|a｜＝｜b｜.故“｜a｜＝｜b｜”是“|a＋b|＝｜a－b【答案】D角度二:用集合法判断充分条件、必要条件【典例3】设p：1<x<2，q:2x〉1，则p是q成立的(）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】由2x〉20⇒x〉0，且｛x|1<x〈2}{x｜x〉0}可知：由p能推出q,但由q不能得出p，所以p是q成立的充分不必要条件。故选A。【答案】A角度三:用等价转化法判断充分条件、必要条件【典例4】(2017·锦州模拟）给定两个命题p，q。若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】因为綈p是q的必要不充分条件,则q⇒綈p但綈pq,其逆否命题为p⇒綈q但綈qp,所以p是綈q的充分不必要条件.故选A。【答案】A反思归纳充要条件的三种判断方法1。定义法：根据pq，qp进行判断。2.集合法：根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断。3.等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断。这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1"是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x=1且y=1”是“xy=1”的何种条件。考点三根据充分条件、必要条件求参数的取值范围……母题发散【典例5】(1)(2016·南昌模拟）已知条件p：｜x－4|≤6；条件q：（x－1)2－m2≤0(m>0)，若p是q的充分不必要条件,则m的取值范围是(）A．［21，＋∞） B．[9，＋∞）C．［19，＋∞） D．（0，＋∞）(2）已知P＝｛x|x2－8x－20≤0｝,非空集合S＝｛x｜1－m≤x≤1＋m}。若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________.【解析】(1)条件p：－2≤x≤10，条件q：1－m≤x≤m＋1，又因为p是q的充分不必要条件，所以有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（1－m≤－2，，1＋m≥10.）)解得m≥9。故选B。(2)由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P。则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，，1＋m≤10,））∴0≤m≤3。所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0，3］。【答案】（1)B(2）[0,3］【母题变式】1。本典例（2)条件不变,问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件。【解析】若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＝－2，,1＋m＝10，)）∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（m＝3，,m＝9，))即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件.【答案】不存在2．本典例（2)条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围。【解析】由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，∵綈P是綈S的必要不充分条件，∴P⇒S且SP。∴[－2,10］［1－m,1＋m］。∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（1－m≤－2，，1＋m〉10))或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（1－m〈－2，,1＋m≥10.）)∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)。【答案】[9，＋∞）反思归纳由充分条件、必要条件求参数.解决此类问题常将充分、必要条件问题转化为集合间的子集关系求解.但是,在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的验证,不等式中的等号是否能够取得,决定着端点的取值。微考场新提升1．命题“若a，b,c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是()A．“若a,b，c成等比数列，则b2≠ac”B．“若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac"C．“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列"D．“若b2≠ac，则a，b,c不成等比数列"解析根据原命题与其逆否命题的关系,易得命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”。故选D.答案D2．已知向量a＝(sinα，cosα），b＝（cosβ，sinβ），且a与b的夹角为θ，则“|a－b|＝1"是“θ＝60°”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析由条件可知|a｜＝|b｜＝1，若|a－b｜＝1，则（a－b)2＝1，即a2＋b2－2a·b＝1，所以1＋1－2cosθ＝1，即cosθ＝eq\f（1，2)，故θ＝60°。同理，若θ＝60°,则|a－b|＝1也成立.故“｜a－b｜＝1”是“θ＝60°”的充分必要条件.故选C.答案C3．设m，n为正实数，则“m〈n”是“m2－eq\f(1,m2）〈n2－eq\f(1，n2）”成立的(）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析解法一:m，n为正实数是此题的大前提条件，所以可得m2－eq\f(1，m2）〈n2－eq\f（1，n2）⇔m2－n2－eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，m2)－\f（1，n2）））〈0⇔（m－n）(m＋n)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1＋\f（1，m2n2)））<0⇔m〈n，故“m〈n”是“m2－eq\f（1，m2)<n2－eq\f（1,n2）”成立的充要条件。故选C。解法二:构造函数f（x)＝x2－eq\f(1,x2）（x〉0)，易知f（x)＝x2－eq\f(1，x2）（x〉0)是单调递增函数，任取m，n>0,当m<n时，f(m)<f(n），即m2－eq\f(1,m2)〈n2－eq\f（1,n2）；反之,当f(m)<f(n）时，易得m<n。故“m<n”是“m2－eq\f(1,m2）〈n2－eq\f(1,n2）”