第二章逻辑代数基础

第二章逻辑代数基础2.1

概述2.2逻辑代数中的三种基本运算2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.4逻辑代数的基本定理2.5逻辑函数及其表示方法2.6逻辑函数的化简第二章逻辑代数基础主要要求：

理解逻辑值1和0的含义。2.1概述理解逻辑体制的含义。逻辑代数中的逻辑变量和函数只有1和0两种可能取值，1和0不表示数量大小，仅表示两种相反的状态。

注意二、逻辑体制

正逻辑体制负逻辑体制规定高电平为逻辑1、低电平为逻辑0规定低电平为逻辑1、高电平为逻辑0通常未加说明，则为正逻辑体制用于描述客观事物逻辑关系的数学工具，又称布尔代数(BooleAlgebra)或开关代数。由英国数学家乔治布尔创建一、逻辑代数主要要求：

掌握逻辑代数的三种基本运算及其复合逻辑运算。2.2逻辑代数中的三种基本运算一、基本逻辑运算

基本逻辑运算

与逻辑或逻辑非逻辑与运算(逻辑乘)

或运算(逻辑加)

非运算(逻辑非)

1.与逻辑

决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生灭断断亮合合灭断合灭合断灯

Y开关

B开关

A开关

A、B都闭合时，灯

Y才亮。

1.与逻辑

决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生灭断断亮合合灭断合灭合断灯

Y开关

B开关

A规定:开关闭合为逻辑1断开为逻辑0灯亮为逻辑1灯灭为逻辑0

真值表111YAB000001010逻辑表达式Y=A·B或Y=AB与门

(ANDgate)若有0出0；若全1出1

AA=A1A=A0A=02.或逻辑

决定某一事件的诸条件中，只要有一个或一个以上具备时，该事件就发生。灭亮亮亮断断合合断合合断灯

Y开关

B开关

A若有1出1若全0出0

000111YA

B101110逻辑表达式Y=A+B

或门

(ORgate)1+A=10+A=AA+A=A3.非逻辑决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生。开关闭合时灯灭，开关断开时灯亮。

AY0110非门(NOTgate)又称“反相器”1′

=0;0′=1AA′=0A+A′=1(A′)′=A4.几种常用的复合逻辑运算与非(NAND)由基本逻辑运算组合而成

先与后非若有

0

出

1若全

1

出

0100011YA

B1011104、几种常用的复合逻辑运算或非(NOR)先或后非若有

1

出

0若全

0

出

1011100YA

B001010上节课回顾逻辑代数的三种基本逻辑运算关系4、几种常用的复合逻辑运算与或非(AND–OR–INVERT)先与后或再非异或Y=AB同或Y=A⊙B两个变量的异或运算和同或运算之间是什么逻辑关系？4、几种常用的复合逻辑运算若相异出1若相同出0000011YAB101110若相同出1若相异出0100111YAB001010[例]试对应输入信号波形分别画出下图各电路的输出波形。解：Y1有0出0全1出10110011000110011Y2Y3相同出

0相异出

12.3逻辑代数的基本公式和常用公式掌握逻辑代数的基本公式和常用公式。

2.3.1基本公式根据与、或、非的定义，得表2.3.1的布尔恒等式序号公式序号公式101′

=0;0′=110A=0111+A=121A=A120+A=A3AA=A13A+A=A4AA′=014A+A′=15AB=BA15A+B=B+A6A(BC)=(AB)C16A+(B+C)=(A+B)+C7A(B+C)=AB+AC17A+BC=(A+B)(A+C)8(AB)′=A′+B′18(A+B)′=A′B′9(A′)′=A公式（17）的证明（公式推演法）：A+BC=(A+B)(A+C)111111111100[例]

证明等式A+BC=(A+B)(A+C)解：真值表法0000ABCA+BC(A+B)(A+C)0000010100111001011101112.3.2若干常用公式序号公式21A+AB=A22A+A′B=A+B23AB+AB′=A24A(A+B)=A25AB+A′C+BC=AB+A′CAB＋A′C+BCD=AB+A′C26A(AB)′=AB′;A′(AB)′=A′思考：(1)若已知

