第二章、数字逻辑基础

数字逻辑基础第二章北京邮电大学徐惠民逻辑变量和逻辑系统在数字电路和数字系统中用逻辑值来表示实际的信号或电路状态。一般逻辑值的取值只有两种：0和1，0表示逻辑假，1表示逻辑真。取值为逻辑值的变量称为逻辑变量。使用逻辑变量作为输入/输出的系统，就是逻辑系统。一般的逻辑系统都是二值系统。正逻辑系统和负逻辑系统逻辑值只是信号或电路状态的反映，并没有规定逻辑值和信号范围的具体映射关系。在实际应用中，既可以用高电平来表示逻辑1，用低电平表示逻辑0；也可以用低电平表示逻辑1，高电平表示逻辑0。用高电平来表示逻辑1，用低电平表示逻辑0的逻辑系统称为正逻辑系统。用低电平来表示逻辑1，用高电平表示逻辑0的逻辑系统是负逻辑系统。基本逻辑运算逻辑代数中的逻辑变量的基本运算只有“与”、“或”、“非”三种。对应的逻辑电路是与门、或门、非门。非门就是反相器。任何复杂的逻辑运算都可以通过这三种基本逻辑运算来实现。基本逻辑运算1.“与”逻辑运算与逻辑运算又叫逻辑乘。其定义是：当且仅当决定事件F发生的各种条件A、B、C…均具备时，这件事才发生，这种因果关系称为”与”逻辑关系，即”与”逻辑运算。两个变量的”与”运算的逻辑关系可以用函数式表示为： F=A∩B=AB 基本逻辑运算与门的逻辑符号

“与”逻辑的真值表基本逻辑运算“与”逻辑的波形表示

“与”逻辑运算可以进行这样的逻辑判断：”与”门的输入信号中是否有“0”，若输入有“0”，输出就是“0”，只有当输入全为“1”，输出才是“1”。基本逻辑运算2.“或”逻辑运算 “或”逻辑运算又叫逻辑加。其定义是：在决定事件F发生的各种条件中只要有一个或一个以上条件具备时，这件事就发生，这种因果关系称为“或”逻辑运算关系。两个变量的“或”运算可以用函数式表示为： F=A∪B=A+B 基本逻辑运算或门的逻辑符号“或”逻辑的真值表基本逻辑运算或门的波形

“或”逻辑运算可以进行这样的逻辑判断：”或”门的输入信号中是否有“1”，若输入有“1”，输出就是“1”；只有当输入全为“0”时，输出才是“0”。基本逻辑运算3．“非”逻辑运算 “非”逻辑运算又称“反相”运算，或称“求补”运算。其定义是：当决定事件发生的条件A具备时，事件F不发生;条件A不具备时，事件F才发生。这种因果关系叫“非”逻辑运算。它的函数式为

F= 基本逻辑运算“非”门的逻辑符号

“非”逻辑的真值表

布尔代数公理基本逻辑运算是布尔代数中最重要的运算，从这些运算规则中，可以归纳出布尔代数的公理。公理1：若X=1，则公理2：0·0=0 1+1=1公理3：1·1=1 0+0=0公理4：1·0=0·1=0 0+1=1+0=1若X=0，则其他常用逻辑运算1．与非逻辑运算 实现先“与”后“非”的逻辑运算就是与非逻辑运算。其逻辑函数式如下:“与非”门的逻辑符号

其他常用逻辑运算“与非”逻辑的真值表

“与非”逻辑运算可进行这样的逻辑判断：“与非”门输入信号中是否有“0”，

输入有“0”，

输出就是“1”;只有当输入全为“1”时，

输出才是“0”。

其他常用逻辑运算2．“或非”逻辑运算

实现先”或”后“非”的逻辑运算，

就是“或非”逻辑运算。其逻辑函数式如下：“或非”门的逻辑符号

其他常用逻辑运算“或非”逻辑的真值表“或非”逻辑运算可进行这样的逻辑判断：“或非”门的输入信号中是否有“1”，若输入有“1”，输出就是“0”;只有当输入全为“0”时，输出才是“1”。

