弹性力学空间问题的解答

弹性力学空间问题的解答弹性力学1第一页，共二十五页，2022年，8月28日一、按位移求解空间问题二、半空间体受重力及均布压力三、半空间体在边界上受法向集中力四、按应力求解空间问题第八章空间问题的解答内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第二页，共二十五页，2022年，8月28日弹性力学3按位移求解空间问题一在直角坐标系中，按位移求解空间问题，与平面问题相似，求解步骤：将应力先用应变表示（应用物理方程），再代入几何方程，得用位移分量表示应力分量的弹性方程：1、取u,v,w为基本未知函数。2、引用几何方程，将应变用位移来表示。(8-1)其中体积应变第三页，共二十五页，2022年，8月28日弹性力学43、将式(8-1)代入平衡微分方程，得在V内求解位移的基本方程

按位移求解空间问题一(8-2)其中拉普拉斯算子第四页，共二十五页，2022年，8月28日弹性力学5位移边界条件仍为:按位移求解空间问题一4、将式(8-1)代入应力边界条件，得用位移表示的应力边界条件：(d)第五页，共二十五页，2022年，8月28日弹性力学6（2）上的应力边界条件(c)；（3）上的位移边界条件(d)。这些条件也是校核位移是否正确的全部条件。

（1）V内的平衡微分方程(8-2)；按位移求解空间问题一归结：按位移求解空间问题，位移必须满足：在空间问题中，按位移求解方法尤为重要：能适用于各种边界条件。未知函数及方程的数目少。而按应力求解时，没有普遍性的应力函数存在。近似解法中，按位移法求解得到广泛的应用。第六页，共二十五页，2022年，8月28日弹性力学7按位移求解空间轴对称问题:

在柱坐标中，可以相似地导出位移应满足：（1）V内的平衡微分方程，

按位移求解空间问题一(8-4)－按位移求解空间轴对称问题时的基本微分方程。第七页，共二十五页，2022年，8月28日弹性力学8

轴对称的拉普拉斯算子为其中体积应变

（2）上的应力边界条件。（3）上的位移边界条件。

按位移求解空间问题一第八页，共二十五页，2022年，8月28日一、按位移求解空间问题二、半空间体受重力及均布压力三、半空间体在边界上受法向集中力四、按应力求解空间问题第八章空间问题的解答内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第九页，共二十五页，2022年，8月28日弹性力学10

设有半空间体，受自重体力及边界的均布压力q。半空间体受重力及均布压力二解：按位移求解：位移u,v,w应满足平衡微分方程及边界条件。考虑对称性，本题的任何x面和y面均为对称面，可设(a)体积应变第十页，共二十五页，2022年，8月28日弹性力学11（1）将位移(a)代入平衡微分方程(8-2)，前两式自然满足，第三式成为常微分方程：

半空间体受重力及均布压力二积分其中Ａ、Ｂ为待定常数。(b)第十一页，共二十五页，2022年，8月28日弹性力学12半空间体受重力及均布压力二将(b)代入用位移分量表示的应力分量弹性方程，得：(c)（2）边界条件：在z=0的负z面，应力边界条件为边界条件代入(c)(d)第十二页，共二十五页，2022年，8月28日弹性力学13设z=h为刚性层，则由可以确定B。半空间体受重力及均布压力二将位移边界条件代入(b)最大铅直位移发生在边界上第十三页，共二十五页，2022年，8月28日弹性力学14侧压力系数：侧面压力与铅直压力之比。由(d)得

半空间体受重力及均布压力二(8-5)讨论：

当时，，三向相同应力状态，侧向变形最大，侧向压力也最大,说明物体的刚度极小，接近于流体。当时，正应力不引起侧向变形，说明物体的刚度极大，接近于刚体。第十四页，共二十五页，2022年，8月28日一、按位移求解空间问题二、半空间体受重力及均布压力三、半空间体在边界上受法向集中力四、按应力求解空间问题第八章空间问题的解答内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第十五页，共二十五页，2022年，8月28日弹性力学16解：本题为空间轴对称问题。设有半空间体,在o点受有法向集中力F。半空间体在边界上受法向集中力三按柱坐标位移求解，不计体力，位移而和应满足:（1）平衡微分方程(8-4)其中(a)第十六页，共二十五页，2022年，8月28日弹性力学17（2）在z=0的边界上，除原点o以外的应力边界条件为

（3）由于z=0边界上o点有集中力F的作用，取出z=0至z=z的平板脱离体，应用圣维南原理，考虑此脱离体的平衡条件：半空间体在边界上受法向集中力三(b)(c)

由于轴对称，其余的5个平衡条件均为自然满足。第十七页，共二十五页，2022年，8月28日弹性力学18布西内斯克得出满足上述全部条件的解答为

半空间体在边界上受法向集中力三(8-6)其中

(8-7)第十八页，共二十五页，2022年，8月28日弹性力学19

应力特征：（3）水平截面上的全应力，指向F作用点O。

（2）水平截面上的应力与弹性常数无关。（1）当当

边界面上任一点的沉陷：

半空间体在边界上受法向集中力三(8-8)第十九页，共二十五页，2022年，8月28日弹性力学20

若单位力均匀分布在的矩形面积上，其沉陷解为：将F代之为，对积分，便得到K点在矩形之外的沉陷量。

半空间体在边界上受法向集中力三(8-9)第二十页，共二十五页，2022年，8月28日一、按位移求解空间问题二、半空间体受重力及均布压力三、半空间体在边界上受法向集中力四、按应力求解空间问题第八章空间问题的解答内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第二十一页，共二十五页，2022年，8月28日弹性力学221.按应力求解空间问题的思路：

形变可以通过物理方程用应力表示；位移要通过对几何方程的积分，才能用形变或应力表示，其中会出现待定的积分函数。

（2）其他未知函数用应力表示:（1）取σx…

τyz…为基本未知函数。

因此,位移边界条件等用应力表示时，既复杂又难以求解。所以按应力求解通常只解全部为应力边界条件的问题。

按应力求解空间问题四第二十二页，共二十五页，2022年，8月28日弹性力学232.应力求解空间问题的方程

:（2）相容方程（6个）:（1）平衡微分方程（3个）。（3）假设全部为应力边界条件（4）对于多连体，还应满足位移单值条件。其中：(1),(3)是静力平衡条件；(2),(4)是位移连续条件。

按应力求解空间问题四(8-10)(8-11)第二十三页，共二十五页，2022年，8月28日弹性力学24（2）形变满足相容方程,对应的位移存在且连续物体保持连续；形变不满足相容方程,对应的位移不存在,物体不保持连续。（1）物体满足连续性