第四章稳定性与李雅普诺夫方法

第四章稳定性与李雅普诺夫方法

第四章稳定性与李雅普诺夫方法4.1李雅普诺夫稳定性概念4.2李雅普诺夫稳定性间接判别法4.3李雅普诺夫稳定性直接判别法4.4线性系统的李雅普诺夫稳定性分析4.5非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析第四章稳定性与李雅普诺夫方法

俄国数学家和力学家A.M.李雅普诺夫在1892年所创立的用于分析系统稳定性的理论。李雅普诺夫稳定性理论能同时适用于分析线性系统和非线性系统、定常系统和

时变系统的稳定性，是更为一般的稳定性分析方法。李雅普诺夫稳定性理论主要指李雅普诺夫第二方法，又称李雅普诺夫直接法。李雅普诺夫稳定性理论第四章稳定性与李雅普诺夫方法

4.1李雅普诺夫稳定性概念1、稳定性：一个自动控制系统当受到外界干扰时，它的平衡状态被破坏，但在外扰去掉后,它仍有能力自动地在平衡状态状态下继续工作，系统的这种性能，称为稳定性。2、稳定系统：具有稳定性的系统称为稳定系统。反之为不稳定系统。一.物理基础第四章稳定性与李雅普诺夫方法

稳定性是控制系统能否正常工作的前提条件。控制系统的稳定性，通常有两种定义方式。一种是指系统在零初始条件下通过其外部状态，即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。适用范围:只适用于线性系统另一种是指系统在零输人条件下通过其内部状态变化所定义的内部稳定性。适用范围:不但适用于线性系统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性。

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稳定性由控制系统内部储能元件的能量不可能突变所产生的惯性滞后作用所导致。在实际的应用系统中，由于系统中存在储能元件，并且每个元件都存在惯性。这样当给定系统的输入时，输出量一般会在期望的输出量之间摆动。此时系统会从外界吸收能量。对于稳定的系统振荡是减幅的，而对于不稳定的系统，振荡是增幅的振荡。前者会平衡于一个状态，后者却会不断增大直到系统被损坏。

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控制系统的外部稳定性，常称为有界输入有界输出稳定性。在讨论系统的外部稳定性时，一般只适用于线性动态系统，而且必须假定系统的初始条件为零。外部稳定性的定义是，初始条件为零的线性系统，对任何一个有界的输入作用下，若系统所产生的相应输出也是有界的，就称该动态系统是外部稳定的，又简称为BIBO稳定。外部稳定性第四章稳定性与李雅普诺夫方法“有界”涵义:对于单输入、单输出系统来说，输入u(t)和输出y(t)的有界性，是通过它们各自的模的有界性来表征的。即是说，对于任何一个输人u(t)的有界性，有系统相应输出y(t)的有界性，有第四章稳定性与李雅普诺夫方法单输入-多输出系统，其输出y(t)可表示如下：这时，输出量y(t)的有界性可按输出向量的范数来定义,也可以等效地按y(t)的每个分量

值的模有界性来定义，即第四章稳定性与李雅普诺夫方法

对于多输入—多输出系统来说，输入量u(t)和输出量y(t)的有界涵义，可以等效地按其每个分量值的模的有界性来表征，即若：则有界的涵义为第四章稳定性与李雅普诺夫方法

