广东省河源市上坪中学2023年高二数学理上学期期末试卷含解析

广东省河源市上坪中学2023年高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在四面体中，已知棱的长为，其余各棱长都为，则二面角的余弦值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略2.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m?α，n?β，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m⊥n B．若α∥β，则m∥n C．若m⊥n，则α⊥β D．若n⊥α，则α⊥β参考答案：D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，若α⊥β，则m、n位置关系不定，不正确；对于B，若α∥β，则m∥n或m，n异面，不正确；对于C，若m⊥n，则α、β位置关系不定，不正确；对于D，根据平面与平面垂直的判定可知正确．故选D．【点评】本题考查了空间线面、面面平行和垂直关系，面面平行的判定定理，线面垂直的定义及其应用，空间想象能力3.过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是，则等于

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略4.设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若在直线（其中）上存在点P，使线段PF1的垂直平分线经过点F2，则椭圆离心率的取值范围是(

)A. B. C. D.参考答案：C【分析】由题意得，，设点，由中点公式可得线段的中点，可得线段的斜率与的斜率之积等于，可得，可得e的范围.【详解】解：由题意得，，设点，则由中点公式可得线段的中点，线段的斜率与的斜率之积等于，即，，，，，或舍去，．又椭圆的离心率

，故，故选：C．【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的相关问题，根据题意列出不等式是解题的关键.5.函数f(x)＝x＋在x>0时有

（

）

A．极小值B．极大值C．既有极大值又有极小值D．极值不存在参考答案：A略6.已知定义域为R的函数f(x)在(1,+∞)上为增函数，且函数为奇函数，则（

）A. B.C. D.参考答案：D分析：利用单调性判断的大小关系，再利用函数的奇偶性判断的大小关系.详解：函数为奇函数，，，因为在上是增函数，，即，故选D.点睛：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.7.设为公比为正数的等比数列，其的前n项和为，若，则(

)

A．63

B．64

C．127

D．128参考答案：C略8.已知a＜b＜|a|，则（） A． ＞

B．ab＜1

C．＞1

D． a2＞b2参考答案：D9.等比数列中，S2=7，S6=91，则S4=（）

A．28

B．32 C．35

D．49参考答案：A10.设函数，若对于任意∈[0，2]都有成立，则实数的取值范围为（

）

A．

B．

C．

D．.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是

．参考答案：命题q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，解得a≤x≤a+1．∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．∴且等号不能同时成立．解得．则实数a的取值范围是.故答案为：.

12.已知正数满足，则的最小值为______________.参考答案：-4<a≤0略13.已知是不相等的正数，，则的大小关系是▲．参考答案：略14.双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y=x与双曲线相交于A、B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为．参考答案：y=±2x【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的右焦点，将直线y=x代入双曲线方程，求得x2=，则设A（x，），B（﹣x，﹣），=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），由?=0，根据向量数量积的坐标表示，求得c2=x2，由双曲线的方程可知：c2=a2+b2，代入即可求得（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，则可知b2﹣4a2=0，即可求得b=2a，根据双曲线的渐近线方程可知：y=±x=±2x．【解答】解：由题意可知：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）焦点在x轴上，右焦点F（c，0），则，整理得：（9b2﹣16a2）x2=9a2b2，即x2=，∴A与B关于原点对称，设A（x，），B（﹣x，﹣），=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），∵AF⊥BF，∴?=0，即（x﹣c）（﹣x﹣c）+×（﹣）=0，整理得：c2=x2，∴a2+b2=×，即9b4﹣32a2b2﹣16a4=0，∴（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，∵a＞0，b＞0，∴9b2+4a2≠0，∴b2﹣4a2=0，故b=2a，双曲线的渐近线方程y=±x=±2x，故答案为：y=±2x．15.抛物线在点P和Q处的切线斜率分别为1和－1，则。参考答案：解析：设过点p的抛物线的切线方程为y＝x+b①

则由题设知过点Q的抛物线的切线方程为y＝－x－b②

又设将①代入③

∴由直线①与抛物线相切得∴∴由③得

由此解得∴因此得16.P为椭圆上一点，F1、F2为左右焦点，若∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为

．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】先利用椭圆定义求出|PF1|+|PF2|和|F1F2|的值，因为知道焦点三角形的顶角，利用余弦定理求出|PF1||PF2|的值，再代入三角形的面积公式即可．【解答】解：由椭圆方程可知，a=5，b=3，∴c=4∵P点在椭圆上，F1、F2为椭圆的左右焦点，∴|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8在△PF1F2中，cos∠F1PF2=====cos60°=∴72﹣4|PF1||PF2|=2|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|=12又∵在△F1PF2中，=|PF1||PF2|sin∠F1PF2∴=×12sin60°=3故答案为317.两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，…，若按此规律继续下去，得数列{an}，则an﹣an﹣1=（n≥2）；对n∈N*，an=． 参考答案：3n﹣2，【考点】归纳推理． 【专题】计算题；等差数列与等比数列；推理和证明． 【分析】根据题目所给出的五角形数的前几项，发现该数列的特点是，从第二项起，每一个数与前一个数的差构成了一个等差数列，由此可得结论． 【解答】解：a2﹣a1=5﹣1=4， a3﹣a2=12﹣5=7， a4﹣a3=22﹣12=10，…， 由此可知数列{an+1﹣an}构成以4为首项，以3为公差的等差数列． 所以an﹣an﹣1=3（n﹣1）+1=3n﹣2（n≥2） 迭加得：an﹣a1=4+7+10+…+3n﹣2， 故an=1+4+7+10+…+3n﹣2=， 故答案为：3n﹣2， 【点评】本题考查了等差数列的判断，考查学生分析解决问题的能力，解答此题的关键是能够由数列的前几项分析出数列的特点，属于中档题． 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（原创）（本小题满分12分）已知过点P的直线l交椭圆于M、N两点，B(0，2)是椭圆的一个顶点，若线段MN的中点恰为点P.(Ⅰ)求直线l的方程；

（Ⅱ）求ΔBMN的面积.参考答案：Ⅰ）由点差法可得直线（Ⅱ）19.（本小题满分14分）如图，为抛物线的焦点，为抛物线内一定点，为抛物线上一动点，且的最小值为.(1)求该抛物线的方程；(2)如果过的直线交抛物线于、两点，且，求直线的倾斜角的取值范围．参考答案：解：（1）设，根据抛物线定义知：

故，，抛物线方程为：

……………6分（2）①当直线轴时：方程：

此时,

与矛盾；

……………8分20.如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB=60°且边长为的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD．若G为AD的中点，⑴求证：BG⊥平面PAD；⑵求PB与面ABCD所成角．

参考答案：⑴连接BD，在菱形ABCD中，∠DAB=60°,故△ABD为正三角形,又G为ＡD的中点，所以，ＢG⊥ＡＤ．△PAD为正三角形，G为AD的中点,所以，PG⊥AD

又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以，ＰG⊥面ABD，故PG⊥BG所以，ＢG⊥平面PAD.（2）易知△PBG为等腰直角三角形，可知PB与面ABCD所成角为45。21.已知椭圆，过左焦点F1倾斜角为的

直线交椭圆于两点。求：弦AB的长参考答案：解：22.(本小题满分13分)已知点、,是一个动点,且直线、的斜率之