广东省汕头市澄初级中学2021-2022学年高二数学理期末试卷含解析

广东省汕头市澄初级中学2021-2022学年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设AB=6，在线段AB上任取两点（端点A、B除外），将线段AB分成了三条线段，（1）若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；（2）若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．参考答案：【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CF：几何概型．【分析】（1）本题是一个古典概型，若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为：1，1，4；1，2，3；2，2，2共3种情况，其中只有三条线段为2，2，2时能构成三角形，得到概率．（2）本题是一个几何概型，设出变量，写出全部结果所构成的区域，和满足条件的事件对应的区域，注意整理三条线段能组成三角形的条件，做出面积，做比值得到概率．【解答】解：（1）若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为：1，1，4；1，2，3；1，3，2；1，4，1；2，1，3；2，2，2；2，3，1；3，1，2；3，2，1；4，1，1共10种情况，其中只有三条线段为2，2，2时能构成三角形则构成三角形的概率p=．（2）由题意知本题是一个几何概型设其中两条线段长度分别为x，y，则第三条线段长度为6﹣x﹣y，则全部结果所构成的区域为：0＜x＜6，0＜y＜6，0＜6﹣x﹣y＜6，即为0＜x＜6，0＜y＜6，0＜x+y＜6所表示的平面区域为三角形OAB；若三条线段x，y，6﹣x﹣y，能构成三角形，则还要满足，即为，所表示的平面区域为三角形DEF，由几何概型知所求的概率为：P==2.对于不等式，某同学应用数学归纳法的证明过程如下：（1）当时，，不等式成立；（2）假设当时，不等式成立，即，即当时，，∴当时，不等式成立，则上述证法（

）A.过程全部正确

B.验证不正确C.归纳假设不正确

D.从到的推理不正确参考答案：D点睛：数学归纳法证明中需注意的事项(1)初始值的验证是归纳的基础，归纳递推是证题的关键，两个步骤缺一不可．(2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k到k＋1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误．(3)解题中要注意步骤的完整性和规范性，过程中要体现数学归纳法证题的形式.3.实验测得四组（x，y）的值为（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），则y与x之间的线性回归方程为（）A．y=x+1 B．y=x+2 C．y=2x+1 D．y=x﹣1参考答案：A【考点】BK：线性回归方程．【分析】根据所给的这组数据，取出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入所给的四个选项中验证，若能够成立的只有一个，这一个就是线性回归方程．【解答】解：∵=×（1+2+3+4）=2.5，=×（2+3+4+5）=3.5，∴这组数据的样本中心点是（2.5，3.5）把样本中心点代入四个选项中，只有y=x+1成立，故选A．4.点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是（

）A．

B．C．

D．参考答案：C5.某学校为解决教师的停车问题，在校内规划了一块场地，划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有（）A．种 B．种C．8种 D．2种参考答案：A【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，用捆绑法分析：将4个空车位看成一个整体，并将这个整体与8辆不同的车全排列，由排列数公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，要求有4个空车位连在一起，则将4个空车位看成一个整体，将这个整体与8辆不同的车全排列，有A99种不同的排法，即有A99种不同的停车方法；故选：A．6.已知函数在上是单调增函数，则实数a的最大值是(

)A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：D7.由直线，，与曲线所围成的封闭图形的面积为（）．A． B．1 C． D．参考答案：A，选．8.如果方程表示双曲线，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C9.下面四个命题：①是两个相等的实数，则是纯虚数；②任何两个复数不能比较大小；③若，，且，则；④两个共轭虚数的差为纯虚数．其中正确的有（

）Ａ．1个

Ｂ．2个

Ｃ．3个

Ｄ．4个参考答案：A略10.如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．其中真命题是（）A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③参考答案：C【考点】直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的性质．【分析】点M不在这两异面直线中的任何一条上，所以，过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交，①正确．②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，正确．过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，③不正确．④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，正确．【解答】解：直线AB与B1C1是两条互相垂直的异面直线，点M不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取C1C的中点N，则MN∥AB，且MN=AB，设BN与B1C1交于H，则点A、B、M、N、H共面，直线HM必与AB直线相交于某点O．所以，过M点有且只有一条直线HO与直线AB、B1C1都相交；故①正确．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，此垂线就是棱DD1，故②正确．过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，故③不正确．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，此平面就是过M点与正方体的上下底都平行的平面，故④正确．综上，①②④正确，③不正确，故选