为了进一步理解系统外部稳定性的定义，下面以单输入-单输出系统为例加以说明。第四章稳定性与李雅普诺夫方法

第四章稳定性与李雅普诺夫方法内部稳定性一般情况而言，动态系统的内部稳定性是指系统零输入时内部状态自由运动的稳定性,通常是采用俄国数学家李雅普诺夫所提出的定义。李雅普诺夫关于稳定性的定义是针对系统的平衡状态而言。它不仅适用于单变量、线性、定常系统，而且也适用于多变量、非线性和时变系统。第四章稳定性与李雅普诺夫方法第四章稳定性与李雅普诺夫方法第四章稳定性与李雅普诺夫方法系统的传递函数极点与系统的特征值完全相同:外部稳定性-------传递函数极点的性质状态稳定性-------状态解的运动轨迹来决定-----状态转移矩阵-----系统的特征值。当分子和分母多项式含有正极点的公因子项时，在传递函数中，由于零、极点对消后没有出现该正极点，系统具有外部稳定性；而与正特征值相对应的状态变量是不稳定的。若该系统不具有能控能观性------分子和分母存在有相同的公因子-------传递函数极点数只是系统特征值的一部分。如果系统具有外部稳定性，内部稳定性？？若系统具有内部稳定性，也一定具有外部稳定性。第四章稳定性与李雅普诺夫方法由以上分析，对线性定常系统可得出如下结论：1)若内部稳定，则一定是“外部稳定”的。2)若是“外部稳定”的，则不能保证其是“内部稳定”的。3)若线性定常系统具有能控能观性，则其内部稳定性和外部稳定性是等价的。由此可见，动态系统的内部稳定性的定义要比外部稳定性的定义严格。只用传递函数的极点性质来判定该系统的稳定性并不一定能真正反映出系统稳定的性能，甚至有可能导致错误。一个具有外部稳定的系统，完全有可能由于内部状态的不稳定性造成系统中某些元部件的饱和，甚至损坏而使系统无法正常工作。第四章稳定性与李雅普诺夫方法第四章稳定性与李雅普诺夫方法第四章稳定性与李雅普诺夫方法第四章稳定性与李雅普诺夫方法

3、系统稳定性的数学表示法系统在受外界干扰后，系统偏差量（被调量偏离平衡位置的数值）过渡过程的收敛性，用数学方法表示为：为系统被调量偏离其平衡位置的大小，ε为任意小的规定量。第四章稳定性与李雅普诺夫方法

劳斯—胡尔维茨稳定性判据古典控制论：乃奎斯特稳定性判据经典控制理论-------劳斯判据、Huiwitz稳定判据、Nquist判据、根轨迹判据等来判断线性定常系统的稳定性，但不适用于非线性和时变系统。分析非线性系统稳定性的相平面法则只适合于一阶、二阶非线性系统。4、研究系统稳定性的方法第四章稳定性与李雅普诺夫方法

高阶微分方程线性系统的特征根，即特征方程的根，均具有负实部，则系统稳定；有一个零根或一对虚根而其余根有负实部，则系统属临界情况；其他情况，系统不稳定。为避免求根而直接由方程的系数判别系统的稳定性，有劳斯—胡尔维茨代数判据。第四章稳定性与李雅普诺夫方法

1892年俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov）发表了《运动稳定性一般问题》论文，建立了运动稳定性的一般理论和方法。它采用状态向量来描述，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统。第一法第二法现代控制论：李亚普诺夫稳定性第一法：解系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断系统的稳定性，或根据特征方程根的情况来判据稳定性，这是一种间接方法。建立在一个直观的物理事实上，如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即，第四章稳定性与李雅普诺夫方法那么随着系统的运动，其贮存的能量将随时间增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。实际系统很难找到一个统一的，简便的用于完全描述上述过程的所谓能量函数。李氏认为在判断一个系统的稳定性时，不一定非要找到系统的真正能量函数，可以根据不同的系统虚构一个广义的能量函数，称为李雅普诺夫函数（李氏函数）。李氏函数能满足一定的条件，根据它来判据系统的稳定性。第二法：第四章稳定性与李雅普诺夫方法

5、平衡状态系统一般描述：X为n维状态向量。平衡状态：当在任意时间都能满足称Xe为系统的平衡状态或平衡点。对于线性定常系统A为非奇异时，X=0是其唯一的平衡状态。A为奇异时，系统有无穷多个平衡状态。对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。对任意，总可经过一定的坐标变换，把它化到坐标原点（即零状态）。第四章稳定性与李雅普诺夫方法

1.平衡状态稳定性问题是系统自身的一种动态属性，与外部输入无关。令系统的状态方程为：初始状态：，相应的解：表示状态向量的初始值，为初始时刻。平衡状态的定义：若对所有t，状态x满足，则称该状态x为平衡状态，记为：，满足下式：二、李亚普诺夫意义下的稳定性概念

第四章稳定性与李雅普诺夫方法变化。由平衡状态在状态空间确定的点，称为平衡点。平衡状态的求法：线性定常系统的平衡状态应满足

。a.线性系统A非奇异：A奇异：有无穷多个平衡状态的各分量相对时间不再发生，b.非线性系统可能有多个eg.

