复变函数-复变函数1绪论课件

引言在十六世纪中叶，G.Cardano(1501-1576)在研究一元二次方程时引进了复数。他发现这个方程没有根，并把这个方程的两个根形式地表为。在当时，包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于L.Euler的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式揭示了复指数函数与三角函数之间的关系。然而一直到C.Wessel(挪威.1745-1818)和R.Argand(法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及K.F.Gauss(德国1777-1855)与W.R.Hamilton(爱尔兰1805-1865)定义复数为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。1课件复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展。第一章复数与复变函数§1.1复数及其表示法一对有序实数（）构成一个复数，记为.自变量为复数的函数就是复变函数,它是本课程的研究对象.由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有的基础上作简要的复习和补充;然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念,为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础.x,y分别称为Z的实部和虚部,记作x=Re(Z),y=Im(Z),.称为Z的共轭复数。2课件与实数不同,一般说来,任意两个复数不能比较大小.两个复数相等他们的实部和虚部都相等特别地，1.代数形式:复数的表示法1)点表示yz(x,y)xx0yr复平面实轴虚轴3课件当z=0时,|z|=0,而幅角不确定.argz可由下列关系确定:说明：当z在第二象限时，5课件2.指数形式与三角形式利用直角坐标与极坐标的关系:x=r

cosq,y=r

sinq,可以将z表示成三角表示式: 利用欧拉公式eiq=cosq+isinq得指数表示式:例1将下列复数化为三角表示式与指数表示式.[解]1)z在第三象限,因此因此6课件2)显然,r=|z|=1,又因此练习：写出的辐角和它的指数形式。解：7课件加减法与平行四边形法则的几何意义:乘、除法的几何意义:,,,定理1两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和.9课件等式Arg(z1z2)=Argz1+Argz2, 的意思是等式的两边都是无限集合,两边的集合相等,即每给定等式左边的一个数,就有等式右边的一个数与之对应,反之亦然.

几何上z1z2相当于将z2的模扩大|z1|倍并旋转一个角度Argz1.0110课件例2：设求：解：若取则若取则11课件2.乘方与开方运算1）乘方DeMoivre公式：13课件2）开方:若满足，则称w为z的n次方根，记为

于是推得14课件从而几何解释：z1/n的n个值就是以原点为中心,r1/n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点。例2求[解]因为所以15课件§1.3复数形式的代数方程与平面几何图形很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示;也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.例3将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形式的方程来表示.

[解]通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为因此,它的复数形式的参数方程为z=z1+t(z2-z1).(-<t<+)17课件由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成

z=z1+t(z2-z1).(0t1)取得知线段的中点为例4求下列方程所表示的曲线:18课件解：设z=x+iy

,方程变为-iOxy几何上,该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨迹,所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直平分线,方程为y=-x,也可用代数的方法求出。19课件§1.4复数域的几何模型---复球面0N21课件x1x2x3oz(x,y)xyP(x1,x2,x3)x1x2x3N(0,0,2r)除了复数的平面表示方法外,还可以用球面上的点来表示复数.

对复平面内任一点z,用直线将z与N相连,与球面相交于P点,则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,

而N点本身可代表无穷远点,记作.

这样的球面称作复球面.22课件扩充复数域---引进一个“新”的数∞:扩充复平面---引进一个“理想点”:无穷远点

∞.约定:

23课件设G为一平面点集,z0为G中任意一点.如果存在z0的一个邻域,该邻域内的所有点都属于G,则称z0为G的内点.

如果G内的每个点都是它的内点,则称G为开集平面点集D称为一个区域,如果它满足下列两个条件:

1)D是一个开集;

2)D是连通的。就是说D中任何两点都可以用完全属于D

的一条折线连接起来.设D为复平面内的一个区域,如果点P不属于D,但在P的任意小的邻域内总包含有D中的点,这样的点P称为D的边界点.D的所有边界点组成D的边界.区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.25课件区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域,记作D.

如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面,即存在正数M,使区域D的每个点z都满足|z|<M,则称D为有界的,否则称为无界的.2.单连通域与多连通域

平面曲线在数学上,经常用参数方程来表示各种平面曲线.如果x(t)和y(t)是两个连续的实变函数,则方程组

x=x(t),y=y(t),(atb)

代表一条平面曲线,称为连续曲线.如果令

z(t)=x(t)+iy(t)

则此曲线可用一个方程

z=z(t) (atb)

来代表.这就是平面曲线的复数表示式.26课件定义复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,就称为单连通域,一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.单连通域多连通域29课件§1.5复变函数1.复变函数的定义定义设D是复平面中的一个点集,称为复变函数.其确定了自变量为x和y的两个二元实变函数u,v.例如,考察函数w=z2.令z=x+iy,w=u+iv,则

u+iv=(x+iy)2=x2-y2+i2xy,

因而函数w=z2

对应于两个二元函数:

u=x2-y2,v=2xy30课件在以后的讨论中,D常常是一个平面区域,称之为定义域,并且,如无特别声明,所讨论的函数均为单值函数.2.映射的概念

函数w=f(z)在几何上可以看做是把z平面上的一个点集D(定义集合)变到w平面上的一个点集G(函数值集合)的映射(或变换).如果D中的点z被映射w=f(z)映射成G中的点w,则w称为z的象(映象),而z称为w的原象.xuDGZzwW=f(z)vyW31课件设函数w=z=x–iy;u=x,v=-yxyOuvOABCz1z2A'B'C'w1w232课件设函数w=z2

=

(x+iy)2=x2-y2+i2xy,

有u=x2-y2,v=2xyxyOuvOz1z2w2z3w3w133课件函数w=z2

对应于两个二元实变函数:u=x2-y2,v=2xy

把z平面上的两族双曲线x2-y2=c1,2xy=c2分别映射成w平面上的两族平行直线u=c1,v=c2.101-1-1-10-8-6-4-2x2468v=101y-10-8-6-4-2u=02468uv1010-10-1034课件如果函数(映射)w=f(z)与它的反函数(逆映射)z=j(w)都是单值的,则称函数(映射)w=f(z)是一一的.此时,我们也称集合D与集合G是一一对应的.举例：曲线在映射下的像

例题1

35课件例题2例题3例题4

36课件§1.6复变函数的极限和连续性1.函数的极限

定义设函数w=f(z)定义在z0的去心邻域0<|z-z0|<r内,如果有一确定的数A存在,对于任意给定的e>0,相应地必有一正数d(e)(0<d),使得当0<|z-z0|<d时有|f(z)-A|<e,则称A为f(z)当z趋向于z0时的极限,记作或记作当zz0时,f(z)A.37课件几何意义:

xyOz0dzOuvAef(z)38课件等价定义：

设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0,z0=x0+iy0,则运算性质：39课件当z0时的极限不存在例1

证明函数[证]令z=x+iy,则由此得让z沿直线y=kx

趋于零,我们有故极限不存在.40课件2.函数的连续性

定义则说f(z)在z0处连续.如果f(z)在区域D内处处连续,我们说f(z)在D内连续.函数f(z)=u(x,y)