第四章控制系统的频率特性(2014版)

过程装备控制工程基础Email:zhqupc@Office：工科楼D座511室86983481Mobile第四章)左海强2014年秋季学期时域瞬态响应法：分析控制系统的直接方法。一阶系统的单位阶跃响应曲线T

2T

3T

4T

5T98.2%95%99.3%86.5%B0t163.2%A0.632时域瞬态响应分析优点：直观-一阶系统10t2%或5%二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应曲线×-二阶系统欠阻尼二阶系统时域性能指标(记住)0[s]欠阻尼二阶系统极点与参数关系图时域瞬态响应分析缺点：

分析高阶系统非常繁琐

合理简化（主导极点偶极子）用低阶系统近似频率响应是时间响应的特例，是控制系统对正弦输入信号的稳态响应。频率特性是系统对不同频率正弦输入信号的响应特性。频率特性分析法(频域法)是利用系统的频率特性来分析系统性能的方法，研究的问题仍然是系统的稳定性、快速性和准确性等，是工程上广为采用的控制系统分析和综合的方法。频率特性分析法是一种图解的分析方法。

不必直接求解系统输出的时域表达式，可以间接地运用系统的开环频率特性去分析闭环系统的响应性能，不需要求解系统的闭环特征根。

系统的频域指标和时域指标之间存在着对应关系。频率特性分析中大量使用简洁的曲线、图表及经验公式，使得控制系统的分析十分方便、直观。第四章控制系统的频域特性

频域特性的基本概念频域响应的极坐标图－乃氏图(Nyquist图)

频域响应的对数坐标图－伯德图(Bode图)

由频率特性曲线求取系统的传递函数控制系统的闭环频率响应§4-1

频率特性的基本概念

频域法是工程上广为采用的系统分析和综合的间接方法。除了电路与频率特性有着密切关系外，在机械工程中机械振动与频率特性也有着密切的关系。数学依据傅里叶变换(FourierTransform)RC已知求稳态时，其中，

设系统传递函数为

。定义系统输出信号的稳态响应相对其正弦输入信号的幅值之比

为系统的幅频特性。 幅频特性描述系统在稳态下响应不同频率的正弦输入时在幅值上的增益特性（衰减或放大）。定义系统输出信号的稳态响应相对其正弦输入信号的相移为系统的相频特性。

相频特性描述系统在稳态下响应不同频率的正弦输入时在相位上产生的滞后（）或超前（

）特性。上述定义的幅频特性和相频特性

统称为系统的频率特性，它描述了系统对正弦输入的稳态响应。

当输入为非正弦的周期信号时，其输入可利用傅里叶级数展开成正弦波的叠加，其输出为相应的正弦波输出的叠加，如下图所示。

当输入为非周期信号时，可将该非周期信号看做周期T→∞的周期信号。傅里叶正变换式傅里叶反变换式时域→频域频域→时域傅氏正变换式拉氏正变换式傅氏变换与拉氏变换是类似的。除了积分下限不同外，只要将s换成，就可将已知的拉氏变换式变成相应的傅氏变换式。拉氏变换可看作是一种单边的广义的傅氏变换，其积分区间是从0

到+∞。

函数适合进行拉氏变换的条件比傅氏变换的条件弱一些，因此适合函数的范围也宽一些。

大多数机电系统可简单地将拉氏变换G(s)中的s换成而直接得到相应的傅氏变换式。系统频率特性的表示形式系统的频率特性函数是一种复变函数，可以表示成如下形式：

是

的实部，称为实频特性。

是

的虚部，称为虚频特性。频率特性函数也可以表示成如下形式：

是

的模，称为幅频特性。

是

的相角，称为相频特性。矢量图表示如下：频率特性的求取——解析法系统的频率特性函数

可由系统的传递函数

求得。函数。

将s平面的复变量

的取值范围限定在虚轴上，即

所得到的传递函数

就是系统的频率响应。频率响应是在特定情况下的传递求图所示系统的频率特性函数。例4-1将s代之以

，即得到系统的频率特性函数为RC例试求的幅频特性和相频特性。解：当系统已经建立，但不知道其内部结构或传递函数时。在系统中输入一正弦信号，测出不同频率时系统稳态输出的幅值和相位，便可得到其频率特性。频率特性的求取——实验法

在系统的输入端加入一定幅值的正弦信号，稳定后系统的输出也是正弦信号，记录不同频率的输入、输出的幅值和相位，即可求得系统的频率特性。

正弦函数发生器被测系统0显示记录仪器幅频特性相频特性频率特性的物理意义设输入信号则稳态输出信号物理意义：“低通”滤波例RC当输入电压得到R-C电路的稳态输出为结论：当ω=0时，输出与输入的电压不仅幅值相等，而且相位也完全一致。随着ω的不断增大，输出电压的幅值将不断地衰减，相位也不断地滞后。(一阶惯性环节—低通滤波器)

