第10章 应变理论

第十章应变理论本章主要内容：§10.1位移及其分量§10.2应变及其分量§10.3应变分量与位移分量关系§10.4应变分析§10.5主应变、主剪应变、体积应变§10.6应变张量、球应变张量与应变偏张量§10.7八面体应变和等效应变§10.8变形连续条件§10.9变形几何理论实例

材料成形原理§10.1位移及其分量

位移：变形体内任意一点变形前后的距离（如图中MM1）。位移分量：在坐标系中，一点的位移矢量在三个坐标系上的投影，一般用

或角标符号来表示,如图10-1b所示。

（a)（b)图10-1受力物体内一点的位移及其分量第十章应变理论变形体内不同点的位移分量也是不同的。根据连续性基本假设，位移分量应是坐标的连续函数，而且一般都有连续的二阶偏导数，即：变形物体内的位移场变形体内无限接近的两点的位移分量之间的关系§10.1位移及其分量

图10-2变形体内无限接近两点位移分量及位移增量M’点相对于M的位移增量:若无限接近两点的连线平行于某坐标轴，例如∥x轴，则上式中,此时，上式变为：§10.1位移及其分量

§10.2应变及其分量

应变：应变(或称变形的大小描述)是指物体变形时任意两质点的相对位置随时间发生变化。图10-3任意方向上的变形第十章应变理论在物体上任取两质点，放在空间坐标系中，连接两点构成一个向量MN，当物件发生变形时，向量的长短及方位发生变化，此时描述变形的大小可用线尺寸的变化与方位上的改变来表示，即线应变(正应变)与切应变(剪应变)。线应变：

切应变：

§10.2应变及其分量

线应变是描述线元尺寸长度方向上的变化（伸长或缩短），分一般相对应变（名义应变或工程应变)与自然应变(对数应变或真应变)。以杆件拉伸变形为例，变形前两质点的标定长度为l0变形后为ln

，其相对应变为：（适用于小变形情况）由于在大的塑性变形过程中，相对应变不足以反映实际变形情况，应如何反映真实应变？§10.2应变及其分量用微分概念，设变形某一时刻杆件的长度为l，经历时间dt杆件伸长为dl，则物体的总的变形程度为：反映物体的真实变形情况，故称真应变。真应变与一般相对应变的关系，可将自然对数按泰勒级数展开得：§10.2应变及其分量线应变:

线元尺寸长度上的变化X轴分量的线应变Y轴分量的线应变相对应变真应变线元伸长时为正，缩短为负§10.2应变及其分量切应变:线元方位上的改变角度减小Φ取正号，增大时取负号。§10.2应变及其分量单元体变形正应变：表示单元体相对伸长度剪应变：表示单元体各面所夹角度的改变量△dy§10.2应变及其分量rXΔrXryΔryrzΔrz§10.2应变及其分量绝对变形量：指工件变形前后主轴方向上尺寸的变化量。

Δl=l1-l0相对变形：指绝对变形量与原始尺寸的比值，常称为形变率。

ε=Δl/l=(l1-l0)/l真实变形：即变形前后尺寸比值的自然对数。

d∈=dl/l=ln

l1/l0真实变形与相对变形关系：

d∈=ln

l1/l0=ln（1+ε

）§10.2应变及其分量§10.3应变分量与位移分量关系

在分析研究质点的应变时应去除物体刚性平移与转动。因此，位移场与应变场之间存在某种对应关系。下面就来建立小变形时位移分量与应变分量之间的关系。在研究变形时，为了便于建立几何关系，作均匀变形假设。即单元体切取很小时，变形前原来的直线与平面在变形后仍为直线与平面。变形前原来相互平行的直线与平面变形后仍相互平行。

第十章应变理论图10-4位移分量与应变分量的关系变形前单元面变形后为单元面。§10.3应变分量与位移分量关系

线应变：b点的位移分量为:d点的位移分量为:§10.3应变分量与位移分量关系

工程切应变：§10.3应变分量与位移分量关系

由平面问题上升到三维问题，可把单元体分解为三个相互垂直的单元面xoy，yoz，zox；用同样的方法可分析得出yoz，zox面上的应变情况。可得出空间直角坐标系下小变形时，位移分量与应变分量的关系为：§10.3应变分量与位移分量关系

讨论：

1.物理意义：表示位移(displacement)

与应变(strain)之间的关系；

2.位移包含变形体内质点的相对位移（产生应变）和变形体的刚性位移（平动和转动）；

3.工程剪应变理论剪应变：

§10.3应变分量与位移分量关系

4.应变符号规定：

正应变或线应变()：伸长为正，缩短为负；剪应变或切应变（）：夹角减小为正，增大为负；5.推导中应用到小变形假设、连续性假设及泰勒级数展开等。§10.3应变分量与位移分量关系

§10.4应变分析

物体变形时，其体内各质点在各个方向上会有应变。与应力分析一样，同样需引入“点应变状态”的概念。点应变状态也是二阶张量，故与应力张量有许多相似的性质。在应力状态分析中，由一点三个相互垂直的微分面上九个应力分量可求得过该点任意方位斜面上的应力分量。则该点的应力状态即可确定。与此相似，根据质点三个相互垂直方向上的九个应变分量，也就求出过该点任意方向上的应变分量，则该点的应变状态即可确定。

第十章应变理论指围绕该点截取的无限小单元体的各棱长及棱间夹角的变化情况。可表示为张量形式：

应变张量（straintensor）也可进行与应力张量类似的分析。

(i,j=x,y,z)§10.4应变分析全量应变与增量应变的概念前面所讨论的应变是反映单元体在某一变形过程终了时的变形大小，称作全量应变增量应变张量应变增量:§10.4应变分析

