一元二次不等式及其解法不等式高考一轮数学

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1.一元二次不等式的解法

(1)将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)或ax2+bx+c＜0(a＞0).(2)求出相应的一元二次方程的根.(3)利用二次函数的图象与

确定一元二次不等式的解集.x轴的交点2.一元二次不等式的解集考点分析第1页/共35页第一页，共36页。判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两相异实根x2x2(x1<x2)有两相等实根x1=x2=没有实根ax2+bx+c>0(a>0)的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{

x|x≠}返回目录

{x|x1<x<x2}R第2页/共35页第二页，共36页。返回目录

解下列不等式：（1）-x2-2x-＞0;②8x-1≤16x2.（2）解关于x的不等式：ax2-（a+1）x+1＜0.考点一一元二次不等式解法题型分析第3页/共35页第三页，共36页。返回目录

【分析】(1)题可直接按一元二次不等式的步骤进行求解.（2）题可先分解因式，求出对应方程的根，然后对根的大小进行讨论，从而得不等式的解.【解析】（1）①两边都乘以-3，得3x2-6x+2＜0,∵3＞0,且方程3x2-6x+2=0的解是x1=1-,x2=1+,∴不等式的解集是〔x|1-＜x＜1+〕.②8x-1≤16x216x2-8x+1≥0(4x-1)2≥0,∴x∈R,∴不等式的解集为R.第4页/共35页第四页，共36页。返回目录

(2)原不等式变为(ax-1)(x-1)＜0,当a=0时,不等式的解为x＞1,当a≠0时，不等式变为a(x-)(x-1)＜0,若a＜0,则(x-)(x-1)＞0,∴x＜或x＞1.若a＞0,则(x-)(x-1)＜0,∴当a＞1时,解为＜x＜1;当a=1时,解集为;当0＜a＜1时,解为1＜x＜.第5页/共35页第五页，共36页。返回目录

【评析】解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论；首先根据二次项系数的符号进行讨论；其次根据根是否存在，即Δ的符号进行讨论；最后在根存在时，根据根的大小进行讨论.综上,当a＜0时,不等式的解集为﹛x|x＜或x＞1﹜;当a=0时,不等式的解集为{x|x＞1};当0＜a＜1时,不等式的解集为﹛x|1＜x＜﹜;当a=1时，不等式的解集为;当a＞1时，不等式的解集为﹛x︱

＜x＜1﹜.第6页/共35页第六页，共36页。＊对应演练＊1.解不等式:(-x2+)≥(x2-9)-3x.返回目录

2.已知不等式＞0(a∈R).(1)解这个关于x的不等式；(2)若x=-a时不等式成立，求a的取值范围.第7页/共35页第七页，共36页。1.原不等式可化为-x2+≥x2--3x,即2x2-3x-7≤0.解方程2x2-3x-7=0,得x=.所以原不等式的解集为﹛x︱≤x≤﹜.返回目录

第8页/共35页第八页，共36页。返回目录

2.(1)原不等式等价于（ax-1）（x+1）＞0.①当a=0时，由-（x+1）＞0,得x＜-1;②当a＞0时，不等式化为(x-)（x+1）＞0,解得x＜-1或x＞；③当a＜0时，不等式式化为(x-)（x+1）＜0;若＜-1,即-1＜a＜0,则＜x＜-1;若=-1，即a=-1，则不等式解集为空集；若＞-1,即a＜-1,则-1＜x＜.第9页/共35页第九页，共36页。综上所述，a＜-1时，解集为﹛x|-1＜x＜﹜;a=-1时，原不等式无解；-1＜a＜0时，解集为﹛x︱＜x＜-1﹜;a=0时,解集为{x|x＜-1};a＞0时,解集为﹛x︱x＜-1或x＞﹜.(2)∵x=-a时不等式成立,∴,即-a+1＜0,∴a＞1,即a的取值范围为a＞1.返回目录