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令第四章稳定性与李雅普诺夫方法

2.范数的概念定义：n维状态空间中，向量x的长度称为向量的表示，则有：向量的距离：当限定在某一范围之内时，记做范数，用第四章稳定性与李雅普诺夫方法1)稳定性

定义：对于系统，若任意给定实数,都存在，使得：，从初始状态出发的解满足：，则称平衡状态是稳定的。3.李亚普诺夫意义下的稳定性概念第四章稳定性与李雅普诺夫方法

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要注意到，按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时，将在平面描绘出一条封闭曲线，但只要不超过，则认为稳定，这同经典控制理论中线性定常系统稳定性的定义是有差异的。第四章稳定性与李雅普诺夫方法

2）渐近稳定性定义：对于系统，若任意给定实数,都存在，使得：，从初始状态出发的解满足：且对于任意小量，总有：，则称平衡状态是渐进稳定的。第四章稳定性与李雅普诺夫方法

经典控制理论的稳定是李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定。

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3）大范围渐近稳定性当初始条件扩展至整个状态空间，且具有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围渐近稳定的。此时，δ→∞，S(δ)→∞。当t→∞时，对于线性系统，如果它是渐近稳定的，必具有大范围渐近稳定性，因为线性系统稳定性与初始条件无关。非线性系统的稳定性一般与初始条件的大小密切相关，其δ总是有限的，通常只能在小范围内渐近稳定。系统为大范围渐近稳定的必要条件是它在状态空间中只有一个平衡状态。

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局部渐近稳定大范围渐近稳定大范围渐近稳定性第四章稳定性与李雅普诺夫方法

4）不稳定定义：对于系统，若任意给定实数,都存在，使得：，从初始状态出发的解，总有：，则称平衡状态是不稳定的。第四章稳定性与李雅普诺夫方法

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对线性系统来讲，任意一个孤立的平衡状态都可以通过坐标变化转移到状态空间的原点。因此分析坐标原点的稳定性具有代表意义。对非线性系统来讲，如果具有多个平衡状态，各平衡状态的稳定性有可能不同。因此应对每个平衡状态分别进行分析。稳定和渐近稳定有很大的区别。在实际工程中，通常认为渐近稳定比稳定的性质更为重要。对线性系统而言，如果平衡状态是渐近稳定的，那么也一定是大范围渐近稳定的。5）应注意的几个问题第四章稳定性与李雅普诺夫方法

4.1李雅普诺夫稳定性概念4.2李雅普诺夫稳定性间接判别法4.3李雅普诺夫稳定性直接判别法4.4线性系统的李雅普诺夫稳定性分析4.5非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析第四章稳定性与李雅普诺夫方法

4.2李雅普诺夫稳定性间接判别法（第一法）间接法：利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法。适应范围：线性定常系统、线性时变系统、非线性函数可线性化的系统。1.间接判别法第四章稳定性与李雅普诺夫方法

2.线性定常系统稳定性的特征值判据平衡状态xe=0渐进稳定的充要条件：系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部，即

系统第四章稳定性与李雅普诺夫方法

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第四章稳定性与李雅普诺夫方法解：由A阵的特征方程【例】设系统的状态空间表达式为试分析系统的稳定性可得特征值故系统不是渐进稳定的第四章稳定性与李雅普诺夫方法

第四章稳定性与李雅普诺夫方法4.非线性函数可线性化的系统设系统的状态方程为Xe为其平衡状态；f[x,t]为与X同维的矢量函数，且对X具有连续的偏导数。为讨论系统在Xe处的稳定性，可将非线性矢量函数f[x,t]在Xe邻域内展成泰勒级数，得式中R(x)为级数展开式中的高阶导数项。(4—12)(4—13)第四章稳定性与李雅普诺夫方法而称为雅克比（Jacobian）矩阵第四章稳定性与李雅普诺夫方法若令，并取式(4-13)的一次近似式，可得系统的线性化方程：在一次近似的基础上，李雅普诺夫给出下述结论：1)如果方程式（4—15)中系数矩阵A的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统式(4—12)在平衡状态xe是渐近稳定的，而且系统的稳定性与R(x)无关。2)如果A的特征值至少有一个具有正实部，则原非线性系统的平衡状态xe是不稳定的。3)如果A的特征值至少有一个的实部为零。系统处于临界情况，那么原非线性系统的平衡状态xe的稳定性将取决于高阶导数项R(x)，而不能由A的特征值符号来确定。（4—15)第四章稳定性与李雅普诺夫方法

