第四章特征值和特征向量

第四章特征值(eigenvalue)矩阵的特征值矩阵的特征向量（eigenvecter)矩阵可对角化的条件概念的引出1.几何上方向不变问题（特征向量），工程技术中震荡问题（特征值）2.有趣的例子，桥梁共振（1831年士兵齐步过桥）如果以频率（同特征值之一相同）；荡秋千，用力方向（与特征向量一致）和用力时机（频率和特征值相同）恰当可以荡的更高。3.经济预测问题(一)特征值和特征向量Def4.1

设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx(1)成立，则称λ是方阵A的特征值；称x为A的对应于特征值λ的特征向量.（见引例）问题：对于一般n阶方阵如何求满足（1）的λ和x？这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，即它有非零解的充要条件是系数行列式

分析：（1）式也可写为Def4.2特征矩阵:方程组(2)的系数矩阵A-λI;说明：1.A的特征值：|A-λI|=0全部解2.在复数范围内，n阶方阵A有n个特征值（重根按重数计算）.3.特征向量：对于每个λ，的全部非零解特征多项式:|A-λI|是λ的n次多项式f(λ)特征方程:|A-λI|=0例1

已知是的一个特征向量，试确定参数解

由特征值和特征向量的定义可知，

及特征向量所对应的特征值.即于是所以即所求解为特征值和特征向量的求法

（1）求出阶方阵

的特征多项式

求阶方阵

的特征值与特征向量的步骤：

（2）求出特征方程的全部根，（3）把每个特征值代入线性方程组（2），即是

的特征值；

求出基础解系，就是对应于的特征向量，基础解系的线性组合（零向量除外）就是对应于的全部特征向量．例2

求矩阵的特征值和特征向量．解

的特征多项式为

所以

的特征值为

当时，对应的特征向量应满足

于是，的对应的全部特征向量为容易求得方程组的一个基础解系为

当时，由

（为常数）解得基础解系

于是，的对应的全部特征向量为

（为常数）特征值和特征向量的性质

Th4.1

设

是阶方阵，Th4.2

设是方阵

的特征值，,则

（1）是的特征值；

（2）是的特征值.则与有相同的特征值.以下定理是书上eg5的结果Th4.4设阶方阵的个特征值为（1），其中是的主对角元之和，称为矩阵的迹，记作（2）推论

阶方阵可逆的充分必要条件是它的任一特征值不等于零.

则定理4

设是方阵

的个特征值，例3三阶方阵的三个特征值分别为求依次是与之对应的特征向量.如果各不相等，则线性无关.解可逆，所以而故其中所以的特征值为于是例4是的特征根，可逆时，是的特征根.应用（发展与环保问题）为了定量分析工业发展与环境污染的关系，某地区提出如下增长模型：

和为第个周期后的污染损耗和工业产值.即或由此模型及当前的水平，可以预测若干发展周期后的水平：下面利用矩阵特征值和特征向量的有关性质，的特征多项式为

所以，的特征值为来计算的幂.为此，先计算的特征值.对于特征值，解齐次线性方程组的一个特征向量对于特征值，解齐次线性方程组的一个特征向量可得的属于可得的属于如果当前的水平恰好等于，则时，即它表明，经过

个发展周期后，工业产值已达到一个相当高的水平，但其中一半被污染损耗所抵消，造成资源的严重浪费.如果当前的水平，则不能直接应用上述方法分析.于是此时由于特别地，当时，污染损耗为由上面的分析可以看出：工业产值为，损耗已超过了产值，经济将出现负增长.尽管的特征向量没有实际意义但任一具有实际意义的向量都可以表示为的线性组合从而在分析过程中，仍具有重要作用.因中含负分量三相似矩阵概念与性质

定义1

设都是阶方阵，若有可逆矩阵则称是的相似矩阵，或说矩阵与相似.对进行运算称为对

进行相似变换.可逆矩阵称为把变成的相似变换矩阵.使设为阶方阵，则相似矩阵有下列（1）反身性；（2）对称性；（3）传递性.定理1

若与相似，则

（1）与

有相同的特征多项式和特征值；

（2）（3）（4）与也相似，其中为正整数.基本性质：矩阵可对角化的条件

把方阵对角化方法，即求相似变换矩阵定理2

阶方阵相似于阶对角矩阵的推论

如果阶方阵有个互不相等特征值，使为对角阵.充要条件是有个线性无关的特征向量.则与对角矩阵相似.例1已知矩阵与相似.（1）求与；（2）求一个可逆矩阵，使

（3）求解

（1）因与相似，故即将代入有；（2）的特征值为－1，2，－2，将代入有解齐次线性方程组可分别求得的对应特征向量于是所求可逆矩阵

使（3）由于，于是

所以四实对称矩阵的相似矩阵实对称矩阵特征值的性质定理1

实对称矩阵的特征值为实数.定理3

设λ是n阶实对称矩阵A的r重特征值，则矩阵A−λE的秩为n−r，从而对应特征值λ恰有r个线性无关的特征向量.定理2

实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量相互正交.实对称矩阵的相似理论

定理4

任意实对称矩阵都与对角矩阵相似.定理5

设

为

阶实对称矩阵，则存在正交矩阵，使，其中是以的个特征值为对角元素的对角矩阵

实对称矩阵对角化方法阶实对称矩阵对角化的具体步骤:（1）求出特征方程（2）对每一特征值，解齐次线性方程组求得它的一个基础解系

所有不同的根其中为的重特征值

（3）利用Schmidt正交化方法，（4）记则为正交矩阵，使把正交化，得到正交向量组再单位化，得到正交单位向量组并且排列顺序与P中正交规范向量组的排列顺序相对应.其中，矩阵的主对角线元素的重数为例1设求一个正交矩阵，使为对角矩阵.解

的特征方程为

当时，解方程组得基础解系单位化后得

当时，解方程组故的特征值为

得基础解系

这两个向量已