其他常用逻辑运算3．“与或非”逻辑运算

“与或非”逻辑运算的逻辑函数式如下

“与或非”门的逻辑符号

其他常用逻辑运算4．“异或”逻辑运算

用先“非”再“与”后“或”的逻辑运算，实现如下逻辑函数式的称为“异或”逻辑运算。“异或”门的逻辑符号

其他常用逻辑运算“异或”逻辑运算的真值表

两输入“异或”逻辑运算可以进行这样的逻辑判断：“异或”门的两个输入信号是否不相同，两个输入信号不相同时，输出为“1”;两个输入信号相同时，输出为“0”。其他常用逻辑运算5．“同或”逻辑运算

同或逻辑的逻辑函数式为:“同或”门的逻辑符号

注：原部颁标准和国外符号没有专用的同或逻辑符号，用异或非来代替。

其他常用逻辑运算“同或”逻辑的真值表两输入“同或”逻辑运算可以进行这样的逻辑判断：“同或”门的两个输入信号是否相同，两个输入信号相同时，输出为“1”;两个输入信号不相同时，输出为“0”。其他常用逻辑运算异或/同或关系的一般定义尽管实际生产的异或门/同或门只有两个输入，但是，可以定义多个输入情况下的异或/同或逻辑关系。对于异或逻辑来说，当输入1的数目是奇数时，输出为1；当输入1的数目是偶数时，输出为0。对于同或逻辑来说，当输入0的数目是偶数时（0也算偶数），输出为1；当输入0的数目是奇数时，输出为0。其他常用逻辑运算对于3输入函数来说，当有奇数个输入是1时，一定也是有偶数个输入是0：奇数个输入是1：偶数个输入是0：所以，对于3变量异或函数和3变量同或函数，具有相同的表达式。此结论可以推广到所有奇数个输入的异或/同或函数。真值表真值表是表示逻辑函数的一种方式。真值表的左面，列出函数的各种输入组合，右边是和输入组合相对应的输出。多数表决的真值表。10111000

√XXXXXX√阿德里安卡特

布福德

阿德里安（A）、布福德（B）和卡特（K）三人去餐馆吃饭，他们每人要的不是火腿就是猪排。（1）如果阿德里安要的是火腿，那么布福德要的就是猪排。（2）阿德里安或卡特要的是火腿，但是不会两人都要火腿。（3）布福德和卡特不会两人都要猪排。

√XXXXXX√阿德里安卡特

布福德

很容易将结果转换为真值表：结论是A=0，A（阿德里安）选的是猪排，K都等于1，K（卡特）选的是火腿，B可以是1或者0，说明B（布福德）可以选猪排或火腿，

逻辑代数的基本定律

逻辑代数的基本定律布尔代数中的交换律、结合律、分配律和普通代数中的三大定律的形式基本相同，但是具有普通代数中所没有的“加对乘”的分配律：A+BC=(A+B)(A+C)，需要特别注意。在实际应用中，这个公式经常会用到。布尔代数的常用公式这些公式都可以用基本定律来证明：吸收律1：(a)A+AB=A 证明A+AB=A·1+AB （自等律） =A(1+B) （分配律） =A·1 （0-1律） =A （自等律）布尔代数的常用公式

布尔代数的常用公式

布尔代数的常用公式布尔代数的三个规则1．代入规则 在一个包含一个或多个逻辑变量的逻辑等式中，如果将等式两边相同的变量用相同的逻辑表达式替换，逻辑等式仍然成立。这个规则称为代入规则。 因为逻辑表达式也只有0、1两种取值，和逻辑变量的取值是一样的。当等式两边的相同变量用相同的逻辑表达式替换后，不会改变等式的相等性。布尔代数的三个规则对于结合律A+BC=(A+B)(A+C)，等式两边都用表达式A+D代替变量AA+D+BC=(A+D+B)(A+D+C)，等式仍然成立。又如，对于摩根定理：，用表达式a+b代替变量A，用表达式c+d代替变量B则有：就是摩根定理的扩展形式。布尔代数的三个规则以上变换过程的最后，就是将公式中的A用表达式代换，变量B用代入的结果。布尔代数的三个规则2．反演规则 任何一个逻辑函数式F，如果将F式中所有的逻辑与变为逻辑加，逻辑加变为逻辑与，“1”变为“0”，“0”变为“1”，原变量变为反变量，反变量变为原变量，运算关系保持不变，即可得到函数F的反函数反演规则定义了如何获得函数F的反函数布尔代数的三个规则在使用反演规则时，要适时的增加括号。目的是要遵守反演规则中规定的“保持运算关系不变”。布尔代数的三个规则在以上的取反过程中，也要随时注意加上括号，保持原来的运算关系。