第10页/共35页第十页，共36页。返回目录

已知f（x）=x2-2ax+2，当x∈［-1,+∞)时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围.【分析】可以从函数的角度进行考虑，转化为函数求最值问题，也可以从方程的角度考虑，可转化为对方程根的讨论.考点二不等式恒成立问题第11页/共35页第十一页，共36页。【解析】解法一：f（x）=（x-a）2+2-a2，此二次函数图象的对称轴为x=a.①当a∈(-∞,-1)时，结合图象知，f（x）在［-1,+∞）上单调递增，f（x）min=f(-1)=2a+3,要使f（x）≥a恒成立，只需f（x）min≥a,即2a+3≥a,解得a≥-3,又a＜-1,∴-3≤a＜-1;返回目录

第12页/共35页第十二页，共36页。②当a∈［-1,+∞)时，f（x）min=f(a)=2-a2,由2-a2≥a,解得-2≤a≤1,又a≥-1,∴-1≤a≤1.综上所述，所求a的取值范围为-3≤a≤1.返回目录

解法二：由已知得x2-2ax+2-a≥0在［-1,+∞)上恒成立，

Δ＞0a＜-1f(-1)≥0,解得-3≤a≤1.即Δ=4a2-4（2-a）≤0或第13页/共35页第十三页，共36页。返回目录

【评析】解不等式恒成立问题，通常借助于函数思想或方程思想转化为求函数的最值或利用函数的图象或判别式的方法求解.第14页/共35页第十四页，共36页。返回目录

＊对应演练＊已知不等式（m2+4m-5）x2-4（m-1）x+3＞0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.第15页/共35页第十五页，共36页。①若m2+4m-5=0，则m=1或m=-5.显然m=1符合条件，此时原不等式为恒成立的不等式3＞0.m=-5不符合条件.②若m2+4m-5≠0，则原命题等价于

m2+4m-5＞016(m-1)2-12(m2+4m-5)＜0.

解得1＜m＜19.

综上，实数m的取值范围是［1,19）.返回目录

第16页/共35页第十六页，共36页。返回目录

解下列不等式:(1)2x3-x2-15x＞0;(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0;(3).【分析】将多项式分解，用“数轴标根”法，要特别注意对重根情况的处理.较复杂分式不等式,应化成分式不等式的标准形式，即左边为分式，右边为0的形式.再等价转化为整式不等式求解.考点三分式不等式与高次不等式解法第17页/共35页第十七页，共36页。返回目录

【解析】（1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)＞0.把方程x(2x+5)(x-3)=0的三个根x1=0,x2=-，x3=3顺次标在数轴上，然后从右开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图所示的阴影部分.

∴原不等式的解集为﹛x|-＜x＜0或x＞3﹜.

第18页/共35页第十八页，共36页。(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0x+5≠0x≠-5(x+4)(x-2)＞0x＜-4或x＞2，其解集如图的阴影部分.

∴原不等式的解集为{x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2}.返回目录

第19页/共35页第十九页，共36页。返回目录

(3)解法一：原不等式等价变形为

-2≤0.即为，即为,即等价变形为

(2x-1)(x+1)(x+3)(x-1)≥0,x≠-3且x≠1.可得原不等式的解集为如图所示阴影部分﹛x|x<-3或-1≤x≤或x>1﹜.第20页/共35页第二十页，共36页。解法二：原不等式等价变形为≥0.2x2+x-1≥0x2+2x-3>0②2x2+2x-1≤0x2+2x-3<0.解不等式组①得x＜-3或x＞1.解不等式组②得-1≤x≤.由①②得x<-3或x>1或-1≤x≤.综上知原不等式的解集为﹛x|x＜-3或-1≤x≤或x＞1﹜.返回目录

又等价变形为①或第21页/共35页第二十一页，共36页。返回目录

【评析】（1）分式不等式一般化为高次不等式求解：①＞0f(x)g(x)>0;②<0f(x)g(x)<0;f(x)g(x)≥0g(x)≠0;f(x)g(x)≤0g(x)≠0;⑤,若g（x）恒为正（或负）去分母求解，否则化为≥0求解.

