电网络分析 第三章 网络函数

2023/2/7电网络分析第三章第三章网络函数

网络函数是描述线性时不变网络(零初始条件)输入－输出关系的复频域函数2023/2/7电网络分析第三章3－1.网络函数及其极点和零点一、网络函数

由若干独立电（压、流）源激励的线性时不变网络，设其中电容电压、电感电流的初始值为0，以节点电压方程1.网络节点方程为

分别为节点导纳矩阵、支路导纳矩阵

分别为支路电流源电流、支路电压源电压、节点电源电流和节点电压象函数向量：2023/2/7电网络分析第三章3－1.网络函数及其极点和零点2023/2/7电网络分析第三章3－1.网络函数及其极点和零点

的行列式；

为的余因子（代数余子式），

N为独立节点数。

节点k

的节点电压为2023/2/7电网络分析第三章3－1.网络函数及其极点和零点2、结论

线性时不变网络中任意零状态响应的象函数可以表示为各激励象函数的线性组合

为第j响应的象函数；

为激励的象函数，q为网络的激励源数；

是表征零状态响应象函数和激励象函数之间关系的复频变量s的函数2023/2/7电网络分析第三章3－1.网络函数及其极点和零点3、网络函数线性时不变网络在单一激励源作用下，某一零状态响应的象函数与激励象函数之比称为网络函数。二、网络函数的零点和极点

一般情况下

为网络函数的零点为网络函数的极点2023/2/7电网络分析第三章3－1.网络函数及其极点和零点三、网络函数的零极点与网络的特性

1、网络函数的零极点与网络的暂态特性

极点决定冲击响应的波形，而冲击响应的幅度大小由零、极点共同决定。网络函数的零极点决定了网络的自然暂态特性。

2、网络的频率特性和网络函数零、极点关系（稳态）

幅频特性

相频特性2023/2/7电网络分析第三章3－1.网络函数及其极点和零点3、由零极点图直接求幅频特性和相频特性2023/2/7电网络分析第三章3－2.多端口网络的网络函数

端口电压电流向量2023/2/7电网络分析第三章3－2.多端口网络的网络函数1、开路阻抗矩阵

阻抗参数矩阵，该阻抗的（j,k）元素为称为开路阻抗，当j=k时称为策动点阻抗当jk时为转移阻抗2023/2/7电网络分析第三章3－2.多端口网络的网络函数2、短路导纳矩阵

导纳参数矩阵，其（j,k）元素为称为短路导纳矩阵；当为策动点导纳当为转移导纳

2023/2/7电网络分析第三章3－2.多端口网络的网络函数3、转移函数矩阵输入变量向量为（电压或电流）输出变量向量为（电压或电流）2023/2/7电网络分析第三章3－2.多端口网络的网络函数

为矩阵其(j,k)元素为

可以是转移阻抗，转移导纳，转移电压比，转移电流比。故此H(s)称为转移函数矩阵。2023/2/7电网络分析第三章3－3.不定导纳矩阵一、不定导纳矩阵的定义和特性

1、不定导纳矩阵

基于网络的线性性质，端电流可用端电压的线性组合表示，即写成矩阵方程，有2023/2/7电网络分析第三章3－3.不定导纳矩阵

称为不定导纳矩阵，其（j,k）元素为

等于所有其它端均接地时由j端看进去的第j端策动点导纳；

等于除k端外所有其它端均接地时从k端至第j端的转移导纳。2023/2/7电网络分析第三章3－3.不定导纳矩阵2、不定导纳矩阵的零和特性

证2023/2/7电网络分析第三章3－3.不定导纳矩阵

3、不定导纳矩阵的等余因子特性不定导纳矩阵所有的一阶代数余子式均相等——等余因子矩阵。二、原始不定导纳矩阵的直接形式

设网络N的每一节点均为可及节点，并连接有一引出端，这样的多端网络的不定导纳矩阵称为网络N的原始不定导纳矩阵（primitiveindefiniteadmittancematrix）

