广东省清远市清新县第一中学高三数学文期末试题含解析

广东省清远市清新县第一中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知正实数a，b满足a2﹣b+4≤0，则u=（）A．有最大值为 B．有最小值为C．没有最小值 D．有最大值为3参考答案：B【考点】7F：基本不等式．【分析】a2﹣b+4≤0，可得b≥a2+4，a，b＞0．可得﹣≥﹣，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a2﹣b+4≤0，∴b≥a2+4，a，b＞0．∴a+b≥a2+a+4，∴≤，∴﹣≥﹣，∴u==3﹣≥3﹣=3﹣≥3﹣=，当且仅当a=2，b=8时取等号．故选：B．2.已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为（）A．x2+y2﹣2x﹣3=0 B．x2+y2+4x=0 C．x2+y2+2x﹣3=0 D．x2+y2﹣4x=0参考答案：D【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆心在x轴的正半轴上设出圆心的坐标（a，0）a大于0，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线3x+4y+4=0的距离，由直线与圆相切得到距离与半径相等列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．得到圆心的坐标，然后根据圆心坐标和半径写出圆的方程即可．【解答】解：设圆心为（a，0）（a＞0），由题意知圆心到直线3x+4y+4=0的距离d===r=2，解得a=2，所以圆心坐标为（2，0）则圆C的方程为：（x﹣2）2+y2=4，化简得x2+y2﹣4x=0故选D3.对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图（如右图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（

）

A．47,45,56

B．46,45,53

C．46,45,56

D．45,47,53参考答案：C略4.设i为虚数单位，复数，若是

纯虚数，则实数a的值为A．

B．

C．-6

D.6

参考答案：【知识点】复数

L4B解析：由题可知，又已知是纯虚数，则，所以B正确.【思路点拨】根据复数的运算，我们可进行分母实数化运算，再由实部等于零可求出a.5.已知实数，执行如右图所示的程序框图，则输出的不小于的概率为（

）A．

B．

C．

D．【解析】第一次运行，，第二次为，第三次为，第四次输出，又，解得，所以输出的不小于的概率为，选A.参考答案：第一次运行，，第二次为，第三次为，第四次输出，又，解得，所以输出的不小于的概率为，选A.【答案】A6.“”是“”成立的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分与不必要条件参考答案：A由得，，所以“”是“”成立充分不必要条件，选A.7.“”是“”成立的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：A8.已知抛物线上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为A.

B.

C.1

D.2参考答案：D设，，抛物线的准线为，根据梯形的中位线定理知，AB的中点到x轴的距离为==所以当AB恰好经过焦点时，d最小，即=2。答案选D

9.已知平面向量，，与垂直，则实数λ的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2参考答案：A【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．

【专题】计算题．【分析】先求出（）的坐标，由题意可得（）?=λ+4+9λ+6=0，解方程求得λ的值．解：（）=（λ+4，﹣3λ﹣2），由题意可得（）?=（λ+4，﹣3λ﹣2）?（1，﹣3）=λ+4+9λ+6=0，∴λ=﹣1，故选A．【点评】本题考查两个向量的加减法的法则，两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，得到λ+4+9λ+6=0，是解题的难点．10.已知函数（e为自然对数的底数），当x∈时，y=f（x）的图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】3O：函数的图象．【分析】利用函数的奇偶性以及函数的特殊值判断即可．【解答】解：函数=，f（﹣x）=﹣=﹣f（x），函数是奇函数，排除选项A，C，当x=π时，f（π）=＞1，排除B，故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设,则的最小值为

。参考答案：9本题考查基本不等式的应用，难度中等。因为当且仅当即时取等号。12.已知函数的图像如图所示，则

-

参考答案：013.直线与曲线有且只有一个交点，则的取值范围是

．参考答案：14.已知直线过圆的圆心，则的最小值为

。参考答案：：4解：圆心为，则代入直线得：，即，则有，（当且仅当时取等号）故答案填：4【考点】：不等式15.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知

则A＝

.参考答案：16.函数的最小值为________．参考答案：【分析】结合换元法以及利用导数求得的最小值.【详解】令，函数变为，，所以在上递减，在上递增，所以，也即函数的最小值为.故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的最值，属于中档题.17.公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项,S10=60,则S20等于

