第三章矩阵的初等变换与线性方程组

第三章初等矩阵与

线性方程组§3-1矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换的定义(一)初等行(列)变换设则以下三种变换称为矩阵A的初等行(列)变换(1)交换A的两行(列)(对调两行记作,对调两列记作)(2)用一个非零常数k乘以A的某一行(列)(用非零常数k乘以矩阵的第i行(列))(3)用一个数乘以A的某一行(列)的各元素后再加到A的另一行(列)对应的元素上去(二)初等变换：矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换。(三)、初等变换的逆变换三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换。1、的逆变换就是其本身2、的逆变换为3、变换的逆变换为二、矩阵的等价关系(一)定义：1、如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价，记作2、如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，则称矩阵A与B列等价,记作3、如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作(二)矩阵的等价关系的性质1、反身性2、对称性：若则3、传递性：若

则三、矩阵的几种特殊类型(一)行阶梯形矩阵特点:1.矩阵的所有元素全为0的行(如果存在的话),都集中在矩阵的最下面.2.每行左起第一个非零元素(称为首非零元)的下方元素全为0.(即可以在该矩阵中画出一条阶梯线,线的下方全为零,每个阶梯只有一行,阶梯数即是非零行的行数,阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素即为首非零元.)(二)行最简形矩阵特点：行阶梯形矩阵非零行首非零元为1，且这些首非零元所在的列的其它元素都为0。(对任何矩阵,总可以经过有限次初等行变换把它变成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵)(三)矩阵A的等价标准形矩阵特点:矩阵A的等价标准形矩阵的左上角是一个单位矩阵,其余元素全为零,对于矩阵A,总可经过初等变换(行变换和列变换)把它化为等价标准形其中是行阶梯形矩阵中非零行的行数。例1、设,把化成行最简形。四、初等矩阵(一)定义：对单位矩阵E施行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。(二)初等矩阵的类型1、将单位矩阵两行(列)对换得到的矩阵,记作2、以数乘单位矩阵E的第i行(列)得到的矩阵，记作

3、将单位矩阵E第j行的k倍加到第i行(或第i列的k倍加到第j列)得到的矩阵称为初等消去矩阵，记作(三)初等矩阵的性质1、初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵

2、初等矩阵均为可逆矩阵,并且其逆矩阵仍为同类型的初等矩阵

(四)初等矩阵在矩阵乘积中的作用1.用m阶初等矩阵左乘矩阵得：

相当于把矩阵的第行与第行对调,类似地,以n阶初等矩阵右乘矩阵其结果相当于把的第列第列对调.2.以m阶初等矩阵左乘矩阵其结果相当于以数乘的第,以右乘矩阵,其结果相当于以数的3、以左乘矩阵,其结果相当于把A的第j行乘k加到第i行上

,以右乘矩阵其结果相当于把的第i列乘k加到

第j列上

例2、设矩阵求五、定理及推论（一）定理1:用初等矩阵左乘A,相当于对A施行相应的初等行变换,用初等矩阵右乘A,相当于对A施行相应的初等列变换。（二）定理2

若方阵A可逆,A可以经过有限次的初等行变换(初等列变换),化为单位矩阵E,即(三)推论:可逆矩阵A可表示为有限个初等矩阵的乘积。六、初等变换的应用（一）求可逆矩阵A的逆矩阵例3、设，

求(二)的求法1、对于n阶矩阵A和矩阵B,则A可逆,且2、对于n阶矩阵A和矩阵C,则A可逆,且3、对于n阶矩阵A和矩阵C,则A可逆,且例4、求矩阵X,使其中

例5、解矩阵方程,其中例6、设

找出相应的初等矩阵

例7、求可逆矩阵的逆矩阵。例8、若可逆矩阵A作下列变化,则

相应地有怎样的变化例9、求满足关系式

的矩阵A,其中

§3-2矩阵的秩

一、矩阵的秩的概念(一)矩阵A的一个阶子式在矩阵A中,任取列位于这些行、列交叉处的个元素,不改变它们在A中所处的位置次序而得的阶行列式,称为矩阵A的阶子式.矩阵A的阶子式共有个(二)最高阶非零子式，矩阵的秩

