第五节函数展开成幂级数及其应用

高等数学主讲教师数学学院魏毅强教授联系电mail:weiyiqiang@PowerPoint统计学2第七章

无穷级数

7.1常数项级数的概念与性质7.2

正项级数7.3

任意项级数7.4

幂级数7.5

函数展开成幂级数及其应用7.6

函数的幂级数展开式的应用7.7函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质7.8傅里叶级数7.9正弦级数与余弦级数7.10以2l为周期的周期函数的傅里叶级数目录4学习的基本要求和预期目标1）理解无穷级数收敛、发散的概念及，理解无穷级数和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。2）熟悉几何级数与级数的收敛性。3）掌握正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法，回用根式审敛法。4）掌握交错级数的莱布尼兹定理。5）了解级数绝对收敛和条件收敛的概念，以及绝对收敛和收敛的关系。6）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7）理解幂级数收敛半径的概念，掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。5学习的基本要求和预期目标8）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。9）了解函数展开为泰勒级数的必要条件和充分条件。10）掌握的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数展开为幂级数。11)了解幂级数在近似计算中的简单应用。12）理解付氏级数的概念，狄利克雷定理，函数展开为付氏级数的充分条件，会将定义在上的函数展开为付氏级数，会将定义在上的函数展开为正弦和余弦级数，会写出付氏级数和函数的表达式。67.5.2泰勒级数7.5.4函数幂级数展开式的应用7.5

函数展开成幂级数及其应用7.5.3函数展开成幂级数7.5.5欧拉公式

7.5.1问题的提出7

本节讨论的问题是：给定函数f(x)，要考虑是否能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数f(x)．如果能找到这样的幂级数，我们就说，函数f(x)在该区间内能展开成幂级数．7.5

函数展开成幂级数及其应用7.5.1问题的提出87.5

函数展开成幂级数及其应用定理5.1(泰勒Taylor中值定理)

泰勒英国数学家.1685─1731如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n1)的阶导数，则当x在(a,b)内时，f(x)可以表示为(xx0)的一个n次多项式与一个余项Rn(x)之和：泰勒多项式这里x是x0与x之间的某个值．泰勒余项97.5.2

泰勒级数7.5

函数展开成幂级数及其应用

注：只要函数有导数就会有泰勒级数，除了xx0外，f(x)的泰勒级数是否收敛?如果收敛，它是否一定收敛于f(x)?

定义5.1

如果

f(x)

在点

x0

的某邻域内具有任意阶导数

f(x)，f(x)，···，f(n)(x)，···，则记称这一级数为f(x)在点x0的泰勒级数。特别，当x0=0时，称为麦克劳林级数，其系数称为泰勒（麦克劳林）系数107.5

函数展开成幂级数及其应用由数学归纳法例5.1

设函数证明f(x)任意阶可导，并且

f(n)(0)=0，进一步有麦克劳林级数和为S(x)=0.一般地，其中p(x),q(x)为多项式进一步有麦克劳林级数为117.5

函数展开成幂级数及其应用定义4.2设函数f(x)在x0的某邻域具有任意阶导数，如果所导出的级数在区间I上仍然收敛与f(x)，则称函数可展开成为泰勒级数。注:区间I不一定是泰勒级数的收敛域,同样也不一定是函数f(x)导函数存在区域，更不是函数f(x)定义域，它是使级数的和函数s(x)就等于f(x)

的区域。127.5

函数展开成幂级数及其应用

注：唯一性指明不论什么方法展开其结果是一样的。

定理5.2

如果

f(x)

在点

x0

的某邻域内具有任意阶导数，则f(x)

在点

x0

的某邻域内可展开成为泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项趋于零，即定理5.3

如果

f(x)

在点

x0

的某邻域内可展开成为泰勒级数，则展开式是唯一的，即x的n次幂项系数为137.5

函数展开成幂级数及其应用7.5.3

函数展开成幂级数幂级数直接展开法如果极限为零，则函数在(-R,R)内可展开为泰勒级数。第一步，求出f(x)的各阶导数：f(n)(x)；第二步，计算各阶导数在x0的值：f(n)(x0)；第三步，写出泰勒级数：；并求出收敛半径R；第四步，考察余项在(-R,R)内的极限：x是x0与x之间的某个值．147.5

函数展开成幂级数及其应用例5.2

求下列函数的幂级数展开特别157.5

函数展开成幂级数及其应用幂级数间接展开法间接展开法是指：利用一些已知函数的幂级数展开式及其幂级数的运算(如四则运算、逐项求导求积、变量替换与恒等变形等），将所给函数展开成为幂级数，包括收敛域。间接法成立的依据是展开式的唯一性。间接法中常常使用下列函数的展开式作为已知：167.5

函数展开成幂级数及其应用例5.3

求下列函数的幂级数展开177.5

函数展开成幂级数及其应用7.5.4

函数幂级数展开式的应用两类问题：给定项数,求近似值并估计精度;

给出精度,确定项数.

关键是通过估计余项,

确定精度或项数。近似计算误差187.5

函数展开成幂级数及其应用例5.4

计算下列函数的近似值sin90,误差不超过10-3ln2,误差不超过10-4e,误差不超过10-5197.5

函数展开成幂级数及其应用计算数项级数的和1.利用级数和的定义求和常用的方法有：直接法，拆项法，递推法2.

阿贝尔法(构造幂级数法)(逐项积分、逐项求导)207.5

函数展开成幂级数及其应用例5.5

计算下列数项级数的和217.5

函数展开成幂级数及其应用计算定积分第一步，将被积函数展开幂级数第二步，对幂级数逐项求积第三步，计算数项级数的和(精确到10-4)例5.6

求下列定积分的值.227.5

函数展开成幂级数及其应用7.5.5

欧拉公式复数项级数：设有复数项级数(u1+iv1)+(u2+iv2)+···+(un

+ivn)+···其中un

，vn

（n=1，2，3，…）为实常数或实函数．如果实部所成的级数u1+u2+···+un

+···收敛于和u，并且虚部所成的级数v1+v2+···+vn

+···收敛于和v，就说复数项级数收敛且和为u+iv．237.5

函数展开成幂级数及其应用绝对收敛：复变量指数函数：考察复数项级数此级数在复平面上是绝对收敛的，在x轴上它表示指数函数ex

，在复平面上我们用它来定义复变量指数函数，记为ez

．即247.5

函数展开成幂级数及其应用

欧拉公式：当x=0时，z=i

y，于是257.5

函数展开成幂级数及其应用揭示了三角函数和复变数指数函数之间的一种关系.欧拉公式267.5

函数展开成幂级数及其应用7.5.6练习277.5

函数展开成幂级数及其应用287.5

函数展开成幂级数及其应用参考答案297.5

函数展开成幂级数及其应用30

ByeBye!31泰勒（BrookTaylor）

1685年8月18日出生，1731年12月29日于伦敦逝世。1709年获法学硕士学位。1712年当选为英国皇家学会会员，1714年获法学博士学位。同年出任英国皇家学会秘书。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。18世纪早期英国牛顿学派最优秀