初中数学苏科版八年级上册第2章轴对称图形“黄冈杯”一等奖

《第2章轴对称图形》一、选择题1．下列图案中，属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．到三角形三个顶点距离相等的是（）A．三边高线的交点 B．三条中线的交点C．三条垂直平分线的交点 D．三条内角平分线的交点3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=78°，∠C′=48°，则∠B的度数为（）A．48° B．54° C．74° D．78°4．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）A．40° B．30° C．20° D．10°二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）5．如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，且∠A=110°，则∠D=°．6．如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点O，过O作DE∥BC，若BD+EC=5cm，则DE等于cm．7．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是．8．点P在线段AB的垂直平分线上，PA=10，则PB=．9．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，AD=10，AC=8．则点D到AB边的距离为．10．如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为cm．三、解答题11．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E．证明：BD垂直平分AE．12．已知：如图，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分别是AC、BD的中点．求证：EF⊥BD．13．（1）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC的延长线上且CE=CA，试求∠DAE的度数；（2）如果把第（1）题中“AB=AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？说明理由；（3）如果把第（1）题中“∠BAC=90°”的条件改为“∠BAC＞90°”，其余条件不变，那么∠DAE与∠BAC有怎样的大小关系？14．有一条道路和两个养鸡场．（1）把这条道路看成一条直线，两个养鸡场分别看成点A、B，点A、B与直线有多少种不同的位置关系？画出可能位置的图形．（2）现要在道路旁建一座冷藏库，冷藏库应建在何处，可使两个养鸡场到该冷藏库的距离和最短？

《第2章轴对称图形》参考答案与试题解析一、选择题1．下列图案中，属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：根据轴对称图形的概念知B、C、D都不是轴对称图形，只有A是轴对称图形．故选A．【点评】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．2．到三角形三个顶点距离相等的是（）A．三边高线的交点 B．三条中线的交点C．三条垂直平分线的交点 D．三条内角平分线的交点【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据题意得出到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，画出图形后根据线段垂直平分线定理得出PA=PC，PC=PB，推出PA=PC=PB即可．【解答】解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，理由是：∵P在AB的垂直平分线EF上，∴PA=PB，∵P在AC的垂直平分线MN上，∴PA=PC，∴PA=PC=PB，即P是到三角形三个顶点的距离相等的点．故选C．【点评】本题考查了线段垂直平分线定理，注意：线段垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，而三角形三个角平分线的交点到三角形三边的距离相等．3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=78°，∠C′=48°，则∠B的度数为（）A．48° B．54° C．74° D．78°【考点】轴对称的性质；三角形内角和定理．【分析】由对称得到∠C=∠C′=48°，由三角形内角和定理得∠B=54°，由轴对称的性质知∠B=∠B′=54°．【解答】解：∵在△ABC中，∠A=78°，∠C=∠C′=48°，∴∠B=180°﹣78°﹣48°=54°∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴∠B=∠B′=54°．故选B．【点评】本题考查轴对称的性质及三角形内角和定理；把已知条件转化到同一个三角形中利用内角和求解是正确解答本题的关键．4．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）A．40° B．30° C．20° D．10°【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠A′DB=∠CA'D﹣∠B，又折叠前后图形的形状和大小不变，∠CA'D=∠A=50°，易求∠B=90°﹣∠A=40°，从而求出∠A′DB的度数．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，∴∠B=90°﹣50°=40°，∵将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠CA'D=∠A，∵∠CA'D是△A'BD的外角，∴∠A′DB=∠CA'D﹣∠B=50°﹣40°=10°．故选：D．【点评】本题考查图形的折叠变化及三角形的外角性质．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．解答此题的关键是要明白图形折叠后与折叠前所对应的角相等．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）5．如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，且∠A=110°，则∠D=35°．【考点】平行线的性质；角平分线的定义．【专题】计算题．【分析】根据平行线的性质先求得∠ABC的度数，再根据角平分线的性质及平行线的性质求得∠D的度数．【解答】解：∵AD∥BC，∠A=110°，∴∠ABC=180﹣∠A=70°；又∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=35°；∵AD∥BC，∴∠D=∠DBC=35°．故答案为：35．【点评】此题考查了角平分线的性质及平行线的性质，比较简单．6．如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点O，过O作DE∥BC，若BD+EC=5cm，则DE等于5c【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】根据∠B，∠C的平分线相交于点O，可得出∠OBD=∠OBC，∠OCE=∠OCB，再由DE∥BC，得出∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，从而得出∠OBD=∠DOB，∠EOC=∠ECO，则OD=BD，OE=CE，从而得出DE=BD+EC．【解答】解：∵∠B，∠C的平分线相交于点O，∴∠OBD=∠OBC，∠OCE=∠OCB，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，∴∠OBD=∠DOB，∠EOC=∠ECO，∴OD=BD，OE=CE，∴DE=OD+OE=BD+EC，∵BD+EC=5cm，∴DE=5cm．