如果矩阵A中有一个子式,而所有阶子式(如果存在的话)的值全等于0，则称为矩阵A的一个最高阶非零子式,其阶数称为矩阵A的秩,记作.例1、求矩阵A和B的秩其中(三)行满秩矩阵,列满秩矩阵,满秩矩阵

设A为矩阵,当时.称A为行满秩矩阵,当时,称A为列满秩矩阵。

若A为n阶矩阵,且，则称A为满秩矩阵,否则称降秩矩阵二、矩阵的秩的性质1.若矩阵A中有一个S阶非零子式，2.若矩阵A中所有t阶子式全为0，3.若A为矩阵,5.n阶可逆矩阵A的秩等于阶数,即当时,,所以可逆矩阵又称满秩矩阵,不可逆矩阵又称降秩矩阵。6.行阶梯形矩阵,非零行的行数等于矩阵的秩。三、用初等变换求矩阵的秩(一)定理1:若A与B是同型矩阵,A与B等价的充分必要条件是(二)推论:设有可逆矩阵P,Q,使PAQ=B

则例2、设求R(A)，并求A的一个最高阶非零子式。(三)定理2设有任意矩阵A,B,则特别地,当B=b为列向量时,有例3、设已知,求的值例4、设A为n阶矩阵,证明

例5、求矩阵

的秩.例6、设求例7、设B是秩为1的3×5矩阵,问矩阵的秩为多少.例8、设A为5×3矩阵(2)齐次线性方程组(A)无解;(B)有唯一解;(C)有无穷多组解;(D)解不能确定,可能有解;可能无解.例9.以下命题正确的是()且说明理由(1)对任何矩阵A，均有;(2)A,B,C,D均为n阶方阵,若

(3)A,B为阶方阵,则

(4)A,B均为可逆矩阵,则AXB=C有唯一解例10、已知A为3阶方阵,例11、设A是n阶可逆方阵,将A的第i行和第j行互换后得到的矩阵记为B(1)证明B是可逆矩阵例12、设A为矩阵,B为矩阵,当时，证明:(3)齐次线性方程组有非零解.

§3-3线性方程组的消元法一、线性方程组的概念(一)非齐次线性方程组,齐次线性方程组设有n个未知数m个方程的线性方程组

当不全为零时,称方程组(1)为非齐次线性方程组。当全为零时,称方程组叫做齐次线性方程组。其中称为方程组的系数,称为这个方程组的未知量,称为方程组的常数项,同时称线性方程组(2)为与线性方程组(1)相应的齐次线性方程组,或线性方程组(1)称为线性方程组(2)的导出的组。(二)线性方程组写成矩阵方程的形式如果令则线性方程组(1)可以表示为称A为这个方程组的系数矩阵,称是这个方程组的增广矩阵.（三）线性方程组的解如果使得方程组(1)中每一个方程都成立,则称这n个数是方程组(1)的解,或者说是(1)的解(或解向量)

如果线性方程组(1)有解,就称方程组(1)是相容的,否则,就称方程组(1)是不相容的。一个线性方程组的解的全体构成的集合,称为这个线性方程组的解集合,两个具有相同解集合的线性方程组称为是同解的.

表示线性方程组全部解的表达式称为线性方程组的通解。

二、高斯消元法(一)矩阵在高斯消元法中的应用利用消元法解线性方程组,可通过线性方程组的增广矩阵的初等行变换来完成.例1、解线性方程组(二)定理:n元线性方程组

(1)无解的充分必要条件是(2)有唯一解的充分必要条件是(3)有无穷多组解的充分必要条件是(三)求解线性方程组的步骤1、若为n元齐次线性方程组,将系数矩阵A化成行最简形,若只有零解,若有非零解,把行最简形中个非零行的非零首元所对应的未知数取出非自由未知数，其余个未知数取作自由未知数，并令自由未知数分别等于，由A的行最简形即可写出含个参数的通解。例2、解线性方程组2、若为非齐次线性方程组，把它的增广矩阵B=(A,b)化成行阶梯形矩阵,若,则方程组无解,若,则进一步把B化成行最简形。3、若,则方程组有唯一解,若则方程组有无穷多组解,把行最简形中r个非零行的的非零首元所对应的未知数作非自由未知数,并令自由未知数分别等于，,由B的最简形,即可写出含个参数的通解。例