管理统计学5参数估计

参数估计解决的主要问题是什么？点估计与区间估计的区别是什么？

5.1点估计所谓点估计就是由样本x1,x2,…xn确定一个统计量

用它来估计总体的未知参数，称为总体参数的估计量。当具体的样本抽出后，可求出样本统计量的值。用它作为总体参数的估计值，称作总体参数的点估计。1.无偏性(unbiasedness)

设为总体未知参数的估计量若则称是的无偏估计量，称具有无偏性。如果是有偏估计量，则它的偏差量为偏差=5.1.1衡量估计量优劣的标准注:具有无偏性。

，对于，具有无偏性5.1.1衡量估计量优劣的标准2．一致性（consistency） 如果对任意小的正数，有则称是的一致估计量，称具有一致性，可以证明均具有一致性。5.1.1衡量估计量优劣的标准3．有效性

若都是的无偏估计量且

或

则称较为有效估计量。的有效估计量5.1.1衡量估计量优劣的标准4．罗—克拉美不等式两个以上的无偏估计量具有最小方差最佳无偏估计量一个估计量罗—克拉美不等式检验非最佳无偏估计量5.1.1衡量估计量优劣的标准4．罗—克拉美不等式 对于一个无偏估计量的方差在一般的条件下，其方差永远不会小于一个正数，这个正数是的下限，它依赖于总体的概率密度函数和样本容量n

即:注：当等于不等式右端时，这时称为最佳 无偏估计量。5.1.1衡量估计量优劣的标准[例5.1]若，是总体均值的最佳无偏估计量。［证］5.1.1衡量估计量优劣的标准罗—克拉美下限值为

为的最佳无偏估计量5.1.1衡量估计量优劣的标准1.特征数法： 用总体特征数对应的样本特征数作为其点估计5.1.2点估计的常用方法

极大似然原理的直观想法是:一个随机试验如有若干个可能的结果A,B,C,….若在一次试验中,结果A出现,则一般认为A出现的概率最大,也即试验条件对A出现有利.或者说在试验的很多可能条件中，认为应该是使事件A发生的概率为最大的那种条件存在.

极大似然估计的基本思想5.1.2点估计的常用方法例：假若一个盒子里有许多白球和红球,而且已知它们的数目之比是3:1,但不知是白球多还是红球多.设随机地在盒子中取一球为白球的概率是p.如果有放回地从盒子里取3个球,那么白球数目X服从二项分布如果样本中白球数为0,则应估计p=1/4,而不估计p=3/4.因为具有X=0的样本来自p=1/4的总体的可能性比来自p=3/4的总体的可能性要大.一般当X=0,1时,应估计p=1/4;而当X=2,3时,应估计p=3/4.2．最大似然法

设总体X的概率分布为

或概率密度为其中是未知参数。

如何求极大似然估计量呢？5.1.2点估计的常用方法求最大似然估计量的步骤为:(1)对给定的总体X，写出似然函数(2)列出似然方程(3)求解上述方程，得关于的解即为的最大似然估计量。5.1.2点估计的常用方法含多个参数令似然方程或最大似然解5.1.2点估计的常用方法［例5.2］从正态分布总体X抽取随机样本X1，X2，…，Xn。求的最大似然估计量。解因为:所以，X的概率密度数函数为5.1.2点估计的常用方法因此，似然函数其对数函数5.1.2点估计的常用方法求得似然方程组即即解方程组得5.1.2点估计的常用方法例5.3从一批产品中随机抽取80件，发现有10件废品，试用最大似然法估计这批产品的废品率

点估计就是用一个点(或一个数)去估计未知参数。区间估计是一个区间去估计未知参数。例：估计明年GDP增长在7%-8%之间，比说增长8%更容易让人们相信，这是因为给出7%-8%已把可能出现的误差考虑了。5.2.1区间估计的概念5.2区间估计5.2.1区间估计的概念的样本使得置信度1-α5.2区间估计置信度1－α下θ的置信区间：1-α是置信度，置信度也称为置信概率α称为显著性水平则称5.2.1区间估计的概念

是随机区间，不同的样本观测值就会得到不同的区间。置信区间表达了区间估计的精确度，置信概率表达了区间的可靠性；而显著性水平表达了区间的不可靠的概率。α=0.01含义是???置信概率定的越大（即可靠性大），置信区间相应也越大（估计精确性越小）一.总体均值的区间估计 总体服从正态分布,σ2已知时 当

时，（5－7）根据区间估计的定义，在1－α置信度下，总体均值μ的置信区间为：（5－8）5.2.2单个总体参数的区间估计即：

（5－9）从而有（5－10）即在1－α置信度下，μ的置信区间为：（5－11）5.2.2单个总体参数的区间估计[例5.5]

已知某零件的直径服从正态分布，从该批产品中随机抽取10件，测得平均直径为202.5mm，已知总体标准差σ=2.5mm，试建立该种零件平均直径的置信区间，给定置信度为0.95。

=202.5,

n=10,1－α=0.955.2.2单个总体参数的区间估计

即计算结果为：[200.95,204.05]5.2.2单个总体参数的区间估计查标准正态分布表，得μα/2=1.96所以在1－α置信度下，μ的置信区间为解：已知σ2未知时

