概率论与数理统计第一章(黄色背景)

概率论与数理统计任课教师:姚香娟一、概率论的起源概率论的起源之一是博奕问题。15～16世纪意大利数学家帕乔利(Pacioli)、塔尔塔利亚(Tartaglia)和卡尔达诺的著述中曾讨论过“如果两人赌博提前结束，该如何分配赌金”等概率问题。1654年左右，爱好赌博的法国人梅雷（A．G．C．deMere）向帕斯卡提出了类似的合理分配赌金问题，引发了帕斯卡与费马之间探讨概率论问题的多封通信，他们用不同的组合方法给出了这类问题的正确答案。荷兰数学家惠更斯（C．Huygens，

1629～1695）访问巴黎时了解到帕斯卡与费马的通信研究，对这类问题产生兴趣并著《论赌博中的计算》

(1657）探讨概率问题的原理。这些数学家主要以代数方法计算概率，他们的著述中出现了第一批概率论专门概念（如数学期望）与定理（如概率加法、乘法定理），标志着概率论作为一门科学的诞生。

二内容与学时第一章——第五章第六章——第八章概率论数理统计如何学习概率统计?1.认识其重要性,培养浓厚的学习兴趣2.学数学最好的方式是做数学读、听、作

在科学上没有平坦的大道,只有不畏劳苦沿着陡峭山路攀登的人,才有希望到达光辉的顶点.马克思3.学习要求:预习听课(记笔记)复习、巩固教材：《概率论与数理统计》，周圣武编，煤炭工业出版社1、《概率论与数理统计》，同济版2、《概率论与数理统计》，华东师范大学数学系

参考书:三、教材与参考书另注：历年考题和作业习题册将近期印刷，自愿购买，近乎成本价。以班级为单位购买。购买时间：第十二周周三下午4点。地点：理A312

四、作业及答疑交作业时间：每周周二上课之前答疑：地点：教1-C300(答疑室)时间：周三7-8节课（第14-20周）考前答疑的具体时间另行通知五、考核方式1、平时成绩（40%）

平时成绩由作业及出勤、测验、实验三部分组成，各部分成绩在总成绩中的占比分别为20%、15%、5%。注：测验1次（提前1~2周通知）。测验时，要严格自律，不允许抄袭。如因抄袭而引起的相关成绩问题，学生自己承担责任；因请假没能参加测验的学生，要进行补测；没请假，无故不参加测验的学生不能补测。

2、考试成绩（60%）

六、其他根据学校有关规定：未经主讲教师批准学生缺课累计超过该门课程总学时的三分之一（或缺课累计超过该门课程考勤次数的三分之一），或学生未交作业达到该门课程作业总量三分之一的，不得参加该课程的考核。注：请假必须持有学生所在院系相关负责人签字盖章的请假条。自然界和社会中有两类现象：①确定性现象：在一定条件下必然发生的现象例

抛一石子必然落下；（结果可以事先预言的）②随机现象：在个别试验中其结果呈现出不确定性在大量的重复观察中又具有某种统计规律性的现象。（结果不可事先预言）例

抛一枚硬币，落下时正面朝上或反面朝上；绪言同性电荷互斥

第一章第1节随机事件及其运算一、随机试验二、样本空间与随机事件三、事件间的关系及其运算（重点）一、随机试验对随机现象进行观察的试验1、可以在相同的条件下重复进行；2、试验的可能结果不止一个，并且在试验前能预先知道全部可能结果；3、在每次试验前不能预先知道哪个结果会出现。E1

:抛一枚硬币，观察出现正反面情况。例：E2

:将一枚硬币连抛三次，观察出现正反面的情况。E4:在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命。

E3

:记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数。E(experimentation)，具有以下特点：二、样本空间与随机事件定义1随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记为S

,样本空间的元素,即E的每个结果，称为样本点,记为e。例如上页引例中：={H,T}={HHT,HHH,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}有限个样本点可列无穷个={0,1,2,3……}={t|t≥0}连续、不可列Ⅰ.样本空间S1

