机械系统建模

本章教学目标掌握运用牛顿定理对机械系统进行建模的方法重点掌握模型中的参数对机械系统动态特性的影响，从而据此调整设计参数，使机械系统满足机电一体化的设计要求教学重点、难点重点：机械系统数学模型中各个参数对机械系统动态特性的影响，基本物理量的折算方法难点：机械系统数学模型中各个参数对机械系统动态特性的影响1.拉普拉斯变换的定义拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量s的乘积，将时间表示的微分方程，变成以s表示的代数方程。补1：拉普拉斯变换复变量原函数象函数拉氏变换符号拉普拉斯变换：在一定条件下，把实数域中的实变函数f(t)变换到复数域内与之等价的复变函数F(s)

。

设有时间函数f(t)，当t<0时，f(t)＝0；在t≥0时定义函数f(t)的拉普拉斯变换为：

拉氏变换是否存在取决于定义的积分是否收敛。拉氏变换存在的条件：

①当t≥0时，f(t)分段连续，只有有限个间断点；

②当t→∞时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即在复平面上，对于Res

>a的所有复数s(Res表示s的实部)都使积分式绝对收敛，故Res

>a是拉普拉斯变换的定义域，a称为收敛坐标。式中：M、a为实常数。补1：拉普拉斯变换定义

当f(t)含有冲激函数项时，此项0拉氏变换积分上限说明：F(s)=ℒ[f(t)]f(t)=ℒ

-1[F(s)]表示为：0—补1：拉普拉斯变换f(t)，t[0,)称为原函数，属时域。原函数用小写字母表示，如f(t)

，i(t)，u(t)

F(s)称为象函数，属复频域。象函数F(s)用大写字母表示,如F(s)，I(s)，U(s)。称为复频率。f(t)F(S)LL_拉普拉斯变换对，记为：

微分定理拉氏变换的主要运算定理利用这一定理可将系统微分方程转化为传递函数常用函数的拉普拉斯变换

（单位阶跃函数）tu(t)F(s)=ℒ

ℒ

(指数函数)F(s)==1ℒ

（单位脉冲函数）δ(t)t0（单位斜坡函数）

f(t)t0F(s)=L[f(t)]=ℒℒ（幂函数）

ℒℒℒℒℒ常用函数的拉普拉斯变换表ttne-atte-attne-ate-jwtu(t)δ(t)δ(n)(t)1sn1/s1/s2n!sn+1n!(s+a)n+11(s+a)21s+a1s+jw补2：系统的传递函数定义

线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。三要素：线性定常系统零初始条件输出与输入的拉氏变换之比

零初始条件：输入及其各阶导数在t=0-时刻均为0输出及其各阶导数在t=0-时刻均为0传递函数与输入、输出之间的关系补2：系统的传递函数传递函数的一般形式

设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述

式中，nm，当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换可得系统传递函数的一般形式：补3：阻尼阻尼定义指任何振动系统在振动中，由于外界作用和/或系统本身固有的原因引起的振动幅度逐渐下降的特性，以及此一特性的量化表征。阻尼力在物理学和工程学上，阻尼的力学模型一般是一个与振动速度大小成正比，与振动速度方向相反的力第1节机械系统教学模型的建立1.1机械移动系统1.2机械转动系统1.3基本物理量的折算基本构成

质量、阻尼器和弹簧建立其数学模型的基本原理

牛顿第二定律1.1机械移动系统机械移动系统的建模方法：（1）求系统运动方程（牛顿第二定律）（2）对运动方程两边取拉氏变换（3）求传递函数（4）画系统框图

1.1机械移动系统组合机床动力滑台铣平面单自由度隔振系统单轮汽车支承系统1.1机械移动系统举例说明移动系统的建模方法：组合机床动力滑台铣平面设动力滑台的质量m液压缸的刚度k粘性阻尼系数c外力f(t)若不计动力滑台与支承之间摩擦力则系统的力学模型一、动力滑台系统一、动力滑台系统（1）求系统的运动方程

x(t)弹力位移f(t)外力惯性力阻尼力动力滑台受力分析滑台滑台受力平衡方程（左边=右边）一、动力滑台系统（2）运动方程的拉氏变换则设L[x(t)]=X(s)L[f(t)]=F(s)L[x(t)]=sX(s)L[x(t)]=s2X(s)L[mx+cx+kx]=(ms2+cs+k)X(s)=ms2X(s)+csX(s)+kX(s)(ms2+cs+k)X(s)=F(s)一、动力滑台系统（3）传递函数(ms2+cs+k)X(s)=F(s)传递函数输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比输出：X(s)输入：F(s)一、动力滑台系统（4）系统框图传递函数一、动力滑台系统系统的运动方程与传递函数与动力滑台的完全一样二、单自由度隔振系统单自由度隔振系统动力滑台系统（不计摩擦力）二、单自由度隔振系统运动方程传递函数三、单轮汽车支承系统汽车质量汽车轮子的质量减振器阻尼系数弹簧刚度轮胎弹性刚度轮胎绝对位移汽车绝对位移外力三、单轮汽车支承系统（1）求系统的运动方程