4.1李雅普诺夫稳定性概念4.2李雅普诺夫稳定性间接判别法4.3李雅普诺夫稳定性直接判别法4.4线性系统的李雅普诺夫稳定性分析4.5非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析第四章稳定性与李雅普诺夫方法

4.3李雅普诺夫稳定性直接判别法李雅普诺夫第二法（直接法）是利用李雅普诺夫函数直接对平衡状态稳定性进行判断，无需求出系统状态方程的解，对各种控制系统均适用。根据物理学原理，若系统贮存的能量（含动能与位能）随时间推移而衰减，系统迟早会到达平衡状态。实际系统的能量函数表达式相当难找，因此李雅普诺夫引入了广义能量函数，称之为李雅普诺夫函数。它与及t有关，标量函数，记以V(x,t)；若不显含t，则记以V(x)。是一个第四章稳定性与李雅普诺夫方法考虑到能量总大于零，故为正定函数，能量衰减特性用表示。处的稳定性、渐近稳定性或不稳定性的准则，而不必直接求出方程的解（这种方法既适用于线性系统，也适用于非线性系统）。

在Lyapunov第二法中，和其对时间的导数的符号特征，提供了判断平衡状态第四章稳定性与李雅普诺夫方法当电路加电后，令。

系统有两个独立储能元件，L和C。设，例第四章稳定性与李雅普诺夫方法如果能量随时间推移

电感储能：电容能量：总能量：

第四章稳定性与李雅普诺夫方法讨论：L，C互相振荡，总能量不变。

第四章稳定性与李雅普诺夫方法对于一些纯数学系统，毕竟还没有一个“定义能量函数”的简便方法。为了克服这个困难，Lyapunov定义了一个虚构的能量函数，称为Lyapunov函数。这个函数比能量更为一般，其应用也更广泛。遗憾的是至今仍未形成构造李雅普诺夫函数的通用方法，需要凭经验与技巧。实践表明，对于大多数系统，可先尝试用二次型函数

作为李雅普诺夫函数。即：P为实对称阵。第四章稳定性与李雅普诺夫方法

一.预备知识5、

[例]本例给出按照以上分类的几种纯量函数。假设x为二维向量。第四章稳定性与李雅普诺夫方法

4、正定的2、正半定的3、负定的不定的正定的1、第四章稳定性与李雅普诺夫方法

二次型函数是一类重要的标量函数，记其中，P为实对称矩阵，有。显然满足。

第四章稳定性与李雅普诺夫方法第四章稳定性与李雅普诺夫方法矩阵P的符号性质定义如下:设P为nxn实对称方阵，V(x)＝xTPx,为由P所决定的二次型函数。(1)若V(x)正定，则称P为正定，记作P＞0。(2)若V(x)负定，则称P为负定，记作P＜0。(3)若V(x)半正定(非负定)，则称P为半正定(非负定)，记作P≥0(4)若V(x)半负定(非正定)，则称P为半负定(非正定)，记作P≤0第四章稳定性与李雅普诺夫方法由上可见，矩阵P的符号性质与由其所决定的二次型函数V(x)=xTPx的符号性质完全一致。因此，要判别V(x)的符号只要判别P的符号即可。而后者可由赛尔维斯特(sylvester)判据进行判定。第四章稳定性与李雅普诺夫方法