推论：将一个逻辑等式的两边都取反，等式依然成立。布尔代数的三个规则3.对偶规则将逻辑函数式F中所有逻辑与运算变为逻辑加运算，逻辑加运算变为逻辑与运算，逻辑常量“0”变为“1”，“1”变为“0”，并保留变量的运算关系和顺序不变，所得到的新的逻辑函数式称为F的对偶函数对偶规则定义了如何获得函数F的对偶函数布尔代数的三个规则推论：若有两个函数式相等：F1=F2，则它们的对偶式也相等：

逻辑函数的标准表达式一个逻辑函数的多种表示形式，为实现逻辑函数提供了多种选择。或门实现与非门实现逻辑函数的最小项表达式最小项表达式是一种与或表达式，有时也称为标准与或式。最小项是由逻辑函数的全部变量组成的乘积项（逻辑与项），这些变量可以是原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次。一个最小项就对应逻辑函数的一种输入组合。如最小项ABC对应输入A=1、B=1、C=1。最小项对应输入A=0、B=1、C=1。逻辑函数的最小项表达式最小项通常用mi来表示。其下标i是这样确定的：把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，变量取值按顺序排列成二进制数。那么这个二进制数的等值十进制数就是下标i。如最小项ABC用m7表示。最小项表达式是由逻辑函数值为1的输入组合所对应的最小项所组成的或式。F（A、B、C）=m0·D0+m1·D1+m2·D2+m3·D3+m4·D4+m5·D5+m6·D6+m7·D7

其中Di就是某个最小项（输入组合）对应的函数值。用m3表示。逻辑函数的最小项表达式写出和以下真值表对应的最小项表达式：对应的最小项表达式是：逻辑函数的最小项表达式最小项具有如下三个主要性质：

对于任意一个最小项，只有一组变量值使最小项本身取值为1。任意两个不同的最小项之积必为0，即： mi﹒mj=0

n个变量的所有2n个最小项之和必为1，即

式中符号“∑”表示最小项求和。逻辑函数的最大项表达式最大项表达式是一种或与表达式，有时也称为标准或与式。最大项是由逻辑函数的全部变量组成的相加项（逻辑或项），这些变量可以是原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次。一个最大项就对应逻辑函数的一种输入组合。如最大项A+B+C对应输入A=0、B=0、C=0。最大项当某个输入变量取值为1时，它在最大项中以反变量形式出现；当某个输入变量取值为0时，它在最大项中就以原变量形式出现。对应输入A=1、B=0、C=0。逻辑函数的最大项表达式最大项通常用Mi来表示。其下标i是这样确定的：把最大项中的原变量记为0，反变量记为1，变量取值按顺序排列成二进制数。那么这个二进制数的等值十进制数就是下标i。如最小项A+B+C用M0表示。最大项表达式是由逻辑函数值为0的输入组合所对应的最大项所组成的与式。=(m0+D0)·(m1+D1)·(m2+D2)·(m3+D3)·(m4+D4)·(m5+D5)·(m6+D6)·(m7+D7)其中Di就是某个最大项（输入组合）对应的函数值。用M4表示。F（A、B、C）逻辑函数的最大项表达式写出和以下真值表对应的最大项表达式：对应的最大项表达式是：逻辑函数的最大项表达式最大项具有下列三个主要性质：