A+B=A+C，则

B=C吗？

(2)若已知

AB=AC，则B=C吗？

掌握逻辑代数的基本定理。

2.4逻辑代数的基本定理2.4逻辑代数的基本定理------在任何一个包含A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中A的位置，则等式依然成立。2.4.1代入定理应用举例：

式（17）A+BC=(A+B)(A+C)

A+B(CD)

=(A+B)(A+C)(A+D)

利用代入定理能扩展基本公式和常用公式。

=(A+B)(A+CD)-------对任一逻辑式2.4逻辑代数的基本定理2.4.2反演定理2、反逻辑式保留原逻辑式的运算优先顺序1、原逻辑式中不属于单个变量的上的反号保留不变注意2.4.2反演定理应用举例：例如：定义：对于任意一个逻辑式Y，若将其中的“”换成“+”，“+”换成“”，“1”换成“0”，“0”换成“1”，则得到的结果就是Y的对偶式YD.若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。A+BC=(A+B)(A+C)2.4.3、对偶定理YD=A（B+C）Y=A+BCF=（A+B)(A+C）FD=AB+AC所以:注意1、对偶式保留原逻辑式的运算优先顺序2、对偶式只变换原逻辑式运算符和常量，其变量是不变的。2.5逻辑函数及其表示方法主要要求：

理解并初步掌握逻辑函数的建立和表示的方法。

掌握真值表、逻辑式和逻辑图的特点及其相互转换的方法。

Y=F(A,B,C,······)------以函数的形式描述某个逻辑事件结果与原因之间的关系，即为逻辑函数。逻辑函数以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量值确定以后，输出的取值也随之而定。2.5逻辑函数及其表示方法2.5.1逻辑函数（logicfunction）逻辑函数描述形式:真值表、逻辑函数式、逻辑图、电压波形图和卡诺图等表示。2.5.2逻辑函数的表示方法举例：举重裁判电路000001010011100101110111ABCY00000111举例：举重裁判电路ototototABCY电压波形图上节课回顾几种常用的复合逻辑运算逻辑代数的基本公式和常用公式逻辑代数的基本定理逻辑函数的表示方法及不同表示方法之间的转换逻辑函数不同表示方法间的相互转换：举重裁判电路的真值表A=1,B=0,C=1A=1,B=1,C=0A=1,B=1,C=1这三种取值的任何一种都使Y=1ABCY00000010010001101000101111011111真值表逻辑式使AB′C=1使ABC′=1使ABC=1所以Y=?Y=AB′C+ABC′+ABCA′B′C′A′B′CA′BC′A′BCAB′C′AB′CABC′ABC最小项全部最小项之和等于1Y=AB+ACY=A（B+C）将真值表中使Y=1的最小项相加真值表逻辑式ABY0000110110异或Y=ABABY0010100011同或Y=A⊙B各种表示方法的相互转换：用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。逻辑式逻辑图各种表示方法的相互转换：从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑运算式。逻辑图逻辑式各种表示方法的相互转换：把输入变量取值的所有组合逐个代入逻辑式中求出Y，列表逻辑式真值表各种表示方法的相互转换：ABY0001010011波形图真值表ototototABCY００００００１０１００１１１００１０１１１０１１１０００００００１１１０ABCY00000010010001101000101111011111

