初中数学北师大版九年级下册第三章圆3垂径定理“衡水赛”一等奖

*垂径定理1．理解垂径定理和推论的内容，并会证明，利用垂径定理解决与圆有关的问题；(重点)2．利用垂径定理及其推论解决实际问题．(难点)一、情境导入如图①某公园中央地上有一些大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚20cm的砖塞在球的两侧(如图②所示)，他量了下两砖之间的距离刚好是80cm，聪明的你能算出大石头的半径吗？二、合作探究探究点一：垂径定理【类型一】利用垂径定理求直径或弦的长度如图所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是()A．2eq\r(3)cmB．3eq\r(2)cmC．4eq\r(2)cmD．4eq\r(3)cm解析：∵直径AB⊥DC，CD＝6，∴DP＝3.连接OD，∵P是OB的中点，设OP为x，则OD为2x，在Rt△DOP中，根据勾股定理列方程32＋x2＝(2x)2，解得x＝eq\r(3).∴OD＝2eq\r(3)，∴AB＝4eq\r(3).故选D.方法总结：我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形，然后应用勾股定理解决问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】垂径定理的实际应用如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的eq\o(AB,\s\up8(︵)))，点O是这段弧的圆心，C是eq\o(AB,\s\up8(︵))上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是________m.解析：本题考查垂径定理，∵OC⊥AB，AB＝300m，∴AD＝150m.设半径为R，根据勾股定理可列方程R2＝(R－50)2＋1502，解得R＝250.故答案为250.方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】垂径定理的综合应用如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.(1)请证明：点E是OB的中点；(2)若AB＝8，求CD的长．解析：(1)要证明E是OB的中点，只要求证OE＝eq\f(1,2)OB＝eq\f(1,2)OC，即∠OCE＝30°；(2)在直角△OCE中，根据勾股定理可以解得CE的长，进而求出CD的长．(1)证明：连接AC，如图，∵直径AB垂直于弦CD于点E，∴eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(AD,\s\up8(︵))，∴AC＝AD.∵过圆心O的直线CF⊥AD，∴AF＝DF，即CF是AD的垂直平分线，∴AC＝CD，∴AC＝AD＝CD，即△ACD是等边三角形，∴∠FCD＝30°.在Rt△COE中，OE＝eq\f(1,2)OC，∴OE＝eq\f(1,2)OB，∴点E为OB的中点；(2)解：在Rt△OCE中，AB＝8，∴OC＝OB＝eq\f(1,2)AB＝4.又∵BE＝OE，∴OE＝2，∴CE＝eq\r(OC2－OE2)＝eq\r(16－4)＝2eq\r(3)，∴CD＝2CE＝4eq\r(3).方法总结：解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题探究点二：垂径定理的推论【类型一】利用垂径定理的推论求角的度数如图所示，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，M、N分别是eq\o(AB,\s\up8(︵))、eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，则∠MON的度数是()A．100°B．110°C．120°D．130°解析：已知M、N分别是eq\o(AB,\s\up8(︵))、eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得OM⊥AB、ON⊥AC，所以∠AEO＝∠AFO＝90°，而∠BAC＝50°，由四边形内角和定理得∠MON＝360°－∠AEO－∠AFO－∠BAC＝360°－90°－90°－50°＝130°.故选D.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题．【类型二】利用垂径定理的推论求边的长度如图，点A、B是⊙O上两点，AB＝10cm，点P是⊙O上的动点(与A、B不重合)，连接AP、BP，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，求EF的长．解析：运用垂径定理先证出EF是△ABP的中位线，然后运用三角形中位线性质把要求的EF与AB建立关系，从而解决问题．解：在⊙O中，∵OE⊥AP，OF⊥PB，∴AE＝PE，BF＝PF，∴EF是△ABP的中位线，∴EF＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×10＝5(cm)．方法总结：垂径定理虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题，我们一定要把知识融会贯通，在解决问题时才能得心应手．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题【类型三】动点问题如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．解析：当点P处于弦AB的端点时，OP最长，此时OP为半径的长；当OP⊥AB时，OP最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP的长．解：作直径MN⊥弦AB，交AB于点D，由垂径定理，得AD＝DB＝eq\f(1,2)AB＝4cm.又∵⊙O的直径为10cm，连接OA，∴OA＝5cm.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD＝eq\r(OA2－AD2)＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP的长度范围是3cm≤OP≤5cm.方法总结：解题的关键是明确OP最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解．容易出错的地方是不能确定最值时的情况．三、板书设计垂径定理1．垂径定理2．垂径定理的推论垂径定理是中学数学中的一个很重要的定理，由于