汽车m1汽车m1相对位移：x1-x2惯性力阻尼力弹簧弹力m1x1c(x1-x2)k1(x1-x2)运动方程三、单轮汽车支承系统（1）求系统的运动方程

轮胎m2惯性力阻尼力弹簧弹力外力m2x2c(x2-x1)k1(x2-x1)+k2x2f(t)运动方程三、单轮汽车支承系统（1）求系统的运动方程

轮胎m2汽车m1三、单轮汽车支承系统（2）运动方程的拉氏变换汽车m1则设L[x(t)]=X(s)L[f(t)]=F(s)L[x(t)]=sX(s)L[x(t)]=s2X(s)L[m1x1+c(x1-x2)+k1(x1-x2)]=0=m1s2X1(s)+cs[X1(s)-X2(s)]+k1[X1(s)-X2(s)]三、单轮汽车支承系统（2）运动方程的拉氏变换L[m1x1+c(x1-x2)+k1(x1-x2)]=0=m1s2X1(s)+cs[X1(s)-X2(s)]+k1[X1(s)-X2(s)](m1s2+cs+k1)X1(s)=(cs+k1)X2(s)则三、单轮汽车支承系统（2）运动方程的拉氏变换轮胎m2三、单轮汽车支承系统（2）运动方程的拉氏变换轮胎m2汽车m1三、单轮汽车支承系统（3）传递函数单轮汽车支承系统的力学模型（3）传递函数单轮汽车支承系统的力学模型（4）系统框图简化后系统框图基本构成参数转动惯量、阻尼器和弹簧建立其数学模型的基本原理

牛顿第二定律1.2机械转动系统1.2机械转动系统

简单扭摆系统模型建立1.2机械转动系统J：摆锤的转动惯量c：摆锤与空气间的粘性阻尼系数k：扭簧的弹性刚度m(t)：加在摆锤上的扭矩θ(t)：摆锤转角取拉氏变换，传递函数：由牛顿第二定律，系统的运动方程：1.2机械转动系统1.2机械转动系统机械位移和转动系统的传递函数形式是相同的打印机中的步进电动机一同步齿形带驱动装置1.2机械转动系统步进电动机轴负载输出轴转角输入轴转角驱动力矩动力学方程1.2机械转动系统步进电动机轴负载拉氏变换1.2机械转动系统步进电动机轴负载传递函数1.2机械转动系统系统以外力矩为输入、输出轴转角为输出的传递函数系统框图1.2机械转动系统系统框图框图简化简化后1.3基本物理量的折算基本物理量的折算：机械系统数学模型建立过程中经常遇到的问题以数控机床进给系统进行说明1.3基本物理量的折算数控机床进给系统1.3基本物理量的折算数控机床进给系统电动机通过两级减速齿轮z1、z2、z3、z4及丝杠螺母机构驱动工作台作直线运动J1、J2、J3：转动惯量k1、k2、k3：扭转刚度系数k：丝杠螺母副的轴向刚度系数m：工作台质量c：工作台导轨粘性阻尼系数T1、T2、T3：轴的输入转矩1.3基本物理量的折算（一）转动惯量的折算将轴I、II、III上的转动惯量和工作台的质量都折算到轴I上，作为系统总转动惯量T1’、T2’、T3’分别为轴I、II、III的负载转矩ω1、ω2、ω3分别为轴I、II、III的角速度ν为工作台的运动速度设1.3基本物理量的折算（一）转动惯量的折算1）轴I、II、III上的转动惯量的折算轴I轴II轴III轴II的输入转矩是从轴I上的负载转矩获得，且与他们的转速成反比由传动关系知：由2-17、18、19推出轴II1.3基本物理量的折算（一）转动惯量的折算1.3基本物理量的折算（一）转动惯量的折算轴III根据力学原理和传动关系1.3基本物理量的折算