对于任意一个最大项，只有一组变量取值可使其值为0。

任意两个最大项之和必为1，即： Mi+Mj=1 (i≠j)

n个变量的所有2n个最大项之积必为0，即：

最小项表达式和最大项表达式的关系若已经知道函数的最小项表达式，很容易写出这个函数的最大项表达式：若最小项表达式中最小项的数目是k，最大项表达式中最大项的数目是2n-k，n是函数的输入变量的数目；若认为0，1，…，2n-1是编号的全集，则最小项表达式中最小项的编号和最大项表达式中最大项的编号互为补集，即两者编号之或为编号的全集。例：如果三变量函数的最小项表达式是Y=∑m(0、1、6)，这个函数的最大项表达式就是Y=∏M(2、3、4、5、7)。非标准表达式到标准表达式的转换如果在与或表达式中，某一个与项和最小项相比，还缺少变量X，则可以利用基本定律中的A+=1，将这个与项乘以(X+)，转换为最小项。其他与项也作类似处理。最后消除表达式中的重复项，就是最小项表达式。任意项的定义及表示在以下两种情况下，对应函数的某一种输入组合，相应的输出可以是任意指定的：若某些输入组合在实际上不可能出现，其相应的输出是可以任意指定的；某些输入虽然可能出现，但是相应的输出并不被使用，这样的输出也可以任意指定。输出可以任意指定的输入项，称为任意项。有时也称为无关项。带有任意项的逻辑函数也称为不完全确定的逻辑函数。这样的函数在没有完成设计前，有些输入组合的输出是没有确定的。任意项的定义及表示任意项在最小项表达式或者最大项表达式中也可以表示。带有任意项的函数的最小项表达式，可以写为以下的形式： F=∑m(输出为1的最小项的编号)+∑d(输出不指定的最小项的编号)带有任意项的函数的最大项表达式，可以写为以下的形式： F=∏M(输出为0的最大项的编号)·∏d(输出不指定的最大项的编号)用约束条件表示任意项任意项有时候也可以用一个恒等于0的表达式来表示，如将恒等于0的约束条件左边的表达式展开为最小项表达式，其中所包含的最小项就是这个函数的任意项。对于三变量函数，以上约束条件展开为：对应于任意项：是否可以用恒等于1的表达式表示任意项？代数法化简逻辑函数逻辑函数化简的标准对于小规模逻辑电路而言，化简的要求是使得逻辑表达式中的项数（“与”项或者“或”项）最少，并使得每项中的变量数最少。 还可以有其他的优化标准低延迟低扇入（集成电路的输入引脚都是有限的）代数法化简逻辑函数1.按基本定律、公式进行化简代数法化简逻辑函数基本定律和公式结合代入规则进行化简代数法化简逻辑函数通过在表达式中增项(拆项)，以便进一步简化增项拆项卡诺图法化简逻辑函数卡诺图是真值表的图形表示。它和真值表具有相同的信息。卡诺图中将n个输入变量分为两组，将两组变量的取值按格雷码排列于纵横坐标，每两个相邻的变量取值都只有一位的差别。一个n变量的卡诺图有2n个小方格，每一个小方格对应一个输入的组合，或者说对应一个最小项或最大项。小方格中所填入的是相应输入组合下函数的输出。卡诺图法化简逻辑函数

卡诺图法化简逻辑函数四变量卡诺图：卡诺图法化简逻辑函数五变量卡诺图：卡诺图法化简逻辑函数相邻项：直接相邻两端相邻镜像相邻镜像相邻两端相邻卡诺图法化简逻辑函数卡诺图化简逻辑函数的基本原理相邻项可以合并。基于公式输入项可以重复使用。基于公式A+A=A由相邻项写合并项2k个相邻项也可以合并为一个与项。合并项由这些相邻项中取值相同的变量组成：变量值为1的写为原变量，变量值为0的写为反变量。卡诺图法化简逻辑函数相邻项：A=0,B=0,D=0,E=1,合并项:B=0,C=0,D=1,E=1,合并项:C=1,D=1,E=0,合并项:卡诺图法化简逻辑函数为了合并的需要，输入项可以重复使用。11111重用重用1逻辑函数的卡诺图表示1）从真值表到卡诺图 由逻辑函数的真值表或逻辑表达式作该逻辑函数卡诺图的基本方法是：