（2）高次不等式一般化为形如（x-a1）（x-a2）…（x-an）≥0的形式用穿根法.③≥0④≤0第22页/共35页第二十二页，共36页。返回目录

＊对应演练＊解下列不等式：（1）（x+2）（x2-x-12）＞0;（2）.第23页/共35页第二十三页，共36页。（1）解法一：原不等式化为(x+2)(x+3)(x-4)＞0.返回目录

xx＜-3-3＜x＜-2-2＜x＜4x＞4x+3-++-x+2--++x-4---+(x+3)(x+2）·（x-4）-+-+由上表可知，原不等式的解集为{x|x＞4或-3＜x＜-2}.第24页/共35页第二十四页，共36页。

解法二：由解法一的列表可知，（x+3）（x+2）（x-4）的符号在三个零点-3，-2，4处交替变换，由此可提炼出下面的穿根法：将零点-3，-2，4标在数轴上，然后用一条光滑的曲线从x轴的右端的上方起，依次穿过这些零点，则不等式（x+3）（x+2）（x-4）＞0的解即为曲线在x轴上方所对应的x的值.∴不等式的解集为{x|x＞4或-3＜x＜-2}.返回目录

第25页/共35页第二十五页，共36页。返回目录

设f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）＞0,f(1)＞0,求证：（1）a＞0且-2＜＜-1;（2）方程f（x）=0在（0，1）内有两个实根.【分析】由f（0）>0,f(1)>0入手，建立a，b之间的关系.考点四三个二次之间的关系第26页/共35页第二十六页，共36页。返回目录

【解析】(1)∵f(0)>0,f(1)>0,∴c>0,3a+2b+c>0.由条件a+b+c=0,消去b,得a>c>0;由条件a+b+c=0,消去c,得a+b<0,2a+b>0,故-2<<-1.第27页/共35页第二十七页，共36页。(2)二次函数f(x)=3ax2+2bx+c的顶点坐标为在-2<<-1的两边乘以，得＜<.

又∵f(0)>0,f(1)>0,

而f()=,∴方程f(x)=0在区间(０，)与(,1)内分别有一实根.

故方程f(x)=0在（0，1）内有两个实数根.返回目录

第28页/共35页第二十八页，共36页。【评析】(1)二次函数的图象与x轴的位置关系,需要研究二次方程的Δ的值,分Δ>0,Δ=0,Δ<0三种情况讨论.(2)联系三个“二次”的纽带是坐标思想，函数值y是否大于零等价于点P(x,y)是否在x轴上方.(3)三个“二次”的关系的实质是数形结合思想：ax2+bx+c=0的解y=ax2+bx+c图象上的点(x,0);ax2+bx+c>0的解y=ax2+bx+c图象上的点P(x,y)，其中y>0，即x轴上方的点；ax2+bx+c<0的解y=ax2+bx+c图象上的点P(x,y)，其中y<0,即x轴下方的点.返回目录

对应对应对应第29页/共35页第二十九页，共36页。＊对应演练＊已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f(x)＞-2x的解集为（1，3）.（1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式；（2）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围.返回目录

第30页/共35页第三十页，共36页。返回目录

(1)因为f（x）+2x＞0的解集为（1，3），所以f（x）+2x=a（x-1）（x-3），且a＜0.因而f（x）=a（x-1）（x-3）-2x=ax2-（2+4a）x+3a.①由方程f（x）+6a=0，得ax2-（2+4a）x+9a=0.②因为方程②有两个相等的根，所以Δ=［-(2+4a)］2-4a·9a=0，即5a2-4a-1=0.解得a=1或a=-.由于a＜0,舍去a=1.将a=-代入①得f（x）的解析式f（x）=-x2-x-.第31页/