_________

参考答案：320三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知关于x的函数f（x）=x2+2ax+b（其中a，b∈R）．（1）求函数|f（x）|的单调区间；（2）对于一切a∈[0，1]，若存在实数m，使得与能同时成立，求b﹣a的取值范围．参考答案：解：（1）∵f（x）=x2+2ax+b=（x+a）2+b﹣a2∴①当a2﹣b≥0时，单调区间为：（﹣∞，﹣a]上为减，[﹣a，+∞）上为增；②当a2﹣b＜0时，单调区间为：减，增，减，增，（2）①当时，由方程，解得，此时，此时满足存在实数m，使得与能同时成立．此时，a2≤b≤a2+，∴对一切a∈[0，1]都成立，解得b﹣a∈[﹣，]．②当时，由方程，解得此时，不满足存在实数m，使得与能同时成立；③当时，由方程x2+2ax+b=和方程x2+2ax+b=﹣，解得x1，2=﹣a±，x3，4=﹣a±，此时由于|x2﹣x1|=2∈[，+∞），|x3﹣x4|=﹣=≤＜1∴只要|x3﹣x4|=2≤1即可，此时a2﹣b≤，b，b﹣a≥对一切a∈[0，1]都成立，解得b﹣a∈[﹣∞，﹣]．综上得b﹣a∈[﹣∞，﹣]考点：函数恒成立问题；二次函数的性质．专题：综合题；压轴题．分析：（1）f（x）=（x+a）2+a2﹣b开口向上，但a2﹣b的正负不定，所以在取绝对值时要分类讨论．在每一种情况下分别求|f（x）|的单调区间．（2）存在实数m，使得同时成立，即为两变量对应的函数值都小于等于的两变量之间间隔不超过1，故须对a2﹣b和，的大小分情况讨论，求出a2﹣b的取值范围，进而求得b﹣a的取值范围．解答：解：（1）∵f（x）=x2+2ax+b=（x+a）2+b﹣a2∴①当a2﹣b≥0时，单调区间为：（﹣∞，﹣a]上为减，[﹣a，+∞）上为增；②当a2﹣b＜0时，单调区间为：减，增，减，增，（2）①当时，由方程，解得，此时，此时满足存在实数m，使得与能同时成立．此时，a2≤b≤a2+，∴对一切a∈[0，1]都成立，解得b﹣a∈[﹣，]．②当时，由方程，解得此时，不满足存在实数m，使得与能同时成立；③当时，由方程x2+2ax+b=和方程x2+2ax+b=﹣，解得x1，2=﹣a±，x3，4=﹣a±，此时由于|x2﹣x1|=2∈[，+∞），|x3﹣x4|=﹣=≤＜1∴只要|x3﹣x4|=2≤1即可，此时a2﹣b≤，b，b﹣a≥对一切a∈[0，1]都成立，解得b﹣a∈[﹣∞，﹣]．综上得b﹣a∈[﹣∞，﹣]．点评：本题考查了数学上的分类讨论思想．分类讨论目的是，分解问题难度，化整为零，各个击破19.已知函数（为自然对数的底数），曲线在点处的切线方程为．（1）求，的值；（2）任意，时，证明：．参考答案：（1）；（2）证明见解析.试题分析：第一问根据切点在切线上，以及导数的几何意义，得到方程组，求得的值，第二问可以将问题转化为函数的最大值减去函数的最小值小于等于即可得结果，所以将问题转化为函数的最值问题来解决.试题解析：（1）

………………1分，

………………2分,

………………3分又切线过切点,，

………………4分代入得．

…………5分（2）证明：由（1）知，，.

当时，，在区间单调递减；

………………6分当时，，在区间单调递增.………………7分所以在区间上，的最小值为.

………………8分又，，所以在区间上，的最大值为.

………………10分

对于，有．所以.

………………12分考点：导数的几何意义，导数的应用.20.已知函数，为实数）(1)当时，求函数在上的最小值；(2)若方程（其中）在区间上有解，求实数的取值范围；(3)证明：.（参考数据：参考答案：解：(1)当时，,令得:,在上单调递减，在上单调递增，故当时，，的最小值为.(2)在上有解在上有解在上有解.令，，令，则，令，则，在上单调递增，在上单调递减，又，即，故.(3)设.由(1)可得.，，.令当时，，在上单调递减，即当时，，，即，.故.略21.

已知函数f(x)=x2－81nx，g(x)＝一X2+14x.(I)若函数y＝f(x)和函数y＝g(x)在区间(a，a+l)上均为增函数，求实数a的取值范围；(Ⅱ)若方程f(x)＝g(x)+m有唯一解，求实数m的值．参考答案：22.如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池ABCD及其矩形附属设施EFGH，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为O，半径为R，矩形的一边AB在直径上，点C