C．【点评】本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积是．参考答案：【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该四棱锥是如图所示的四棱锥S﹣ABCD，其中ABCD是边长为2的正方体，面SAD⊥面ABCD，SA=SD，AD中点为E，SE=4，由此求出外接球的半径，利用球体的表面积公式计算即可．【解答】解：由三视图知该四棱锥是如图所示的四棱锥S﹣ABCD，其中ABCD是边长为2的正方体，面SAD⊥面ABCD，SA=SD，AD中点为E，SE=4，其BC中点G，连结EG、SG，BD∩AC=H，设该四棱锥的外接球球心为O，作OF⊥SE于F，则OH⊥平面ABCD，OF=EH=1，CH=，设OH=x，则SF=4﹣x，∵OS=OC=R，∴OS2=OC2，即（4﹣x）2+1=x2+2，解得x=，∴该四棱锥的外接球半径R==，∴该四棱锥的外接球的表面积S=4πR2=4π×=．故答案为：．12.过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，若以AB为直径的圆与直线x=﹣1相切，则抛物线的方程为．参考答案：y2=4x【考点】抛物线的简单性质．【分析】判断以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，由已知得准线方程为x=﹣2，即可求抛物线的标准方程．【解答】解：取AB的中点M，分别过A、B、M作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、N，如图所示：由抛物线的定义可知，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，在直角梯形APQB中，|MN|=（|AP|+|BQ|）=（|AF|+|BF|）=|AB|，故圆心M到准线的距离等于半径，∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切由已知得准线方程为x=﹣1，∴=1，∴p=2，故所求的抛物线方程为y2=4x．故答案为：y2=4x．13.(不等式选讲)若关于的不等式的解集为,则实数的取值范围为_________.参考答案：略14.已知曲线的参数方程是（为参数，），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是_______________．参考答案：略15.已知直线在两坐标轴上的截距相等.则实数的值为________.参考答案：2或0；

16.在△的边上有个点，边上有个点，加上点共个点，以这个点为顶点的三角形有

个.参考答案：

解析：17.设随机变量服从正态分布,若，则c的值是______．参考答案：1【分析】由题得，解不等式得解.【详解】因为，所以，所以c=1.故答案为：1【点睛】本题主要考查正态分布的图像和性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．参考答案：考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题： 综合题．分析： （1）连接A1C，交AC1于点O，连接OD．由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，由此利用三角形中位线能够证明A1B∥平面ADC1．（2）由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，知BA，BC，BB1两两垂直．由此能求出二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．解答： （1）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD．由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点，又D为BC中点，所以OD为△A1BC中位线，所以A1B∥OD，因为OD?平面ADC1，A1B?平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．…（6分）（2）解：由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，故BA，BC，BB1两两垂直．以BA为x轴，以BC为y轴，以BB1为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D是BC的中点，∴可设AA1=1，AB=BC=2，BD=DC=1，∴A（2，0，0），D（0，1，0），C（0，2，0），C1（0，2，1），∴=（﹣2，2，1），，设平面ADC1的法向量为，则，，∴，∴=（1，2，﹣2），∵平面ADC的法向量，所以二面角C1﹣AD﹣C的余弦值为|cos＜＞|=||=．点评： 本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的求法．解题时要认真审题，注意合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．19.（本小题满分12分）已知小岛A的周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后在C处测得小岛A在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，问有无触礁的危险？参考答案：在三角形ABC中：BC=30，∠B=30°，∠ACB=180°－45°=135°，故∠A=15°由正弦定理得：,故于是A到BC的直线距离是Acsin45°==，大于38海里，无触礁危险。20.在△ABC中，已知A(5,-2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：(1)顶点C的坐标；(2)直线MN的方程；参考答案：(1)设C(x0，y0)，则AC中点M，BC中点N，….3分∵M在y轴上，∴=0，x0=-5。……..4分∵N在x轴上，∴=0，y0=-3。.即C(-5,-3)。………….6分(2)∵M，N(1,0)，∴直线MN的方程为=1，即5x-2y-5=0………4分.21.(本小题满分12分)已知函数，当时，有极大值；（1）求的值；（2）求函数的极小