弹性体的振动

弹性体的振动第一页，共五十二页，2022年，8月28日6.1引言前面各章在讨论振动问题时采用的都是集中参数模型，它只有有限多个自由度，且运动规律由常微分方程来确定。事实上，它只是现实问题中的一类力学模型。客观现实的另一类力学模型是弹性体(也称连续系统或分布参数系统)，它的物理参数是分布型的，具有无限多个自由度，且运动规律由偏微分方程来确定第二页，共五十二页，2022年，8月28日由于描述的都是振动现象，所以在许多方面有共同之处。在多自由度系统振动分析所形成的一系列重要概念。在弹性体振动分析中都有相应的地位和发展。在弹性体振动中系统固有频率的数目增大为无限多个；主振型的概念发展为固有振型函数，而且这些振型函数之间也存在关于分布质量与刚度的加权正交性；在线性振动问题中，叠加原理以及建立在这一原理基础上的模态分析法、脉冲响应法、频率响应法等同样适用于弹性体振动分析。第三页，共五十二页，2022年，8月28日在考察实际振动问题时，究竟该采用那一类力学模型，得根据具体对象作具体处理。例如。飞机蒙皮一般取为薄板模型，涡轮盘取为厚圆板模型。涡轮叶片则取为薄壳或厚壳模型等。当考察振动体内弹性波的传播问题时，就得采用弹性体模型。第四页，共五十二页，2022年，8月28日讨论理想弹性体的振动。理想弹性体满足以下假设条件：1）匀质分布；2）各向同性；3）服从虎克定律。通过对一些简单形状的弹性体的振动分析，着重说明弹性体振动的特点，弄清它与多自由度系统振动的共同点与不同点。第五页，共五十二页，2022年，8月28日6.2一维连续系统振动弦振动从有限多自由度模型到无限多自由度模型－连续系统第六页，共五十二页，2022年，8月28日张力为T的弦振动－多自由度模型第七页，共五十二页，2022年，8月28日根据牛顿第二定律，列出质点横向振动的微分方程为假定作微小振动，因此第八页，共五十二页，2022年，8月28日考虑到Dxi=xi+1－xi＝li在微振动中保持不变。进一步简化方程，可以得到Ti=Ti-1，即弦中张力可近似看做常量T、并且有在弦的两端有y0＝yn+1＝0。第九页，共五十二页，2022年，8月28日写成矩阵形式，有第十页，共五十二页，2022年，8月28日将上式两端向除以Dxi，得随着质点数n的增加。质点间的距离Dxi越来越小，弦上各质点的位移yi(t)将趋于—连续函数y(x,t)。同时分别是弦上单位长度的质量和作用在弦上单位长度上的载荷第十一页，共五十二页，2022年，8月28日于是方程(6．2．4)演化为一阶偏微分方程其边界条件可见，对连续体若用方程(6.2.3)代替方程(6.2.5)，可近似确定系统在外激扰力作用的响应，这种做法在实际问题中常常用到。若把弦作为连续系统，精确地确定系统的响应，则需求解偏微分方程(6.2.5)。第十二页，共五十二页，2022年，8月28日弦的振动微分方程及其自由振动直接就连续体来推导弦横向振动的微分方程。如图在弦作微振动假设下，有考虑到微元段在水平方向的平衡，弦中张力可近似看成是常量T第十三页，共五十二页，2022年，8月28日微元段的运动微分方程为与方程(6.2.5)完全相同第十四页，共五十二页，2022年，8月28日讨沦无阻尼自由振动的情形。此时