根据逻辑函数中变量的数目n，画出n个变量的卡诺图； 在真值表中输出为1的最小项所对应的卡诺图的mi小方格中填入1，或者在真值表输出为0的最大项所对应的Mi的小方格填入0，就是该函数的卡诺图。逻辑函数的卡诺图表示例：画出三人表决器所对应的逻辑函数的真值表。相应的卡诺图是：逻辑函数的卡诺图表示2）由非标准与或式填卡诺图对于每个与项中不带非的变量，和卡诺图中相应变量取值为1的行或列对应，每个带非的变量，和卡诺图中相应变量取值为0的行或列对应。在这些行、列相交的小格内填1；对于每个与项都按以上方法填图，如果小格已经有1就不再重填。所有没有填1的格内填入0。逻辑函数的卡诺图表示例:填写函数解：先画出3变量的卡诺图。

的卡诺图11111对于‘AB’，应在A=B=1的各小方格内填1。对于‘’，应在B=0,C=1的小方格内填1。对于‘’，应在A=1,C=0的小方格内填1。逻辑函数的卡诺图表示3）由非标准或与式填卡诺图对于每个或项中不带非的变量，和卡诺图中相应变量取值为0的行或列对应，每个带非的变量，和卡诺图中相应变量取值为1的行或列对应。在这些行、列相交的小格内填0；对于每个与项都按以上方法填图，如果小格已经有0就不再重填。所有没有填0的格内填入1。逻辑函数的卡诺图表示例:填写函数F=解：先画出3变量的卡诺图。

的卡诺图00000对于‘对于‘’，应在A=0,B=1的小方格内填0。对于‘’，应在B=1,C=0的小方格内填0。’，应在A=1,C=0的小方格内填0。卡诺图化简的步骤卡诺图化简逻辑函数为最简与或式的步骤：1）根据给定的函数表达式填画卡诺图；2）寻找只有一个合并方向的最小项，并圈出尽可能大的合并项，写出相应的“与”项；3）如果还有没有圈入的“1”格，继续进行合并，要求用尽可能少的合并项，来覆盖这些最小项，写出相应的“与”项。4）将合并时写出的“与”项，组成与或式，就是化简的结果。卡诺图化简的举例化简函数F=∑m(0,4,5,7,9,12,13,14)为最简与或式。作卡诺图；从只有一个合并方向的小格m0、m7、m9、m14出发选取合并项；所有的1已经被圈入，组成与或式就是结果:

11111111卡诺图化简的举例如果从选取最大合并项出发，就会是如图的结果；还要再选取4个合并项；结果就出现冗余；所以一定要从只有一个合并方向的小格开始。卡诺图化简的举例化简F=

为最简与或式。11111111111作卡诺图；从只有一个合并方向的小格m13、m7、m0出发选取合并项；所有的1已经被圈入，组成与或式就是结果:

卡诺图化简的举例如果不是从只有一个合并方向的格开始化简，也可能得到冗余的结果。先圈出AC，最后就得到了4项：有一项是多余的。11111111111卡诺图化简的举例2．单输出最简或与式从卡诺图上获得最简或与式的过程和获得最简与或式基本相似，但是有两点不同：1）选取合并项时要从卡诺图上的‘0’格出发。合并项是这些圈入的‘0’格中取值相同的变量的逻辑或。但是要注意：变量值为0的写为原变量，变量值为1的写为反变量。2）由合并项相与构成最简或与式。卡诺图化简的举例例2.26试求函数F(A、B、C、D)=∑m(1,5,7,8,9,10,11,14,15)的最简表达式。解：当题目中没有明确指出是求哪一种最简式时，需要求两种简化结果，选取最简化的一个。111111111最简与或式是：卡诺图化简的举例例2.26试求函数F(A、B、C、D)=∑m(1,5,7,8,9,10,11,14,15)的最简表达式。解：当题目中没有明确指出是求哪一种最简式时，需要求两种简化结果，选取最简化的一个。0000000最简或与式是：这也是本例题的最简表达式。卡诺图化简的举例3．带有任意项的逻辑函数化简用卡诺图化简带有任意项的逻辑函数时，可以根据化简的需要，将某些任意项的输出指定