西安交大线性代数期末考题-线性代数与几何试题集合

线性代数与几何试题集合08年1月A卷一、08年1月A卷(1).若矩阵,则=.(2).已知,则迹=.(3).若向量组线性相关,则=.(4).设矩阵为正定矩阵，则的取值范围是.二、单项选择题(每小题4分,共16分)(1).设，则必有(A).(B).(C).(D).【】(2).直线和直线(A)重合.(B)相交.(C)平行.(D)异面.【】(3).只有零解的充分必要条件是(A)的列向量线性相关;(B)的行向量线性相关;(C)是行满秩的;(D)是列满秩的;【】(4).设矩阵，则＝(A).(B).(C).(D).【】三、(12分)写出以为顶点，为准线的锥面方程。并指出其在平面上的投影曲线的名称。四、(12分)取何值时,线性方程组有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时,求出该方程组的结构式通解.五、(12分).设二次型，其中(1)写出二次型的矩阵;(2)求一个正交矩阵，使成对角矩阵;(3)求一个合同矩阵，写出在线性变换下的规范形.六、(12分)向量组，,能否由向量组，，线性表示。若能，求出它们的表达式。七、(10分)(注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题)设数域上的三维线性空间中定义的两个运算是和，即，，且是的一个基，是的零元，若,,(1)求的基与维数。(2)若中的线性算子的矩阵，求和的一个基。八、(10分)设，,且，（1）求的特征值，（2）求可逆阵及对角阵，使.07年1月A卷一、07年1月A卷(1).若矩阵,则=.(2).若向量组的秩为2,则=.(3).设矩阵,已知齐次线性方程组的基础解系含有两个向量，则=.(4).设矩阵为正定矩阵，则的取值范围是二、单项选择题(每小题3分,共12分)(1).设两个非零矩阵,满足，则必有(A)的列向量组线性相关.(B)的列向量组线性无关.(C)的列向量组线性相关.(D)的列向量组线性无关.【】(2).曲线绕轴旋转一周所形成旋转面的名称是(A)单叶双曲面.(B)双叶双曲面.(C)椭圆面.(D)抛物面.【】(3).已知3阶矩阵的特征值为1，2，3，则必相似于对角矩阵(A);(B);(C);(D);(4).设矩阵，则＝(A).(B).(C).(D).【】三、(12分)设方阵满足,其中，求矩阵.四、(12分)已知直线，直线.（1）记的方向向量为，求过且与平行的平面的方程.（2）求与与的公垂线的方程.五、(12分)、取何值时,线性方程组有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时,求出该方程组的结构式通解.六、(12分).设二次型,(1)写出二次型的矩阵;(2)求一个正交矩阵,使成对角矩阵;(3)写出在正交变换下化成的标准形.七、(12分)设矩阵的全部特征值之积为24.(1)求的值；(2)讨论能否对角化，若能，求一个可逆矩阵使为对角阵。八、(10分)(注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题)(1)在中所有2阶实对称矩阵所组成的集合构成的一个子空间.证明元素组是的一个基.(2)设是上的线性算子，在的基（Ⅰ）：下的矩阵为,求在的基（Ⅱ）：下的矩阵九、(6分)设为阶方阵，且.证明:的充分必要条件是.07年1月A卷07年1月A卷答案一、(满12分)(1).72.(2).-2(3).1.(4)..二、(满12分)(1).(A)(2).(B)(3).(D);(4).(B)三、(满12分)解因，两端同乘A，,化简得，.四、(满12分)解（1）.（2分），平面的法向量为，（4分），故平面方程为.（6分）（2）将代入得，交点.（10分）故与的公垂线的方程.（12分）五、(满12分)解增广矩阵当时，，方程组有唯一解，（6分）当，且时，，方程组无解（8分）当且时，,该方程组有无穷多解，其结构式通解为,.(12分)六、(满12分)解(1);（2分）(2)特征值为，（5分）当时特征向量为，当时，，取为正交矩阵，可,使;（11分），

一、填空题(每小题3分，共12分)07年1月B卷(1)设,B=，其中P为3阶可逆矩阵，则=__07年1月B卷(2)设A=是实正交矩阵，且=1,b=,则线性方程组的解是______(3)设n阶方阵的秩为,则(4)已知向量,则与它们都垂直的一个单位向量是___二、单项选择题(每小题3分，共12分)(1)设矩阵B=，已知，则等于(A)2.(B)3.(C)4.(D)5.【】(2)设4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵的秩为(A)0.(B)2.(C)3.(D)4.【】(3)设向量组可由向量组线性表示，则当时，向量组II必线性相关.当时，向量组II必线性相关.当时，向量组I必线性相关.当时，向量组I必线性相关.【】(4)n阶方阵A有n个两两不同特征值是A与对角矩阵相似的(A)充分必要条件.(B)充分而非必要的条件.(C)必要而非充分的条件.(D)既不是充分也不是必要条件.【】三、(12分)求向量组