故答案为5．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，以及平行线的性质和角平分线的定义，是基础知识要熟练掌握．7．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是10．【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质．【分析】由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小．∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于AC对称，∴PB=PD，∴PB+PE=PD+PE=DE．∵BE=2，AE=3BE，∴AE=6，AB=8，∴DE==10，故PB+PE的最小值是10．故答案为：10．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短的性质得出．8．点P在线段AB的垂直平分线上，PA=10，则PB=10．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段垂直平分线性质得出PA=PB，即可求出答案．【解答】解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB，∵PA=10，∴PB=10，故答案为：10．【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．9．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，AD=10，AC=8．则点D到AB边的距离为6．【考点】角平分线的性质．【分析】根据勾股定理求出CD，过D作DE⊥AB于E，根据角平分线性质得出DE=CD，即可得出答案．【解答】解：在△ABC中，∠ACB=90°，AD=10，AC=8，由勾股定理得：CD==6，过D作DE⊥AB于E，∵，DE⊥AB，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD=6，故答案为：6．【点评】本题考查了角平分线性质和勾股定理的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．10．如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为6c【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】数形结合．【分析】根据中垂线的性质，可得DC=DB，继而可确定△ABD的周长．【解答】解：∵l垂直平分BC，∴DB=DC，∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6cm．故答案为：6．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，注意掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．三、解答题11．（2023秋•海陵区期中）已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E．证明：BD垂直平分AE．【考点】线段垂直平分线的性质；角平分线的性质．【专题】证明题．【分析】根据已知和角平分线性质求出AD=DE，∠ABD=∠EBD，∠BAD=∠BED=90°，证△BAD≌△BED，推出AB=BE，根据等腰三角形的性质得出即可．【解答】证明：∵∠BAC=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，∴AD=DE，∠ABD=∠EBD，∠BAD=∠BED=90°，在△BAD和△BED中∴△BAD≌△BED（AAS），∴AB=BE，∵BD平分∠ABE，∴BD垂直平分AE，【点评】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，解此题的关键是求出AB=BE．12．（2023秋•无锡校级期末）已知：如图，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分别是AC、BD的中点．求证：EF⊥BD．【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】连接BE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE=DE=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明．【解答】证明：如图，连接BE、DE，∵∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，∴BE=DE=AC，∵F是BD的中点，∴EF⊥BD．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．13．（2023秋•南通期末）（1）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC的延长线上且CE=CA，试求∠DAE的度数；（2）如果把第（1）题中“AB=AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？说明理由；（3）如果把第（1）题中“∠BAC=90°”的条件改为“∠BAC＞90°”，其余条件不变，那么∠DAE与∠BAC有怎样的大小关系？【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．【分析】（1）要求∠DAE，必先求∠BAD和∠CAE，由∠BAC=90°，AB=AC，可求∠B=∠ACB=45°，又因为BD=BA，可求∠BAD=∠BDA=°，再由CE=CA，可求∠CAE=∠E=°，所以∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=°﹣°=45度；（2）先设∠CAE=x，由已知CA=CE可求∠ACB=∠CAE+∠E=2x，∠B=90°﹣2x，又因为BD=BA，所以∠BAD=∠BDA=x+45°，再根据三角形的内角和是180°，可求∠BAE=90°+x，即∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=（90°+x）﹣（x+45°）=45度；（3）可设∠CAE=x，∠BAD=y，则∠B=180°﹣2y，∠E=∠CAE=x，所以∠BAE=180°﹣∠B﹣∠E=2y﹣x，∠BAC=∠BAE﹣∠CAE=2y﹣x﹣x=2y﹣2x，即∠DAE=∠BAC．【解答】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，∵BD=BA，∴∠BAD=∠BDA=（180°﹣∠B）=°，∵CE=CA，∴∠CAE=∠E=∠ACB=°，在△ABE中，∠BAE=180°﹣∠B﹣∠E=°，∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=°﹣°=45度；（2）不改变．设∠CAE=x，∵CA=CE，∴∠E=∠CAE=x，∴∠ACB=∠CAE+∠E=2x，在△ABC中，∠BAC=90°，∴∠B=90°﹣∠ACB=90°﹣2x，∵BD=BA，∴∠BAD=∠BDA=（180°﹣∠B）=x+45°，在△ABE中，∠BAE=180°﹣∠B﹣∠E，=180°﹣（90°﹣2x）﹣x=90°+x，∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD，=（90°+x）﹣（x+45°）=45°；（3）∠DAE=∠BAC．理由：设∠CAE=x，∠BAD=y