（1）n≥30时，只需将中的σ用S近似代替即可（2）n<30时，由

（5－12）所以

（5－13）即（5－14）5.2.2单个总体参数的区间估计所以：（5－15）即在1－α置信度下，μ的置信区间为（5－16）5.2.2单个总体参数的区间估计n≥30时，只需将

中的σ用S近似代替即可。n<30时,由σ2未知时5.2.2单个总体参数的区间估计[例5.6]某大学从该校学生中随机抽取100人，调查到他们平均每人每天完成作业时间为120分钟，样本标准差为30分钟，试以95％的置信水平估计该大学全体学生平均每天完成作业时间。解：

1-α=0.95μα/2=1.96在95％的置信度下，μ的置信区间为5.2.2单个总体参数的区间估计由上：即[114.12,125.88]5.2.2单个总体参数的区间估计二.总体方差的区间估计（5－17）

（5－18）（5－19）5.2.2单个总体参数的区间估计所以在1-α置信度下：（5－20）（5－21）σ2的置信区间总体标准差σ的置信区间为5.2.2单个总体参数的区间估计设某批产品的应力服从正态分布，为了确定这批产品的应力方差，随机抽取25件进行试验，测得他们的应力标准差S=100.取a=0.05,对这批产品的应力方差进行区间估计三、总体比率的区间估计根据中心极限定理，当n较大时，时，二次分布近似正态分布。即将正态分布标准化，得（5－27）5.2.2单个总体参数的区间估计在给定置信度为时，有（5－28）括号内5.2.2单个总体参数的区间估计

记5.2.2单个总体参数的区间估计于是有解得p的置信区间为

（5－29）5.2.2单个总体参数的区间估计另一种近似解法：由于整理得：5.2.2单个总体参数的区间估计（5－30）其中中的未知，可用来代替。

5.2.2单个总体参数的区间估计设某批产品的100个样品中，得一级品60个，求这批产品的一级品率p的置信水平为0.95的置信区间。一、两个总体均值之差的估计设两总体X～N(μ1，σ12)，Y～N(μ2，σ22)，由两总体分别独立的抽取容量为n1和n2的样本，？？5.2.3两个正态总体参数的比较1.两个总体方差σ12，σ22，已知，

在1-α置信度下，μ1-μ2的置信区间为（5－31）5.2.3两个正态总体参数的比较2.两个总体方差σ12，σ22，未知，（1）σ12≠σ22，且两样本容量均≥30，由S12和S22分别估计σ12和σ22，即可（2）σ12=σ22=σ2，σ2未知，（5－32）5.2.3两个正态总体参数的比较5.2.3两个正态总体参数的比较σ12≠σ22且两样本容量均≥30由S12和S22分别估计σ12和σ22，即可5.2.3两个正态总体参数的比较σ12=σ22=σ2σ2未知在1-α置信度下，μ1-μ2的置信区间为5.2.3两个正态总体参数的比较（5－33）5.2.3两个正态总体参数的比较二、两个总体方差比的区间估计由于（5－34）5.2.3两个正态总体参数的比较在1-α置信度下，σ12∕σ22的置信区间为（5－35）5.2.3两个正态总体参数的比较三、两个总体比例之差的区间估计设两个总体比例分别为P1和P2，为了估计P1-P2，分别从两个总体中各随机抽取容量为n1和n2的两个随机样本，并计算两个样本的比例（5－36）5.2.3两个正态总体参数的比较其中，在1-α置信度下，p1-p2的置信区间为5.2.3两个正态总体参数的比较[例5.7]某减肥用品公司对其所作的报纸广告在两个城市的效果进行了比较，其分别从两个城市中随机抽取了800名成年人，其中看过该广告的比例分别为试求:两城市中看过该广告的成年人比例之差的置信度为95%的置信区间。解：由于n1，n2均为大样本，1-α=0.95，μα/2=1.965.2.3两个正态总体参数的比较p1-p2的置信区间为故在95%置信度下，p1-p2的置信区间为（0.011，0.049）。5.2.3两个正态总体参数的比较5.3样本容量的确定需要考虑问题：(1)要求什么样的精度？即我们想构造多宽的区间？(2)对于构造的置信区间来说，想要多大的置信度？即我们想要多大的可靠度？5.3样本容量的确定在总体均值的区间估计时，半置信区间的宽度为：可得5.3.1估计总体均值时，样本容量的确定样本容量n与总体方差、允许误差、置信度有以下关系：必要样本容量n与总体方差成正比。2．在给定的置信水平下，允许误差越大，样本容量就可以越小。3.样本容量n与置信度成正比。5.3.1估计总体均值时，样本容量的确定[例5.8]一家广告公司想估计某类商店去年所花的平均广告费有多少。经验表明，总体方差约为1800000。如置信度取95%，并要使估计值处在总体平均值附近500元的范围内，这家广告公司应取多大的样本？解：已知这家广告公司应抽选28个商店作样本（注意抽取样本数总是整数，所以n应圆整成整数）。5.3.1估计总体均值时，样本容量的确定估计总体比例时，允许误差为：

（5－40）由上式可得出估计总体比例时，确定必要样本容量的公式。由于总体比率是未知的，因此要用样本比率代替（5－41）5.3.2估计总体比例时，样本容量的确定[例5.9]一家市场