§4-2

频率响应的极坐标图(奈奎斯特图)1928年,提出著名的奈奎斯特采样定理；1932年,提出著名的奈奎斯特稳定判据；美国有138项专利，涉及电话、电报、图像传输系统等。乃奎斯特（H.Nyquist)美国Bell实验室著名科学家1889~1976极坐标图(Polarplots)是反映频率特性的几何表示。当ω

从0逐渐增长至+∞时，频率特性作为一个矢量，其端点在复平面相对应的轨迹就是频率特性的极坐标图。极坐标图也称为乃氏图(Nyquistplots)或乃奎斯特曲线。0

0映射ω一、典型环节的极坐标图1.比例环节0UjV理想的放大环节能够无失真和无滞后地复现输入信号。K(Nyquistplotsoftypicalsystems)0jVU2.积分环节积分环节对正弦输入信号有900的滞后作用。0jVU3.

微分环节微分环节对正弦输入信号有900的超前作用。0jVU14.

一阶惯性环节圆心在（0.5,0）半径为0.5的半圆0.5015.

二阶振荡环节jVU在复数运算当中，一定要根据复数所在象限正确写出幅角的值。相角0º～－180º，与负虚轴有交点。令或得为与负虚轴交点。代入

振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比ζ有关。当阻尼比较小时，会产生谐振。谐振峰值Mr和谐振频率ωr由幅频特性的极值方程解出。(记住)016.

延迟环节jVU相角0º～－∞º，与实轴和虚轴有无穷多交点。(5)必要时画出乃氏图中间几点；(6)勾画出大致曲线。(1)写出

和

表达式；(2)分别求出

和

时的

；(3)求乃氏图与实轴的交点，可利用的关系式求出，也可以利用关系式（其中n为整数）求出；(4)求乃氏图与虚轴的交点，可利用

的关系式求出，也可利用关系式（其中n为奇数）求出；二、乃氏图的一般作图步骤(CommonmethodofsketchingNyquistplots)

乃氏图与实轴和虚轴有无穷多交点，随着ω

增加，曲线距离原点越来越近，相角越来越负。0jVU0.67n阶系统1.系统的型次K0jVU2.各型乃氏图的低频段0jVU

通常，机电系统频率特性分母的阶次大于分子的阶次，故当ω→∞时，乃氏图曲线终止于坐标原点处；而当频率特性分母的阶次等于分子的阶次，当ω→∞时，乃氏图曲线终止于坐标实轴上的有限值。3.乃氏图的高频段

一般在系统频率特性分母上加极点，使系统相角滞后；而在系统频率特性分子上加零点，使系统相角超前。而中频部分的Nyquist曲线形状与频率特性的参数密切相关。

例:0jVU4.乃氏图的负频段令ω从−∞增长到0，相应得出的乃氏图是与ω从0增长到+∞得出的乃氏图以实轴对称的。§4-3

频率响应的对数坐标图(伯德图bodeplots)伯德（H.W.Bode)，1905~1982，美国Bell实验室著名科学家

对数坐标图是将幅值对频率的关系和相位对频率的关系分别画在两张图上，用半对数坐标纸绘制，频率坐标按对数分度，幅值和相角坐标则以线性分度。对数坐标图也称伯德图(Bode图)。伯德图幅值L(ω)所用的单位分贝(dB)定义为n(dB)=20lgN幅频特性坐标若ω2

=10ω1

，则称从ω1

到ω2为十倍频程，以dec(decade)表示。相频特性坐标00.11101002040-20单位:dB(分贝)00.1110100十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程线性分度对数分度线性分度-1012lgω单位:弧度/秒半对数坐标纸对于一般线性定常系统：伯德图的优点以有限的纸张表示很宽的频率范围（横坐标所需的对数刻度数，取决于感兴趣的频率范围）。对于突出频率特性的低频段很方便。幅值采用分贝做单位，从而简化幅频特性中的乘除运算为加减运算。幅频特性可用折线近似表示，系统的幅频特性用组成该系统各环节的幅频特性折线叠加，作图非常方便。一、典型环节的伯德图1.比例环节00K=1K>1K<1(Bodeplotsoftypicalsystems)2.积分环节-20000.110120积分环节的对数幅频特性是一条在ω=1处穿过零分贝线，并以每增加10倍频降低20dB的速度变化的曲线。-403.微分环节000.1101204.一阶惯性环节00用低频段和高频段的两条直线组成的折线近似表示。