S2

S3

S4

例：将一枚硬币连抛三次1)观察正反面出现的情况,2)观察正面出现的次数,Ⅱ.随机事件定义2样本空间中的子集称为随机事件，简称事件，

一般记为A,B,C等。A—点数之和为7,例：抛两个骰子，骰子可分辨，观察其出现的点数，注意：样本空间的元素是由试验目的所决定的。={HHH,HHT……}S1

={0,1,2,3}S2

S={11,12,13,……,61,……,66}A={16,25,34,43,52,61}特殊随机事件：3.基本事件：一个样本点组成的单点集(试验E的每个可能结果）例：有两个基本事件{H}和{T}1.必然事件：每次试验中必然发生的事件,记为S。2.不可能事件：每次试验一定不发生的事件,记事件A发生A中的某一个样本点在试验中出现①包含、相等关系A发生必然导致B发生1.事件的关系三、事件间的关系及其运算（重点）事件B包含事件AA与B相等，记为A=B。②事件的和A和B的和事件表示A与B中至少有一个发生，即：A与B中至少有一个发生时，发生。③事件的积表示事件A和B同时发生，即：且A与B的积事件当且仅当A与B同时发生时，通常简记为AB。发生。④事件的差A-B表示事件A发生但事件B不发生但⑤互斥事件(互不相容)，则称A,B为互不相容事件即：A、B不能同时发生。⑥对立事件(逆事件)基本事件都互不相容。A与B的差事件且，则称事件A与B互为逆事件或互为对立事件。A的对立事件记为,=S-A。2.事件的运算法则①交换律；②结合律③分配律④德·摩根律：；推广：;①，，，则，设②③注：事件的一些关系式

例1.设A,B,C表示三个事件,试表示下列事件(1)A发生,B与C不发生(2)A与B发生,C不发生(3)A,B与C都发生(4)A,B与C至少有一个发生(5)A,B与C全不发生(6)A,B与C至少有两个发生例2

以A表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则为(A)甲滞销，乙畅销(B)甲乙两种产品均畅销(C)甲种产品畅销(D)甲滞销或乙畅销解设B=“甲产品畅销”，C=“乙产品畅销”则，故选(D)例3

关系()成立，则事件A与B为对立事件。(a)(b)(c)(d)与为对立事件(c)显然成立，(d)也成立。解释(d)：例4.在掷子的试验中,样本空间事件A—出现偶数点,事件B—出现奇数点事件C—出现点数大于4,事件D—点数大于5求:解:∵A={2,4,6},B={1,3,5},C={5,6}

D={6}A与B为对立事件二、概率的统计定义一、频率第2节频率与概率三、概率的公理化定义重点掌握利用关系式计算概率一个事件在某次试验中的出现具有偶然性，但在大量重复试验中随机事件的出现呈现出一定的数量规律，频率这一概念近似反映了这个数量规律。1.定义1

设E,S,A为E中某一事件，在相同条件下进行n次独立重复试验，事件A发生的次数记为称为A的频率。(frequency)2.性质：0≤≤1一、频率则比值若两两互不相容结论：当n较小时，频率呈偶然性，波动性很大；随着n的增加，波动幅度减小，最后集中在某一个数附近。历史上著名的统计学家蒲丰和皮尔逊曾进行过大量掷硬币的试验，所得结果如下：试验者蒲丰皮尔逊皮尔逊次数正面的次数正面的频率404020480.50691200060190.501624000120120.5005这种现象称为频率稳定性，也就是通常所说的统计规律性，频率稳定值注：试验次数越多，并不说明越精确，只能说明波动范围越小。即概率的统计定义。二、概率（概率的公理化定义）1.定义设E,S

,对于E的每一事件A，赋予一个实数，记为P(A),称为事件A的概率,如果P(·)满足以下三个公理：⑴非负性：⑵规范性：⑶可列可加性：2.性质：故由可列可加性又因为≥0，有限可加性其中两两互不相容。，则证明

取所以如果则①≤②证明

且A和B－A互不相容得①式成立；，0≤≤1证明推广：(加法公式)BA提示：可用归纳法证明例1.

