第九章-振动学基础

第九章振动学基础内容谐振动的特征和谐振动方程谐振动的振幅周期频率相位谐振动的旋转矢量表示法谐振动的能量谐振动的合成阻尼振动受迫振动共振学时作业

:习题

9－9，9－11，9－17

。讲课学时3学时

要求1.理解谐振动的相位概念、谐振动的能量以及谐振动的合成；3.了解阻尼振动、受迫振动、共振。2.

掌握谐振动的旋转矢量法;一简谐振动振动：物体在某一位置附近的往返运动称为

振动。

什么样的振动是

简谐振动(simpleharmonicvibration)§9-1

谐振动的特征和谐振动方程？物体受力

F=

－kx

物体受到的力与位移的一次方成正比且反向，具有这种特征的振动称为简谐振动，简称谐振动

二谐振动的运动方程令F=－kxF=maω2

=动力学方程§9-1

谐振动的特征和谐振动方程

方程的解为欧拉公式

cosθ+isinθ=

eiθ在经典物理学中用实数表示物理量运动方程§9-1

谐振动的特征和谐振动方程速度

加速度§9-1

谐振动的特征和谐振动方程讨论：1.

位移和加速度

反向，当

x=0时，

a=0；x最大，

a最大2.

速度落后

位移

π／2，当

x=

0

时，v

最大；x

为最大时，v=03.

v

为零时，a最大；v最大时，a为零位移、速度、加速度的时间曲线

中各量的物理意义：振幅

(amplitude)A

意义：因│cosα│≤1，故│x│≤A，振幅

A

就是振动物体离开平衡位置最大位移的数值周期

(period)T振幅

A

的大小反映了振动的强弱振动物体完成一个完全振动(来回一次)所需的时间，称为振动的周期。§9-2

谐振动的振幅

周期频率相位ωT=

2πT=

2π／ω

频率

(frequency)f在单位时间内物体作全振动的次数，称为振动物体的频率。周期单位：次／秒，用赫芝(Hz)表示f=

1／T=ω／2πω=2πf

(circularfrequency)弹簧振子

ω2=k／m圆频率角频率

(angularfrequency)固有周期固有频率

(naturalperiod)

(naturalfrequency)相位

(phase)称为相位

(振动物体在时刻

t

的相位

)

决定物体在开始计时时刻的运动状态决定某一时刻振动物体的运动状态相位是决定某一时刻振动物体运动状态的物理量初相位初始条件(initialcondition):t=0，x=

x0，v

=

v0

x0=Acosv0=－Aωsin(initialphase)振幅和初相位确实由初始条件确定

例

1

一劲度系数为

k

的弹簧，下端固定在地面上，上端压一个质量为

m

的重物，重物使弹簧缩短

b=9.8cm。如果给物体一向下的瞬时冲击力，使它以

1m·s-1

的向下速度启动，并上下振动起来。试分析物体的运动规律，并求振动的频率和振幅。

解：

以弹簧原长为坐标原点，向下为

y

轴正方向mg=kb

令

y′=y－

b

y

=y′

+b=－k(y－b)

可见，物体作谐振动

振动系统除受弹性力之外，还受有象重力这样的恒力作用时，并不改变系统的振动情况，只会改变振动的平衡位置。=0.1m振幅矢量表示法振幅矢量的端点在

x轴上的投影点

P来回运动经过

t后，A

与x

轴的夹角变为振幅矢量

A

在

x

轴上的投影··OPxxA

§9-

3

谐振动的旋转矢量表示法

A

转动的角速度为ω，转一圈所扫过的角度为

2π，所用时间为

2π／ω

夹角反映出振动物体瞬时运动的状态，它就是相位初相位

例

2

物体沿

x

轴作简谐振动，振幅为12cm，周期为

2s，在

x=－6cm处，且向

x轴负方向运动，求物体的运动方程和从这一位置回到平衡位置所需的最短时间。解：A=

12×10-2mω=

2π／T=

2π／2=πs-1t=0时

，x0

=

－6cm，

v0＜0，或运动方程形式v0＜0，运动方程为回到平衡位置所需最短时间，令

x=0

就可求得用振幅矢量求更方便!回到平衡位置所需最短时间为

5／6

秒故应取xO·系统振动时，振动能量包括动能和势能动能势能振动能量§9-4

谐振动的能量在运动过程中机械能是守恒的，动能和势能互相转化x=0，vmax

，Ekmax

，Ep=0

；│x│=A

，v

=0

，Ek=0

，Epmax；

其它位置两者都有平均动能平均势能

平均动能与平均势能相等，均为总能量的一半一同方向同频率简谐振动的合成x1=A1cos(ωt+x2=A2cos(ωt+用振幅矢量法来求合成

设x=x1+x2§9-

5

谐振动的合成xOA1A2Ax2x1x2xA1

和

A2

间的夹角x=x1+x2讨论：1.

相位差

2.

相位差=│A1－A2│合振动振幅取值为A(A1+A2)≥≥│A1－A2│二同方向不同频率简谐振动的合成·拍x=x1+x2假定分振动的振幅和初相位都相等，分别为

A上式为和§9-

5

谐振动的合成合振动不再是简谐振动。振幅为是周期性变化的讨论：ω1

和

ω2

都较大，但相差甚微

│ω2－ω1│＜＜ω2+ω1

，随时间的变化比随时间的变化来要慢得多。可把合振动看作是振幅为圆频率为的谐振。振幅缓慢周期性变化，发生振幅时大时小，即振幅时强时弱的现象，把这种现象叫作

“拍”。拍振幅的周期拍频拍频为两分振动频率之差拍的图示三

垂直方向同频率简谐振动的合成振动位移方程合振动的轨迹方程1.

椭圆方程§9-5

谐振动的合成

t时刻，质点离开平衡位置的位移xy·Osxy振幅结论:合振动仍是简谐振动，频率与分振动的频率相同2.

合振动仍是同频率的简谐振动3.xyO

质点运动的轨迹是一个正椭圆,振动点是顺时针方向运动的4.

轨迹不变，其运动方向为逆时针方向若

A1=A2两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后合振动在一直线、椭圆或圆上进行

x2+y2=A12李萨茹图形（Lissajous，figures）频率的比与切点数的比成反比傅里叶分解(Fourieranalysis)

任何一个周期性的振动,都可以分解成频率等于基频整数倍的一些列谐振动的和，这就是傅里叶分解矩形周期振动的傅里叶分解一阻尼振动振幅随时间而减小的振动称为阻尼振动。阻尼振动也就是能量不断减少的振动。阻力

F与速度

v

成正比，方向与速度的方向相反

F

=

－Cv运动方程为(dampedvibration)§9-6

阻尼振动受迫振动共振令由系统本身性质决定与系统本身的性质以及介质的性质都有关系

固有频率阻尼因数x=Ae-δtcos(ωt+周期当阻尼系数较小，即δ2＜ω02

时受迫振动：在外来周期性力的持续作用下,

振动系统所发生的振动称为受迫

振动。周期性的力称为强迫力。强迫力令二受迫振动(forcedvibration)共振(resonance)F

cosωpt

§9-6

阻尼振动受迫振动共振根据微分方程理论，解为振动系统在强迫力作用下，经过一段时间后即达到稳定的振动状态。阻尼振动简谐振动当强迫力的圆频率

ωp

接近振动系统的固有圆频率ω0

时，振幅要急剧增大。当ωp=时，振幅达到极大值这种在外来周期力作用下达到极大的现象称为共振。共振时的圆频率称为共振圆频率。阻尼因数δ越小，共振时的圆频率越接近于固有圆频率

，振幅也越大。