2023/2/7电网络分析第三章3－3.不定导纳矩阵1.二端导抗元件2023/2/7电网络分析第三章3－3.不定导纳矩阵2.电压控制电流源2023/2/7电网络分析第三章3－3.不定导纳矩阵3.回转器2023/2/7电网络分析第三章3－3.不定导纳矩阵4.耦合电感元件2023/2/7电网络分析第三章3－3.不定导纳矩阵5.理想变压器2023/2/7电网络分析第三章3－3.不定导纳矩阵6、观察法写出原始不定导纳矩阵步骤

（1）写出所有的二端导元件对原始不定导纳矩阵的贡献部分，并将位于该矩阵同一元处的各参数相加，仅由所有二端导抗元件而构成的子网络的原始不定导纳矩阵为：2023/2/7电网络分析第三章3－3.不定导纳矩阵（2）写出各类二端元件（VCCS，回转器，耦合电感元件，理想变压器等）对原始不定导纳矩阵的贡献。（3）将由以上步骤所得的各类元件对原始不定导纳矩阵的贡献相加，即得原始不定导纳矩阵。例题3-2

2023/2/7电网络分析第三章3－3.不定导纳矩阵相应地向量方程中删除三、Yi（s）随端部处理的变换

1、端子压缩

由1，2端压缩而得（n-1）端网络的不定导纳矩阵Y’i(s)为2023/2/7电网络分析第三章3－3.不定导纳矩阵2、端子消除

保留端的端电流，端电压向量为消除端的端电流，端电压向量为

消除端的电流为0，故2023/2/7电网络分析第三章3－3.不定导纳矩阵

如果仅消除编号为k的一个端子，删除原不定导纳的第k行第k列，且其余元变为消除两个或两个以上端子时，也可以用上述方法逐个消除2023/2/7电网络分析第三章3－3.不定导纳矩阵3、多端网络相并联

将两个多端网络的每一组编号相同的对应端并接在一起，从连接点引出一端线，这就是两个多端网络的并联。显然，这时两个多端网络的电位参考点是共同的。

由两个多端网络相并联而成的多端网络的不定导纳矩阵，等于原来两个多端网络的不定导纳之和。

基于两个多端网络相并联的分析，可推论至三个或更多的多端网络相并联。2023/2/7电网络分析第三章3－3.不定导纳矩阵4、端子接地

如将n端网络的某一端

（例如第n端）接地，

删除中的第n列（）,由KCL，第n方程为冗余方程，删除第n行及电流向量中的元,该(n-1)阶矩阵称为原n端网络的端子n为接地端时的2023/2/7电网络分析第三章3－3.不定导纳矩阵定导纳矩阵（definiteadmittancematrix,DAM）[从第1端至（n-1）端分别与第n端配对而形成（n-1）端口网络的短路导纳矩阵]四.用不定导纳矩阵分析含运算放大器的有源网络

1、运放的数学模型是VCVS2023/2/7电网络分析第三章3－3.不定导纳矩阵对于不考虑VCVS接入时网络的IAM方程为2023/2/7电网络分析第三章3－3.不定导纳矩阵将代入上式并消除之，此时方程组变量数减至(n-1),需要在原n个方程中删去一个冗余方程，删除，再考虑到d端接地(

)网络方程变为(n-2)阶矩阵为DAM2023/2/7电网络分析第三章3－3.不定导纳矩阵规则：开环增益A乘以c列(c为运放输出端)加至a列(a为运放同相输入端)；

－A乘以c列加至b列(b为运放反相输入端)。删去原c列和c行。删去原d列和d行(d为运放接地端)2023/2/7电网络分析第三章3－3.不定导纳矩阵2、理想运放删除和b列，将b列加至c列，删除电流，再考虑到d

端接地，DAM表示的网络方程为

2023/2/7电网络分析第三章3－4.网络函数的拓扑公式以节点分析为例，首先研究网络函数的代数表达式，进而提供储用拓扑分析求网络函数的方法。一、网络函数的代数表达式选1’端为电位参考点，写出网络节点电压方程为：节点电压向量2023/2/7电网络分析第三章3－4.网络函数的拓扑公式