已知证明:例2、解：例3

某人外出旅游两天，据天气预报知：第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，两天都下雨的概率为0.1,试求下列事件的概率：(2)第一天不下雨，第二天下雨(4)两天都不下雨；(1)第一天下雨，第二天不下雨(3)至少有一天下雨解：设A—第一天下雨，B—第二天下雨则(5)至少有一天不下雨(1)(2)(3)(4)(5)例4

(订报问题)在某城市中，共发行三种报纸A，B，C，订购A，B，C的用户占用分别为45%，35%，30%，同时订购A，B的占10%，同时订购A，C的占8%，同时订购B，C的占5%，同时订购A，B，C的占3%，试求下列事件的概率：(1)只订购A的(2)只订购A，B的(3)只订购一种报纸的(4)只订购两种报纸的(5)至少订购一种报纸的(6)不订购任何报纸的解

设A，B，C分别表示“用户订购A，B，C报纸”(1)(2)(3)﹏﹏﹏﹏﹏﹏两两互不相容的(4)﹏﹏﹏﹏﹏﹏两两互不相容(5)(6)例5

已知求A,B,C中至少有一个发生解的概率。例6

证明证例7，求解

第一章第3节等可能概型（古典概型）一、等可能概型的定义二、计算公式三、计算方法1.定义：具有以下两个条件的随机试验称为等可能概型，有限性试验的样本空间中的元素只有有限个；等可能性每个基本事件的发生的可能性相同。例：E1—抛硬币,观察哪面朝上2.计算公式：①等可能概型也称为古典概型。E2—投一颗骰子，观察出现的点数={H,T}S1

={1,2,3,4,5,6}S2

②若事件A包含k个基本事件，即其中(表示中的k个不同的数)则有例1

投两枚骰子，事件A——“点数之和为3”，求解法一：出现点数之和的可能数值111221×∵不是等可能的法二：36个∴要注意对于用的时候要两个条件都满足。例2

投两枚骰子，点数之和为奇数的概率。解

令A——点数之和为奇数法一，36个18个法二，所有可能结果(奇,奇)，(奇,偶)，(偶,奇)，(偶,偶)A={(奇,偶)，(偶,奇)}∴说明样本空间的选取可以不同，但必须保证等可能。3.方法：构造A和S的样本点(当样本空间S的元素较少时，先一一列出S和A中的元素，直接利用求解)用排列组合方法求A和S的样本点个数预备知识Ⅰ.加法原理：完成一项工作m类方法，第i类方法有种，(i=1,2,m)，则完成这项工作共有：种方法。Ⅱ.乘法原理：完成一项工作有m个步骤，第i步有，则完成该项工作一共有：种方法。种方法（i=1,2,…,m)Ⅲ.排列：从n个元素中取出r个元素，按一定顺序排成一列，称为从n个元素里取出r个元素的排列。(n，r均为整数)进行排列，共有①(无放回选取)从n个不同元素中无放回的取出m个(m≤n)﹏﹏﹏﹏﹏种方法。②(有放回选取)从n个不同元素中有放回地抽取r个，依﹏﹏﹏﹏﹏次排成一列，称为可重复排列，一共有Ⅳ.组合从n个元素中无放回取出r个元素，不考虑其顺序，组合数为或,例：袋中有三个球，标号1,2,3，任取两次①无放回，考虑顺序{12,13,21,23,31,32}

无放回，不考虑顺序{12,13,23}②有放回，考虑顺序{11,12,13,21,22,23,31,32,33}例3

6只不同球(4白2红)，从袋中依次取两球，观察其颜色。分别做a.有放回抽样b.不放回抽样，(1)“取到的两只球都是白球”(2)“取到的两只球颜色相同”(3)“取到的两只球中至少有一个是白球”解

a.

(1)(2)(乘法原理)S：6×6=36求下列事件的概率：(3)表示“两只都是红球”，若直接考虑：(1)(2)(3)b.无放回(考虑先后顺序)思考：如果不考虑顺序呢？例4.某教研室共有11名教师,其中男教师7人,现在要选3名优秀教师,问其中至少有一女教师概率解(方法一)设A=“3名优秀教师中至少有一名女教师”=“3名优秀教师中恰有名女教师”则方法二设A=“3名优秀教师全是男教师”注：在使用排列组合时，分子分母要保持一致。例6(分房问题)

将r个球随机地放入n(n>r)个盒子中，设各个球放入每个盒子是等可能的，解求：每个盒子至多有一个球的概率。将r个球放入n个盒子，每一种方法是一个基本事件例5

袋中有a只黑球和b只白球，k个人把球随机的一只只摸出来，求第k个人摸出的是黑球的概率。解

将k个人取球的每一种取法看成一个样本点例7(生日问题)