(P130

表4-1、4-2修正表)渐近线渐近线转角频率3dB

精确曲线5.一阶微分环节006.二阶振荡环节00-40近似于2重积分7.延迟环节000.1110100二、一般系统伯德图作图方法幅频特性—由各典型环节对数幅频特性叠加；相频特性—由各典型环节相频特性叠加。3.画各自近似幅频折线和相频曲线并叠加04020-40-200.221468103L1(ω)L2(ω)L3(ω)L4(ω)L5(ω)φ1(ω)φ2(ω)φ3(ω)φ4(ω)φ5(ω)20lg7.5分段法求对数频率特性将开环系统写成典型环节时间常数的实系数形式实际绘制对数幅频特性曲线时按以下步骤一次完成。确定K、值以及各个典型环节的转折频率并将各转折频率从小到大标注在坐标横轴（频率ω）上。2.绘制低频段Bode图（第一段线段）

＝00dB/decL(ω)=20lgK

＝1-20dB/dec斜率由积分环节决定

＝2-40dB/dec在ω

＝1处，L(1)=20lgK以低频渐近线作为分段直线的第一段，从低频端开始沿频率增大的方向，每遇到一个转折频率改变一次分段直线的斜率：当遇到ωj时，斜率变化量为-20dB/dec

当遇到ωl时，斜率变化量为-40dB/dec

当遇到ωi时，斜率变化量为+20dB/dec

当遇到ωk时，斜率变化量为+40dB/dec4.分段直线的最后一段斜率为-20(n-m)dB/dec5.在转折频率附近进行修正，可得到较准确曲线。对数相频特性曲线的绘制利用典型环节的各对数相频特性相叠加;

直接利用相频特性表达式进行计算。方法：先比例，后积分，然后按照转折频率由小到大的顺序依次绘制各自近似的伯德图，在各典型环节的转折频率处相应改变斜率。

对数幅频特性的低频段的频率特性为K/(jω)，表现为过点(1,20lgK)，斜率为-20dB/dec的直线频率趋于无穷大时，渐近线斜率为-20(n-m)dB/dec

相角在频率趋于无穷大时为-(n-m)×900

真正画伯德图时，并不需要先画出各环节伯德图，可根据静态放大倍数和各环节时间常数直接画出整个系统伯德图。例1：已知系统开环传递函数为试绘制开环对数渐进幅频特性曲线。例2：设某系统的传递函数为试绘制系统的对数渐进幅频特性和对数相频特性。1.K=10，

＝0

惯性环节：T1=0.25即ω1=4s-1

振荡环节：T2=0.5即ω

2=2s-12.

低频段L(ω)=20lgK＝20dB3.

绘制近似对数幅频特性曲线4.

相频特性(Minimumphasesystems)系统开环传递函数在

S右半平面上既无极点、又无零点的系统，称为最小相位系统；否则，为非最小相位系统。对于相同阶次的基本环节，当频率ω

从0变到+∞时，最小相位的基本环节造成的相移是最小的。最小相位系统的相频特性和幅频特性是一一对应的，知道了系统幅频特性，其相频特性就唯一确定。三、最小相位系统有延迟环节的系统属于非最小相位系统。把延迟环节用零点和极点的形式近似表达时（泰勒级数展开），会发现它具有正实部零点。00020lg(T1/T2)结论:对于相同阶次的基本环节,当ω从0到∞连续变化时,最小相位的基本环节造成的相移是最小的。对于最小相位系统，知道了幅频特性，其相频特性就唯一确定，而非最小相位系统则不唯一确定。工程实用中的大多数系统为最小相位系统，为了简化工作量，对于最小相位系统的伯德图，可以只画出对数幅频特性。[例]具有延迟环节的开环频率特性为：，试画出伯德图。[解]：

可见，加入了延迟环节的系统其幅频特性不变，相位特性滞后了。

§4-4

由频率特性曲线求取系统传递函数

有许多系统的物理模型很难抽象得准确，其传递函数也很难用纯数学分析的方法求出。对于这类系统，可以通过实验测出系统的频率特性曲线，进而求出系统的传递函数。

由伯德图的作图过程可知，幅频曲线的转折点对应的频率是时间常数的倒数。 下面讨论如何确定静态放大倍数。频率特性曲线时间常数静态放大倍数传递函数1.对于0型系统可见，0型系统幅频特性伯德图在低频处的高度为20lgK0[-40][-20][-20]2.对于I型系统

可见，如果系统各转角频率均大于1，I型系统幅频特性伯德图在ω=1处的高度

；。1[-20][-40][-60][-40][-60]

如果系统有的转角频率小于1，则首段-20dB/dec斜率线的延长线与ω=1线的交点高度为。1[-20][-40][-40]3.对于

II

型系统1[-40][-60][-40][-20][-40]可见，如果系统各转角频率均大于1，II型系统幅频特性伯德图在ω=1

处的高度；[-60]

如果系统有的转角频率小于1，则首段-40dB/dec斜率线的延长线与ω=1

线的交点高度为。1[-40][-40][-20][-40]例：