为的行列式，为中元素的代数余子式。所求策动点阻抗为:网络函数的分子多项式和分母多项式的计算可转化为矩阵行列式和代数余子式的计算。2023/2/7电网络分析第三章3－4.网络函数的拓扑公式二、网络函数的拓扑公式（topologicalformulas）(一)、节点导纳行列式△的拓扑公式节点导纳矩阵A－关联矩阵，Yb－支路导纳矩阵1、比内－柯西（BinetCauchy）定理设C、D分别为p×q和q×p矩阵；且p≤q,2023/2/7电网络分析第三章3－4.网络函数的拓扑公式则以上二矩阵相乘所得矩阵的行列式：式中分别为矩阵C、D的第j大子式（major）。大子式是矩阵的最高阶子式。即最大方子阵的行列式。其中是对应的；若是从C中选择1、2、4列而得大子式，则就式从D中选择1、2、4行而得的大子式。P.122.例3－72023/2/7电网络分析第三章3－4.网络函数的拓扑公式2.定理2－5（P.58）

连通图G的关联矩阵A的一个N阶子矩阵式非奇异的充要条件是，此矩阵的列对应于图G的一个树支。关联矩阵A的任一非奇异N阶子矩阵的行列式（即大子式）之值等于±1，它是由该N阶子矩阵中每一列的一个非零元（＋1或－1）相乘而得。3、△的拓扑公式△＝detAYbAT＝2023/2/7电网络分析第三章3－4.网络函数的拓扑公式式中T(y)表示网络的一个树的树支导纳的乘积，称为树导的纳积。（freeadmiffaceproduct）或简称为“树积”（treeproduct）。4、网络的全部树1）判断树的总数关联矩阵A的连通图G，其树的总数为树数＝det（AAT）证：det(AAT)=2023/2/7电网络分析第三章3－4.网络函数的拓扑公式对于全通图，树数＝，其中为图的节点数2）用穷举法找出全部树对于具有B条支路，（N+1）各节点的图，树支数为N，在B支路中取N支路的全部可能组合数为用穷举法列出以上全部组合，并根据树的定义，排除其中的N条支路形成回路的组合，其余的支路集合即为G的全部树。2023/2/7电网络分析第三章3－4.网络函数的拓扑公式（二）节点导纳行列式的对称代数余子式△jj

的拓扑公式：式中表示从矩阵A中划去第j行后得到的矩阵1、2－树（k－树）节点数为的连通图G的一个2－树是从G的一个树T中去掉任一树支而得到的一个子图G。2－树包括图G的全部节点。2－树具有－2条支路，不含任何回路。2－树由2个分离的子图组成，每一子图是一个连通图，有一个子图可为孤立节点。2023/2/7电网络分析第三章3－4.网络函数的拓扑公式3、△jj的拓扑公式

是将网络N的节点j与参考节点d短接后得到的，故的节点为,与网络N的2－树的树支数相等。的一个树的树导纳积，应等于网络N的一个j,d分别属于不同分离部分的2－树的树支导纳的积2023/2/7电网络分析第三章3－4.网络函数的拓扑公式d为参考接点，2-树（j，d）表示节点j,d分别属于不同分离部分的2－树，则代表这种2－树的树支导纳积。P.127图3－32说明（三）节点导纳行列式的不对称代数余子式△jj的拓扑公式从Yn(s)行列式中划去第i行第j列元Yij所在的行和列，余下的元素构成的行列式为Yij的余子式，记作Mij

，则Yij的代数余子式为2023/2/7电网络分析第三章3－4.网络函数的拓扑公式

式中表示一个2－树(ij,d)的树支导纳积2023/2/7电网络分析第三章3－4.网络函数的拓扑公式（四）策动点函数和转移函数的拓扑公式1、策动点函数的拓扑公式策动点导纳2023/2/7电网络分析第三章3－4.网络函数的拓扑公式2、转移函数的拓扑公式节点电压方程为：2023/2/7电网络分析第三章3－4.网络函数的拓扑公式故转移阻抗函数转移导纳函数2023/2/7电网络分析第三章3－4.网络函数的拓扑公式转移电压比函数转移电流比函数观察一个2－树(ij,d)和另一个节点k，节点k必定包含在ij所在分离部分或d所在分离部分中，因此，全部2－树(ijk,d)与全部2－树(ij,dk)的总和应等于全部2－树(ij,d),故有2023/2/7电网络分析第三章3－4.网络函数的拓扑公式

因此故：转移函数的最小工作量拓扑公式为：2023/2/7电网络分析第三章3－4.网络函数的拓扑公式2023/2/7电网络分析第三章3－4.网络