设每个人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于,那么随机选取n(≤365)人。(1)他们的生日各不相同的概率为多少？(2)n个人中至少有两个人生日相同的概率为多少？解

(1)设A=“n个人的生日各不相同”(2)设B=“n个人中至少有两个人生日相同”当n等于64时，在64人的班级中，B发生的概率接近于1，即B几乎

总是会出现。设样本空间为有限区域

,若样本点落入内任何区域G

中的概率与区域G

的测度成正比,则样本点落入G内的概率为几何型概率计算公式测度指长度、面积、体积等，是对区域的一种度量.例8

两船欲停同一码头,两船在一昼夜内独立随机地到达码头.若两船到达后需在码头停留的时间分别是1小时与2小时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率.解设船1到达码头的瞬时为x,0x<24

船2到达码头的瞬时为y,0y<24设事件A=“任一船到达码头时需要等待空出码头”xy2424y=xy=x+1y=x-2“概率为1的事件一定发生吗?”01xY1如图，设试验E为“随机地向边长为1的正方形内投点”事件A为“点投在黄、蓝两个三角形内部”,求P(A).由于点可能投在正方形的对角线上,所以事件A未必一定发生！“概率为0的事件一定不会发生吗?”第4节条件概率一条件概率二乘法公式三全概率公式,贝叶斯公式（重点）

第一章引例:取一副牌,随机的抽取一张,问:(1)抽中的是k的概率;(2)若已知抽中的是红桃,问抽中的是k的概率。解：A

——抽中的是红桃,B——抽中的是k(1)(2)上述式子具有普遍性吗?在古典概型中,一条件概率1、定义：设A，B为两事件，且则称为事件A发生条件下事件B发生的条件概率。3.设是两两互不相容的事件则条件概率满足概率公理化定义中的三个公理:2.性质：条件概率类似满足概率的6条性质。(1)在缩减样本空间中求事件概率（实际意义法）(2)定义法例1、

设一批产品的一、二、三等品各占60%,30%,10%,现从中任取一件，结果不是三等品，求取得是一等品的概率。解则由已知得如引例2、条件概率的求法定理

设，则有推广

其中，则有或二、乘法公式推广到n个事件，如果则有设袋中装有r只红球，t只白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色然后放回，并再放入a只与所取的同色的球，第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。若在袋中连续取球四次，求：“第次取到红球”解:

设例2.i=1，2，3，4注：a=0时，就是有放回抽样；

a=-1时，就是无放回抽样。设一个班中30名学生采用抓阄的办法分一张电影票,问各人获得此票的机会是否均等？解

设“第名学生抓到电影票”i=1,2,…,30例3、同理,第i个人要抓到此票,他前面的i-1个人都没抓到此票思考：如果是两张电影票呢？首先，将复杂事件划分成若干简单事件之和，然后，利用简单事件来推算复杂事件的概率。（1）样本空间的划分;（2）全概率公式.（3）贝叶斯公式基本思想：三、全概率公式与贝叶斯（Bayes）公式定义

设S为随机试验E的样本空间，B1,B2,…,Bn是一组随机事件，如果它们满足：则事件B1,B2,…,Bn为样本空间S的一个划分.例如

设试验E

为“掷骰子观察其点数”。样本空间为，，，，而不是划分。注:对每次试验，若事件B1,B2,…,Bn为样本空间S的一个划分，则任何事件A也被划分成一些简事件的和！两两互不相容定理若事件B1,B2,…,Bn为样本空间S的一个划分，并且每个P(Bi)>0，则任何事件A的全概率公式为：证:两两互不相容例1

某电子公司所用元件由三家元件配件厂提供，有如下数据：元件配件厂次品率提供份额10.020.1520.010.8030.030.05设这三家的产品在仓库中均匀混合，且无任何标志.在仓库中任取一只元件，求它是次品的概率.原理1：若样本空间可以根据不同的方法进行分类，而问题关心的是按照某一分类方法进行分类时某种可能结果发生的概率，则我们可以根据另外一种分类方式对样本空间进行划分。由全概率公式得：解设：Bi＝“取到的元件是由第i厂提供的”，

A=“取到的元件是次品”则B1，B2，B3构成的所有产品的一个划分.