,,,,四、（12分）计算n阶行列式Dn的值，其中五、（12分）已知齐次线性方程组,其中.讨论和b满足何种关系时,

(1)方程组仅有零解；

(2)方程组有非零解。在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。六、(13分)已知两条直线的方程分别为两直线是否共面？如共面，求两直线所在平面的方程。(2)两直线是否有交点？如有交点，求出交点的坐标。七、（13分）设A=的一个特征值为3，（1）求y的值；(2)求可逆方阵P，使为对角阵。八、(8分)（注意：学习过第8章“线性变换”者做第2题，其余的做第1题）.1、设,,和都是的解空间的维数与一个标准正交基。2、设,T在V的基e1,e2,e3下的矩阵为，求T在基,,下的矩阵.九、（6分）证明：r(A)1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT使AabT06年1月A卷juan06年1月A卷juan06年1月A卷juan06年1月A卷juan(1).若向量组线性相关,则常数=.(2).若矩阵的伴随矩阵,则=.(3).已知为3维向量,,则=.(4).已知是齐次线性方程组的基础解系,则向量组也可作为的基础解系的充要条件是常数满足条件.二、单项选择题(每小题3分,共12分)(1).设矩阵,则(A)为正交矩阵.(B)为正交矩阵.(C).(D).【】(2).已知矩阵相似于对角矩阵,则等于(A)0.(B)2.(C)-2.(D)6.【】(3).设矩阵的伴随矩阵的秩为1,则(A).(B)且.(C).(D)且.【】(4).的子空间的维数是(A)1.(B)2.(C)3.(D)4.【】三、(12分)设3阶方阵、满足,(1)证明矩阵可逆;(2)当时,求.四、(13分)、取何值时,线性方程组有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时,求出方程组的结构式通解.五、(12分)两直线与是否共面？若共面，求它们所确定平面的一般式方程.六、(12分)设3阶矩阵的特征值为,是依次对应的特征向量，设方阵，求的特征值、特征向量及.七、(13分)设矩阵,(1)写出二次型的矩阵;(2)求一个正交矩阵,使成对角矩阵;(3)写出在正交变换下化成的标准形.八、(8分)(注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题)(1)设的子空间由向量组生成,求的基与维数.(2)设为3维线性空间的基,上的线性算子在该基下的矩阵为,求的值域的基与维数、的核的基.九、(6分)设、均为阶正定矩阵.证明:关于的方程的根全大于零.06年1月B卷juan06年1月B卷juan,则的值为.、均为可逆方阵,则=.无解,则常数.是矩阵的属于特征值的特征向量,则常数的基础解系是二、单项选择题(每小题3分,共15分)1.设向量,,矩阵,则等于....【】为3阶方阵,则的充分必要条件是的列向量组线性无关.的行向量组线性相关.的秩为3.中有两行对应成比例.【】,其中为3维行向量(),矩阵,则必有....4.设向量组线性相关,而向量组线性无关,则向量组的极大无关组是....【】5.阶方阵正定的充要条件是.的个特征值均大于零.有个线性无关的特征向量.为对称阵.【】三、(12分)求过三个平面的交点，且平行于平面的平面方程。四、(12分)当、为何值时,线性方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在其有无穷多解时，求出结构式通解.五、(12分)求向量组，，，，的极大线性无关组与秩，并将其余向量用极大无关组线性表示.六、(10分)已知矩阵，求.七、(10分)判定下面的二次型是否正定八、(8分)(注意:学习过第8章“线性变换”者做第(2)题,其余同学做第(1)题).(1)若三阶方阵有三个互不相等的特征值，设，求：.(2)设，定义为，.求：的值域与的秩，的核与T的零度.九、（6分）证明：阶实矩阵为正定矩阵的充要条件，是存在个线性无关的实向量，使得05年1月A卷juan05年1月A卷juan(1)若3阶方阵、的行列式分别为，则__________.(2)设4阶可逆方阵按列分块为，方阵，已知线性方程组有唯一解为，则方程组的解为=__________.(4)(3)设3阶实对称矩阵的特征值为，及均为的对应于特征值2的特征向量，则的对应于特征值的特征值向量为_________________.(4)设矩阵，已知线性方程组无解，则常数与满足的关系式是____________.二、单项选择题(每小题3分，共12分)(1)设阶方阵的秩为，矩阵的秩为，则(A).(B).(C).(D).【】(2)设方阵与相似，即存在可逆方阵，使，已知为的对应于特征值的特征向量，则的对应于特征值的特征向量为(A).(B).(C).(D).【】(3)设为实对称矩阵，则是为正定矩阵的(A)充分而非必要条件.(B)必要而非充分条件.(C)充分必要条件.(D)既非充分又非必要的条件.【】(4)设是齐次线性方程组的基础解系，则向量组(A)不能作为的基础解系.(B)可作为的基础解系.(C)可作为的基础解系.(D)不能作为的基础解系.【】三、(12分)已知方阵的第1行元素分别为，，，且知，求及.四、（12分）设有向量组(I)：，，，.问向量能否表示成向量组(I)的线性组合？若能，求出此表示式.五、（12分）求直线：在平面：上的投影直线（即上各点在上的垂足点全体所形成的直线）的方程.六、(13分)已知矩阵相似于对角矩阵.(1)求常数、的值；(2)求一个可逆矩阵，使.七、（13分）求一个正交变换，将二次型化成标准形，并指出二次曲面的名称.八、(8分)（注意：学习过第8章“线性变换”者做第2题，其余的做第1题）.1.设矩阵，，，.证明：元素组线性无关，而线性相关，并指出数域上线性空间+|的基与维数.2.设为上的线性算子，定义为,求在的基：下的矩阵，并指出的秩及的零度.九、（6分）设阶方阵的秩为.证明：的伴随矩阵相似于对角矩阵的充要条件是，其中为的元素的代数余子式.05年1月A卷juan05年1月A卷juan一、填空题(每小题3分，共12分)(1)若3阶方阵的行列式为，则________.(2)设为的矩阵，秩，已知方程组有两个不等的特解，则方程组的通解为=__________.(3)设3阶实对称矩阵的特征值为，又为的对应于特征值1的特征向量，则为_________________.(4)设，已知非零矩阵满足，则=_______.二、单项选择题(每小题3分，共12分)(1)设阶方阵的秩为，则矩阵的秩为(A).