设某一瞬间起dt时间内，产生位移增量dUi，则应有dUi=Vidt。其中Vi为相应位移速度。代入增量应变张量，有：

令，即为应变速率张量§10.4应变分析小变形后，线元移至，同时偏转一定角度。如图10-5所示：图10-5任意方向线元的应变该线元方向余弦：§10.4应变分析的推导：（1）

将(1)式展开减去r2并略去dr、du、dv、dw的平方项整理变形得：因，则：（2）§10.4应变分析将(3)式代入(2)式整理得：（3）§10.4应变分析线元ab变形后的偏转角：

为了除去刚体转动的影响，即只考虑纯剪切变形，可将式改写为:上式后面的第二项是由于刚性转动引起的位移增量分量，而第一项才是由纯剪切变形引起的相对位移增量分量。§10.4应变分析

下面求线元变形后的偏转角，即图10-5中的。为了推导方便，可设。由点引，接直角三角形有：⊥于是(e)可写成：故由于(e)§10.4应变分析

综上所述，若已知一点互相垂直的三个方向上的九个应变分量，则可求出过该点任意方向上的应变分量，则该点的应变状态即可确定。所以，一点的应变状态可用该点三个互相垂直方向上的九个应变分量来表示。这与一点的应力状态可用过该点三个互相垂直微分面上的九个应力分量来表示完全相似。§10.4应变分析§10.5主应变、主剪应变、体积应变主应变：给定一点应变状态，总存在三个相互垂直的主方向。该方向上的线元没有切应变，只有线应变，称为主应变。主应变张量为：

主应变可由应变状态特征方程求得：第十章应变理论§10.5主应变、主剪应变、体积应变分别称为应变张量的第一、第二、第三不变量。

塑性变形时体积不变，故在与应变主方向成角的方向上，存在三对各自相互垂直的线元，它们的剪应变有极值，叫做主剪应变，其大小为：如果则最大剪应变为：

§10.5主应变、主剪应变、体积应变用主应变的个数和符号来表示应变状态的简图称为主应变状态图，简称为主应变简图或主应变图。主变形简图是定性判断塑性变形类型的图示方法。根据体积不变条件和特征应变，则塑性变形只能有三种变形类型，如图所示：§10.5主应变、主剪应变、体积应变图10-6主应变图（a）广义拉伸（b）广义剪切（c）广义压缩由塑性变形时，变形前后体积不变§10.5主应变、主剪应变、体积应变讨论：§10.5主应变、主剪应变、体积应变塑性力学图主应力、主应变图示：主应力—9种；主应变—3种[但只有23种可能的应力应变组合（塑性变形力学图），为什么？]在探讨一点的应变状态时，设过该点的单元体初始边长为。则变形前的体积为：考虑到小变形，切应变引起的边长变化及体积的变化都是高阶微量，可以忽略，则体积的变化只由线应变引起，如图2-7所是示，在x方向上得应变为：图10-7单元体边长的线变形§10.5主应变、主剪应变、体积应变变形后的体积为:将上式展开，并忽略二阶以上的高阶微量。于是得到单元体单位体积的变化，即体积应变为：当塑性变形时，变形物体变形前后的体积保持不变，即：同理：§10.5主应变、主剪应变、体积应变§10.6应变张量、球应变张量与应变偏张量

与一点应力状态一样，一点应变状态是一个二阶张量。应变张量可以分解为两个张量，即：球应变张量

应变偏张量

平均应变，第十章应变理论应变偏张量同样有三个张量不变量即:§10.6应变张量、球应变张量与应变偏张量

§10.7八面体应变和等效应变

八面体应变：如以三个主应变为坐标轴建立主应变空间，在主应变空间中同样可作出正八面体，在正八面体的平面的法线方向线元的应变称为八面体应变。八面体线应变为：八面体切应变为：第十章应变理论将八面体切应变乘以系数，所得的参量称为等效应变，或应变强度。即：

§10.7八面体应变和等效应变等效应变有如下特点：（1）是一个不变量；（2）在塑性变形时，其数值上等于单向均匀拉伸或均匀压缩方向上的线应变，即。因单向应力状态时，其主应变为，由体积不变条件可得：

§10.7八面体应变和等效应变

变形连续条件：由小变形时应变与位移关系的几何方程知，六个应变分量取决于三个位移分量，这六个应变分量必存在一定的关系，才保证变形物体的连续性，应变分量之间的关系称为变形连续条件或变形协调方程。§10.8变形连续条件第十章应变理论变形协调方程§10.8变形连续条件对

中的y,x求两次偏导数得：（1）每个坐标平面内应力分量之间满足的关系。两式相加得：(1)(2)§10.8变形连续条件同理得：（2）不同坐标平面内应变分量之间应满足的关系。将对y、z,对z、x，对x、y分别求偏导，并将切应变分量

分别对x、y、z求偏导得：§10.8变形连续条件(d)(f)(e)将式（e）+(d)-（f）得：再将上式对z求偏导数得：§10.8变形连续条件同理对x、y求偏导得：变形协调方程有何物理意义：§10.8变形连续条件

1.物理意义：表示各应变分量之间的相互关系“连续协调”即变形体在变形过程中不开裂，不堆积；

2.应变协调方程说明：同一平面上的三个应变分量中有两个确定，则第三个也就能确定；在三维空间内三个切应变分量如果确定，则正应变分量也就可以确定；

3.如果已知位移分量，则按几何方程求得的应变分量自然满足协调方程；若是按其它方法求得的应变分量，则必须校验其是否满足连续性条件。§10.8变形连续条件相似性：张量表示、张量分析、张量关系相似

应力应变分析的相似性与差异性：小结第十章应变理论概念：应力

——研究面元ds上力