例2

有三个编号为1,2,3箱子,1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球的概率.解记

Ai={取到i号箱},i=1,2,3;B={取得红球}123则A1、A2、A3就是样本空间的一个划分.故原理2：若完成某项试验需要多个步骤，问题关心的是某个步骤完成后某个事件发生的概率，则可以依据前面某个步骤完成后的所有可能结果对样本空间进行划分。去构造这一组Bi往往可以简化计算.全概率公式的理论和实用意义在于:在较复杂情况下计算P(A)不易,但A

总是伴随着某个Bi出现，所以适当地例6.则甲乙丙三人同时向飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7,飞机被一人击中而击落的概率为0.2,

被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必被击落,求飞机被击落的概率.解:设=“飞机被个人击中”=“飞机被击落”=“飞机被第人击中”运用全概率公式计算P(A)2、贝叶斯公式定理设随机试验E的样本空间为S,A为E的任意一个事件,为S的一个划分,且则，称此式为贝叶斯公式。例7.设某工厂甲,乙,丙3个车间生产同一种产品,产量依次占全厂的45％,35％,20％,且各车间的合格品率为0.96,0.98,0.95,现在从待出厂的产品中检查出1个次品,问该产品是由哪个车间生产的可能性最大？解分别表示该产品是由甲、乙、丙车间生产，设A

表示“任取一件产品为次品”由题意得由贝叶斯公式所以该产品是甲车间生产的可能性最大。用全概率公式求得例8、某炮台有3门炮，第1、2、3门炮的命中率分别为0.4，0.3，0.5，3门炮各发射一枚炮弹，如果有两枚命中目标，求第1门炮命中目标的概率。解：A—两枚命中目标，B—第1门炮命中目标例9、A—某种临床试验呈阳性B—被诊断者患有癌症根据以往的临床纪录，癌症患者某项实验呈阳性的概率为0.95，而正常人该试验成阴性的概率为0.95，已知常人患癌症的概率为0.005，现对自然人群进行普查，如果某人试验呈阳性，求他患癌症的概率有多大？解由题，已知注：样本空间划分的寻找1、直接找题目中概率相加等于1的事件;2、从问题分析，看影响问题的是什么事件。已知“结果”求“原因”全概率公式寻找导致A发生的每个原因的概率.②贝叶斯公式是在观察到事件A已发生的条件下，注：①全概率公式是在已知导致事件A

的每个原因发生的概率的条件下，求事件A

发生的概率。已知“原因”求“结果”贝叶斯公式例

在电报系统中，不断发出“0”和“1”，发“0”和“1”的概率为0.6和0.4，发“0”分别以0.7,0.1和0.2接受为“0”“1”和模糊信息“X”，发“1”分别以0.85,0.05和0.1接收“1”,“0”和模糊信息“X”，试求：⑴收到信息为模糊信息的概率。⑵收到模糊信息应该译成什么信息的最好。分析

发信息

收信息“0”“0”0.7“1”0.1“X”0.20.6“1”“1”0.85“0”0.05“X”0.10.4解

设Ai表示“发出的信息为“i”，i=0,1Bi表示“收到的信息为“i”，i=0,1,X

⑴⑵，所以应为“0”信息好。备用：解:分别表示他乘火车,汽车,轮船,飞机设A=“他来迟了”由题意,则某人从外地来参加会议,他乘火车,汽车,轮船或飞机来的概率为如果他乘飞机来不会迟到;而乘火车,汽车或轮船来迟的概率为试求:1)他来迟的概率2)如果他来迟了，试推断他是怎样来的？下求下求1)由全概率公式2)由贝叶斯公式乘火车的可能性最大第5节事件的相互独立性引例：E—掷两枚硬币，观察正反面的情况A—甲币出现H

，B—乙币出现H={HH，HT，TH，TT}S由此看出一、两个事件相互独立

定义1设A、B是两个事件，如果有如下等式成立则称事件A、B相互独立。定理设A、B是两个事件⑴若，则A、B

相互独立的充分必要条件为⑵若A、B

相互独立,证相互独立,则有反之，由乘法公式⑴若，则A、B

相互独立的充分必要条件为证：

其余同理可证。⑵若A、B

相互独立,思考:如图所示的事件独立吗?则A与