p(x，t)＝0，于是程(6.2.5)可写成称做一维波动方程，c就是波沿弦向的传播速度。要求给出系统的边界条件和初始条件第十五页，共五十二页，2022年，8月28日方程(6.2.6)的解可表示成两种形式，一种是波动解，另一种是振动解。波动解将弦的运动表示为即把弦的运动看成是由两个相同形式的反向行进波的叠加。振动解则将弦的运动表示成各横向同步运动的叠加，各点的振幅在空间按特定的模式分布第十六页，共五十二页，2022年，8月28日两种解从不同的角度描述了弦的运动，各有其特点。波动解能形象直观地描述波动过程，给出任何时划清晰的波形，但求解比较复杂；振动解揭示了弦的运动由无穷多个简谐运动叠加而成第十七页，共五十二页，2022年，8月28日对特定动力分析过程，选择什么形式的解要视实际问题的需要来定。这既取决于扰动源的性质，又取决于所考虑物体的相对尺寸，同时还与所关心的问题等因素有关。在一般机械系统中，直接进行振动分析更为简单可行。下面寻求方程（6.2.6)的振动解。第十八页，共五十二页，2022年，8月28日观察弦的自由振动可以发现。弦的运动呈现同步振动，即在运动中，弦的各点同时达到最大幅值，又同时通过平衡位置，而整个弦的振动形态不随时间而变化。用数学语言来说，描述弦振动的函数y(x,t)可以分解为空间函数和时间函数的乘积，即第十九页，共五十二页，2022年，8月28日其中X(x)足是振型函数，它描述整个弦的振动形态。Y(t)描述弦各点的振动规律。将(6.2.9)代入方程(6.2.6)，得到上式左边仅是x的函数，右边仅是t的函数，所以要使上式对任意的x、t都成立，只有两边都等于同一常数。设这一常数为a，有第二十页，共五十二页，2022年，8月28日只有当a为负数时，才能从上述第一个方程中确定振动运动。所以，取于是，上述方程改为第二十一页，共五十二页，2022年，8月28日方程（6.2.10)和（6.2.11)的解分别是其中A，B，C，D为积分常数。另外由边界条件(6.2.7)，得于是有第二十二页，共五十二页，2022年，8月28日而由条件(6.2.15)可得上式称做弦振动的特征方程。由此可确定一系列特征值bi所以系统的各阶固有频率为：第二十三页，共五十二页，2022年，8月28日与其相应的特征函数，亦称振型函数为弦对应于各阶固有频率pi的主振动为第二十四页，共五十二页，2022年，8月28日弦的自由振动可以表示为各阶主振动的叠加，即有其中Ai，Bi由运动的初始条件确定。将初始条件(6.2.8)代入上式，有第二十五页，共五十二页，2022年，8月28日三角函数族具有正交性，即由此可得第二十六页，共五十二页，2022年，8月28日由以上讨论可见，张紧弦的自由振动除了基频(最低频率p1)振动外，还可以包含频率为基频整数倍的振动，这种倍频振动亦称谐波振动。第二十七页，共五十二页，2022年，8月28日6.3导致一维波动方程的其它振动系统比较典型的有：杆的纵向振动轴的扭转振动第二十八页，共五十二页，2022年，8月28日第二十九页，共五十二页，2022年，8月28日以u(x，t)表示杆上距原点x处在t时刻的纵向位移。在杆上取微元段dx，它的受力如上图(b)所示。根据牛顿第二定律，它的运动方程为第三十页，共五十二页，2022年，8月28日将它代入式(6.3.1)并化简，得第三十一页，共五十二页，2022年，8月28日可见杆的纵向振动的运动微分方程也是一维波动方程。方程的求解仍可采用上节中的分离变量法将：第三十二页，共五十二页，2022年，8月28日按上类似的方式可得其中固有频率p与振型函数X(x)由杆的边界条件确定。典型的边界条件有以下几种：第三十三页，共五十二页，2022年，8月28日(1)固定端该处纵向位移为零，即有(2)自由端该处轴向内力为零，即有(3)弹性支承设杆的右端为弹性支承(如图(a))，则此处轴向内力等于弹性力，即第三十四页，共五十二页，2022年，8月28日(4)惯性载荷设杆的右端附—集中质量块(图(b))，则此处杆的轴向内力等于质量块的惯性力，即第三十五页，共五十二页，2022年，8月28日轴的扭转振动长为l的等截面直园轴。设轴单位体积的质量为r，圆截面对其中心的极惯性矩为Ip，材料剪切弹性模量为G。第三十六页，共五十二页，2022年，8月28日假定轴的横截面在扭转振动中保持为平面作整体转动。以q(x,t)表示轴上x截面处在t时刻相对左端面的扭转角。为推导轴扭转振动的微分方程，从其中截取一微元段如上图。列出运动微分方程为其中T为轴上x截面处的扭矩。由材料力学知，代入式(6.3.8)，整理得第三十七页，共五十二页，2022年，8月28日其中。可见轴的扭转振动微分方程仍为一维波动方程。常见的边界条件有以下几种：(1)固定端该处转角为零，即有第三十八页，共五十二页，2022年，8月28日(2)自由端该处扭矩为零，即(3)弹性支承若轴的右端通过刚度为Kt的扭簧与固定点相连，则有(4)惯性载荷若轴的右端附有一圆盘，则有上(4)中J0为圆盘对转轴的转动惯量第三十九页，共五十二页，2022年，8月28日6.4梁的弯曲振动粱弯曲振动的运动方程考察匀质等截面细直梁的横向弯曲振动。假定梁只有纵向对称平面，所受的外力也在此对称平面内，故梁在此平面内作弯曲振动；还假定梁的长度与截面高度之比大于10。根据材料力学“简单梁理论”，忽略剪切变形和转动惯量的影响，这种梁称做欧拉—贝努利(Euler-Bernoulli)梁。于是，梁上各点的运动只需用梁轴线的横向位移表示第四十页，共五十二页，2022年，8月28日设梁长为l，单位长度的质量r及抗弯刚度EI均为常数，建立如上图所示的坐标系。第四十一页，共五十二页，2022年，8月28日在梁上距左端x处取微元段dx，在任意瞬时t，此微元段的横向位移可用y(x,t)表示。按其受力情况。微元段沿y方向的运动方程为忽略转动惯量的影响，各力对右截面上任一点的矩之和应为零，即第四十二页，共五十二页，2022年，8月28日略去二阶微量，有由材料力学知，弯矩与挠曲线的关系为将(6.4.2)和(6.4.3)代入(6.4.1)中，得第四十三页，共五十二页，2022年，8月28日上式就是梁弯曲振动的运动微分方程。如p(x,t)=0，梁作自由振动，其运动微分方程为