最小项(minterm)之和最大项(maxterm)之积2.5.3逻辑函数的两种标准形式ABCY00000010010001111000101111011110A′B′C′A′B′CA′BC′A′BCAB′C′AB′CABC′ABCY=A′BC+AB′C+ABC′最小项之和的形式逻辑函数式可以表示成最小项之和的形式，这是逻辑函数式的标准形式之一，利用反演定律可以改写成最大项之积的标准形式。最小项之和与最大项之积的形式是唯一的。最小项的编号：最小项取值对应编号ABC十进制数0000m00011m10102m20113m31004m41015m51106m61117m7最小项的性质在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为1。全体最小项之和为1。任何两个最小项之积为0。两个逻辑相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公共因子。------逻辑相邻：仅一个变量不同的最小项如如何将逻辑函数转换成最小项之和的形式：利用公式可将任何一个函数化为2.5.4逻辑函数形式的变换与或式与非式？如何获得与或非式和或非式掌握逻辑函数的公式法化简和卡诺图法化简2.6逻辑函数的化简方法最简与-或------包含的乘积项已经最少，每个乘积项的因子也最少，称为最简的与-或逻辑式。逻辑函数的最简形式2.6逻辑函数的化简方法逻辑电路所用门的数量少每个门的输入端个数少逻辑电路构成级数少降低成本提高电路的工作速度和可靠性方法：并项：利用将两项并为一项，且消去一个变量B。消项：利用A+AB=A消去多余的项AB。配项：利用和互补律、重叠律先增添项，再消去多余项。2.6.1公式法化简消元：利用消去多余变量例：反变量吸收提出AB=1提出A例：反演配项被吸收被吸收例：卡诺图：将n个输入变量的全部最小项用小方块阵列图表示，并且将逻辑相邻的最小项放在相邻的几何位置上，所得到的阵列图就是n变量的卡诺图。一、逻辑函数的卡诺图表示法2.6.2卡诺图法化简卡诺图的画法三变量的卡诺图4变量的卡诺图二变量卡诺图五变量的卡诺图AB0101AB01010111逻辑函数的卡诺图表示：（二输入变量）ABY001011101110输入变量输出变量Y的值

0100011110

ABC0100011110

ABC01011010逻辑函数的卡诺图表示：（三输入变量）输入变量ABCY000000110101011010011010110011110100011110ABC输出变量Y的值1100101111四输入变量卡诺图ABCDY0000100010001010011101000010110110001111ABCDY10001100111010110111110011101111101111111100101111F(A,B,C)=(1,2,4,7)ABC0001111001ABC00011110010

1

0

1

10

1

0

用卡诺图表示下面的逻辑函数ABCD0001111000011110F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)ABCD00011110000111101111111111111000用卡诺图表示下面的逻辑函数用卡诺图表示下面的逻辑函数上节课回顾逻辑函数的公式法化简本节课内容逻辑函数的卡诺图化简一、逻辑函数的卡诺图表示法二、用卡诺图化简逻辑函数式规则三、用卡诺图化简函数举例逻辑函数的卡诺图化简具有无关项的逻辑函数化简依据：在卡诺图中最小项的逻辑相邻性和几何位置的相邻性具有统一性，由于具有逻辑相邻性的最小项可以消掉不同的因子，所以在卡诺图上具有几何相邻性的输出变量为1（或0）的最小项可以进行合并。二、用卡诺图化简逻辑函数式规则ABC0001111001规则一：若两个最小项相邻，则可以消去一对因子，只保留公共因子ABC0001111001AB?ABC0001111001ABBCF=AB+BC化简过程：ABCD0001111000011110AD规则二：若四个最小项相邻并排列成一个矩形组，则可消去两对因子，合并成一项，此一项中只包含公共因子。ABCD0001111000011110不是矩形ABCD0001111000011110A规则三：若八个最小项相邻并排列成一个矩形组，则可消去三对因子，合并成一项，此一项中只包含公共因子。规则：若2N个最小项相邻并排列成一个矩形组，则可消去N对因子，合并成一项，此一项中只包含公共因子。化简步骤：

------用卡诺图表示逻辑函数

------找出可合并的最小项（每个可合并的最小项矩形组中应包含尽量多的最小项；可合并的最小项组成的矩形组越少越好）

------化简后的乘积项相加 （项数最少，每项因子最少）

三、用卡诺图化简函数举例ABC0001111001ABC00011110011

1

1

0

10

1

1

ABC00011110011

1

1

0

10

1

1

用卡诺图化简逻辑函数式ABCD0001111000011110例：化简F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)ABCD0001111000011110A例：例：00011110001001011001111111101111ABCD例：上节课回顾能用卡诺图正确表示逻辑函数并化简2.7具有无关项的逻辑函数的化简无关项包括约束项和任意项约束项：对于某些逻辑函数，其输入变量的某些取值组合根本不允许存在，则它们对应的最小项称为约束项，2.7具有无关项的逻辑函数的化简约束项：