2、赛尔维斯特准则1）二次型或对称矩阵P为正定的充要条件是P的主子行列式均为正，即如果则P为正定，即V(X)正定。第四章稳定性与李雅普诺夫方法2）二次型或对称阵P为负定的充要条件是P的主子行列式满足；（i为偶数）i=1，2，3，…,n。当矩阵P的各顺序主子行列式负、正相间时，即，，…，则负定，且称P为负定矩阵。为半正定或半负定。不属以上所有情况，3）若矩阵的各顺序主子行列式含有等于零的情况，则不定。第四章稳定性与李雅普诺夫方法

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二.李氏第二法稳定性判据第四章稳定性与李雅普诺夫方法常数V圆和典型轨迹第四章稳定性与李雅普诺夫方法

定理1：设系统的状态方程为式中，，如果有连续一阶偏导数的标量函数存在，并且满足以下条件：是正定的。是负定的。则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随着，有，则原点处的平衡状态是大范围内渐近稳定的。【例】设系统方程为第四章稳定性与李雅普诺夫方法

试确定其平衡状态的稳定性。解：1）平衡状态求解，得是给定系统唯一的平衡状态。2）选取李氏函数选显然正定的

所以系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。又,有则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。第四章稳定性与李雅普诺夫方法定理1是Lyapunov第二法的基本定理，下面对这一重要定理作几点说明。(1)这里仅给出了充分条件，也就是说，如果我们构造出了Lyapunov函数，那么系统是渐近稳定的。但如果我们找不到这样的Lyapunov函数，我们并不能给出任何结论，如不能据此说该系统是不稳定的。(2)对于渐近稳定的平衡状态，其Lyapunov函数必存在。零，则要求负定的条件可用取负半定的条件来代替。第四章稳定性与李雅普诺夫方法(3)对于非线性系统，通过构造某个具体的Lyapunov函数，可以证明系统在某个稳定域内是渐近稳定的，但这并不意味着稳定域外的运动是不稳定的。对于线性系统，如果存在渐近稳定的平衡状态，则它必定是大范围渐近稳定的。(4)我们这里给出的稳定性定理，既适合于线性系统、非线性系统，也适合于定常系统、时变系统，具有极其一般的普遍意义。定理1仍有一些限制条件，比如负定函数。如果在即除了原点以外，沿任一轨迹均不恒等于上附加一个限制条件，必须是第四章稳定性与李雅普诺夫方法第四章稳定性与李雅普诺夫方法

定理2：设系统的状态方程为式中：，如果存在一标量函数，它具有连续的一阶偏导数，且满足下列条件：是正定的；是半负定的；对任意和任意，在时不恒等于零。则在系统原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果还有时，则为大范围渐近稳定的。式中,表示时，从出发的解轨迹。第四章稳定性与李雅普诺夫方法持在切点处（在这点上，注意，若不是负定的，而只是半负定的，则典型点的轨迹可能与某个特定曲面=C相切，然而由于=0），因而必然对任意t和任意在，时不恒等于零，所以典型点就不可能保要运动到原点。第四章稳定性与李雅普诺夫方法第四章稳定性与李雅普诺夫方法第四章稳定性与李雅普诺夫方法第四章稳定性与李雅普诺夫方法

【例】设系统方程为

确定系统平衡状态的稳定性解：1）求平衡状态

原点（0,0）为给定系统唯一的平衡状态。2）选李氏函数，选

讨论：的定号性，即是否恒为零如果恒为零，势必时，恒为零，而恒为零又必要恒为零。而又不可能恒为零。第四章稳定性与李雅普诺夫方法

当半负定

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因此有不可能恒为零系统原点处的平衡状态是渐近稳定的。又由于，有是大范围渐近稳定。若选正定。负定。而,系统在平衡状态（0，0）是大范围渐近稳定。第四章稳定性与李雅普诺夫方法具有连续的一阶偏导数，且满足下列条件是正定的；是半负定的，但。定理3：设系统方程为，式中，如果存在一个标量函数V(x,t),它则系统在原点处的平衡状态在李亚普诺夫定义下稳定的，但非渐近稳定，这时系统可以保持在一个稳定的等幅振荡状态上。第四章稳定性与李雅普诺夫方法第四章稳定性与李雅普诺夫方法【例】系统方程为