或写成其中第四十四页，共五十二页，2022年，8月28日粱的自由振动粱弯曲振动的运动微分方程(6.4.6)是一个四阶偏微分方程。为求其振动解，仍采用分离变量法，即假定方程(6.4.6)的解为

将(6.4.7)代入方程(6.4.6)中，得第四十五页，共五十二页，2022年，8月28日要使仅依赖于t的左端与仅依赖于x的右端相等，两者应等于同一常数。取这一常数为，于是有方程(6.4.9)的通解为第四十六页，共五十二页，2022年，8月28日方程(6.4.10)是一个四阶常系数线性微分方程，它的特征方程是

其特征值为

所以，方程(6.4.10)的通解为第四十七页，共五十二页，2022年，8月28日或表示为特征值b及振型函数由梁的边界条件来确定。对于梁的弯曲振动，基本的边界条件有以下几种：

(1)固支端固支端的挠度和转角都为零，即第四十八页，共五十二页，2022年，8月28日(2)铰支端铰支端的挠度与弯矩都为零，即(3)自由端自由端的弯矩与剪力都为零，即第四十九页，共五十二页，2022年，8月28日还有其它一些边界条件，如图所示梁端具有弹性支承或附有集中质量。图(a)所示梁右端的边界条件为第五十页，共五