试确定系统平衡状态的稳定性。解：原点为平衡状态，选取李氏函数在任意x值上均可保持为零，则系统在原点处是李亚普诺夫意义下的稳定，但不是渐近稳定的。第四章稳定性与李雅普诺夫方法第四章稳定性与李雅普诺夫方法第四章稳定性与李雅普诺夫方法

定理4：设系统状态方程为式中.如果存在一个标量函数V(x,t),它具有连续的一阶偏函数，且满足下列条件在原点的某一领域内是正定的，在同样的领域内是正定的，则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。

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例

系统

试确定系统在平衡状态的稳定性。

(1)由,得,(2)选

则满足定理4，该系统为不稳定系统。

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推论1若则不稳定推论2若则是李雅普诺夫

意义下的稳定Lyapunov第二法是充分条件，如果我们构造出了Lyapunov函数，那么系统是渐近稳定的。但如果我们找不到这样的Lyapunov函数，我们并不能给出任何结论，如不能据此说该系统是不稳定的。第四章稳定性与李雅普诺夫方法

4.1李雅普诺夫稳定性概念4.2李雅普诺夫稳定性间接判别法4.3李雅普诺夫稳定性直接判别法4.4线性系统的李雅普诺夫稳定性分析4.5非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析第四章稳定性与李雅普诺夫方法

2）求3）判定号性,负定则渐进稳定；4）判?半正（负）定反设

选取李氏函数的方法1）构造一个二次型函数4.4线性系统的李雅普诺夫稳定性分析第四章稳定性与李雅普诺夫方法

解：令负定大范围渐近稳定eg1.试用李氏第二法判稳第四章稳定性与李雅普诺夫方法

定常连续系统渐近稳定的判别是惟一平衡状态。可以取下列正定二次型函数作为李雅普诺夫函数，即

设系统状态方程为，A为非奇异矩阵，故原点求导并考虑状态方程令得到第四章稳定性与李雅普诺夫方法

根据定理1，只要Q正定（即负定），则系统是大范围一致渐近稳定的。于是线性定常连续系统渐近稳定的判定条件可表示为：给定一正定矩阵P，存在满足的正定矩阵Q。判据线性定常连续系统在平衡状态xe=0处渐近稳定的充分必要条件是，给定一个正定对称矩阵Q，存在一个正定对称矩阵P，使得成立。而且标量函数是系统的一个李雅普诺夫函数。第四章稳定性与李雅普诺夫方法对上述判据，应注意如下几点：1)判据阐述的条件，是充分必要的;2)若沿任一轨迹不恒等于零．那么Q可取为半正定矩阵;3)对正定对称短阵Q，可任意给定其型式，但最终的判别结果将与Q的型式选择无关。因此，为了计算方便，常取Q为单位矩阵，即Q＝I;4)判别系统稳定性时，通常采取先选取矩阵Q，然后代入李雅普诺夫方程式，求解出矩阵P，依P的符号性质进行判别。这种方法，计算比较简单、方便。第四章稳定性与李雅普诺夫方法（2）判断步骤Step1:确定系统平衡状态Step2:确定Q和P的形式Step3:根据计算P矩阵的各元素Step4:判断P的正定性，如果P为正定，那么系统是渐近稳定的可以先给定一个正定的P矩阵，然后验证Q矩阵是否正定的步骤去分析稳定性。但若P选取不当，往往会导致Q矩阵不定，使得判别过程多次重复进行。因此，可以先指定正定的Q矩阵，然后验证P矩阵是否正定。第四章稳定性与李雅普诺夫方法第四章稳定性与李雅普诺夫方法第四章稳定性与李雅普诺夫方法第四章稳定性与李雅普诺夫方法

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定理：若系统的矩阵A是t的函数（即时变函数），则系统在平衡点Xe=0处是大范围渐近稳定的充要条件为：对于任意给定连续对称正定矩阵Q(t),存在一个连续对称正定矩阵P(t),使得第四章稳定性与李雅普诺夫方法2.线形时变连续系统渐近稳定的判别式中，是系统的状态转移矩阵，是初始条件，若取稳定性根据P(t)是否具有连续、对称和正定性来分析解得第四章稳定性与李雅普诺夫方法判断步骤Step1:确定系统平衡状态Step2:确定Q和P的形式，Q=IStep3:Step4:判断P（t）的正定性，如果P为正定，那么系统是渐近稳定的第四章稳定性与李雅普诺夫方法

3.线形定常离散系统渐近稳定的判别设系统状态方程为，原点是平衡状态。取正定二次型函数以代替，有考虑状态方程，有令定理：线性定常离散系统的状态方程为当系统在平衡点Xe=0是大范围内渐近稳定时，其充分必要条件是：对于任意给定的对称正定矩阵Q都存在对称正定矩阵P，使得第四章稳定性与李雅普诺夫方法

上式称为李雅普诺夫代数方程。是系统的一个李雅普诺夫函数，于是有

第四章稳定性与李雅普诺夫方法判断步骤Step1:确定系统平衡状态Step2:确定Q和P的形式Step3:根据计算P矩阵的各元素Step4:判断P的正定性，如果P为正定，那么系统是渐近稳定的4.时变离散系统渐近稳定的判别第四章稳定性与李雅普诺夫方法

4.1李雅普诺夫稳定性概念4.2李雅普诺夫稳定性间接判别法4.3李雅普诺夫稳定性直接判别法4.4线性系统的李雅普诺夫稳定性分析4.5非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析第四章稳定性与李雅普诺夫方法4.5非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析在线性定常系统中，若平衡状态是局部渐近稳定的，则它是大范围渐近稳定的，然而在非线性系统中，不是大范围渐近稳定的平衡状态可能是局部渐近稳定的。与此相反，在线性系统中局部不稳定的平衡状态必然也是在大范围内不稳定的；然而在非线性系统中，局部不稳定的状态并不能说明系统就是不稳定的。由于非线性系统的稳定性具有局部的性质，因此在寻找李亚普诺夫函数时，通常都要确定平衡点周围邻域的最大稳定范围。也就是说，满足稳定性条件的李亚普诺夫函数在适用范围上是有界的。非线性系统的特性和线性系统完全不同，必须特别的加以对待。第四章稳定性与李雅普诺夫方法李雅普诺夫利用V(x)及其导数的符号特征，直接对平衡状态稳定性作出判断，无需求出动态方程的解。在非线性系统的稳定性问题中，Lyapunov稳定性分析方法具有基础性的地位，遗憾的是对一般非线性系统仍未形成构造李雅普诺夫函数的一般方法。在具体确定许多非线性系统的稳定性时，并不是直截了当的。技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。第四章稳定性与李雅普诺夫方法用于判断非线性系统渐近稳定性充分条件的克拉索夫斯基方法；用于构成非线性系统Lyapunov函数的变量梯度法，或舒茨—基布逊（Schultz-Gibson）法；用于某些非线性控制系统稳定性分析的鲁里叶(Lure’)法，以及用于构成吸引域的波波夫方法等。如果要检验非线性系统平衡状态的渐近稳定性，则非线性系统的线性化模型稳定性分析远远不够。必须研究没有线性化的非线性系统。有几种基于Lyapunov第二法的方法可达到这一目的，包括:第四章稳定性与李雅普诺夫方法1.克拉索夫斯基方法（雅可比矩阵法）克拉索夫斯基方法（雅可比矩阵法）给出了非线性系统平衡状态渐近稳定的充分条件。是线性系统中寻找李雅普诺夫函数法的一种推广。在非线性系统中，可能存在多个平衡状态。可通过适当的坐标变换，将所要研究的平衡状态变换到状态空间的原点。所以，可把要研究的平衡状取为原点。第四章稳定性与李雅普诺夫方法定理（克拉索夫斯基定理）

考虑如下非线性系统式中，x为n维状态为的非线性n维向量函数，

向量，假定，且对可微（i=1,2,…,n）。该系统的雅可比矩阵定义为又定义第四章稳定性与李雅普诺夫方法第四章稳定性与李雅普诺夫方法第四章稳定性与李雅普诺夫方法注意，克拉索夫斯基定理与通常的线性方法不同，它不局限于稍稍偏离平衡状态。和以或的形式而不是以的形式表示。前面所述的定理对于非线性系统给出了大范围渐近稳定性的充分条件，对线性系统则给出了充要条件。非线性系统的平衡状态