第三章2N氏判据

复习：1.稳定的必要条件:闭环特征方程系数ai>0；2.稳定的充要条件∶劳斯表的第一列各元大于零。劳斯表的列法。3.三阶系统：a2a1>a3a04.特殊情况的处理：第一列某元为零；某一行全为零§3.4奈奎斯特(Nyquist)稳定判据特点1.几何判据，通过开环系统Gk(jω)的奈氏图，利用图解法分析闭环系统GB(jω)的稳定性；2.不需要求取闭环系统的特征根；3.能指出系统的稳定性储备—相对稳定性，指出进一步改善系统动态性能的途径。1jik09一.开环极点与闭环极点间的关系开环传函

闭环传函

令

(特征函数)2jik09

特征函数F(s)=通过F(s)可以用Gk(s)来判明GB(s)的稳定性。二.幅角原理1.复数的矢量表示

OM=jω,PM=（jω-OP）,

ZM=（jω-OZ）

OP、OZ分别表示位于[S]左、右半平面的零点或极点的矢量.

3jik092.相角变化

ω:－∞→＋∞

PM:([S]左半平面),ZM:([S]右半平面),3.

特征函数的相角变化复分式的相角=分子相角－分母相角

特征函数F(jω)的零极点形式：

ω:－∞→＋∞

当ω从－∞→＋∞变化时：

[S]左半平面上的零、极点矢量均变化(扫过)+π弧度；[S]右半平面上的零、极点矢量均变化(扫过)-π弧度.

＋π；－π4jik09设系统有p个开环极点在[S]右半平面，则有(n-P)个开环极点在[S]左半平面，特征函数分母的相角为

若系统有Z个闭环极点在[S]右半平面，则有(n-Z)个极点在[S]左半平面，特征函数分子的相角为

特征函数的相角变化5jik094.幅角原理:

当ω从－∞→＋∞变化时，特征函数F(jω)的轨迹将绕原点O转N=P-Z圈.

∵GK(jω)=F(jω)-1，GK(jω)的Nyquist曲线围绕(-1，j0)点的圈数为

N=P-Z

5.讨论

(1)P:开环正极点数；Z:闭环正极点数;(2)N>0:逆时针包围；N<0:顺时针包围；N=0:逆时针和顺时针包围圈数相等、或表示不包围(-1，j0)点、或表示通过(-1，j0)点。

6jik09当ω从－∞到＋∞变化时，GK(jω)的Nyquist轨迹逆时针包围(-1，j0)点的圈数N等于GK(jω)的正极点数P（N=P）时，则闭环系统稳定.说明：由幅角原理

当N=P时，Z=0,闭环系统在[S]右半平面上无极点。

2.讨论(1)当P=0，开环系统稳定。开环系统的奈氏图不围绕(－1，j0)点，则闭环系统稳定;

(2)当开环系统有P个极点在[s]右半平面，若GK(s)逆时针包围(－1，j0)点P圈，闭环系统稳定。

三.Nyquist稳定性判据1.表述7jik093.应用

(1)若P=0，仅考察GK(jω)是否围绕(－1，j0)点；

(2)若P≠0，应先求出P，再查GK(jω)逆时针围绕(－1，j0)点的圈数，若少于P则闭环系统不稳定。

(3)开环奈氏轨迹，相对于实轴对称，故通常只画从0→∞段。

关键：作GK(jω)的Nyquist图四．应用举例

研究开环0型、Ⅰ型、Ⅱ型系统。已知GK(s)，求闭环系统的稳定性。8jik09例1：0型系统，开环传函

1.作奈氏图

2.P=0，且GK(jω)不包围(－1，j0)点∴无论K取何值，闭环系统稳定。

3.观察奈氏图的大致走向

推广：若开环为最小相位系统，只有在三阶或三阶以上其闭环系统才有可能不稳定。

9jik09例2∶存在导前环节的0型系统1.奈氏图(0型)由第三象限平行于虚轴进入原点。

2.由于有导前环节，曲线发生弯曲。

(1)当T1，T2，T3很大，而T4，T5很小，有可能使

曲线①:

(2)若减小K，或增大T4，T5：曲线②：闭环系统稳定。

10jik09系统有条件稳定:稳定条件与开环增益K及各环节时间常数有关，导前环节作用强，有利于稳定。

例3∶Ⅰ型系统

1.奈氏图

(2)P=0，且不包围(－1，j0)点，∴闭环系统稳定。(3)

∈(－∞，+∞)时的奈氏图

有积分环节时[s]—→[GH]的映射。

若存在积分环节，在[s]原点附近以无穷小半圆ABC绕过原点。11jik09则映射值

注意：当动点在圆弧ABC上移动时，s总是趋于零的。

总是取零值的。设A点:ω=0-，B点:ω=0，C点:ω=0+。点ABCω0-00+

－90o0o90o

映射值+j∞∞－j∞映射点A'B'C'

↓↓↓(∞)∶正虚轴正实轴负虚轴

12jik09说明：(1)当Ⅰ型系统逆时针以无穷小半圆绕过[s]平面原点时，其在[GH]上的映射点以∞半径顺时针绕过半圆弧。(从90o转到－90o)。

(2)对于Ⅱ型系统，则[s]平面上的无穷小圆弧在[GH]面上映射出一个顺时针绕向的无穷大圆。13jik09小结：奈氏稳定性判据(1)当ω从－∞到＋∞变化时，GK(jω)的Nyquist轨迹逆时针包围(-1，j0)点的圈数N等于GK(jω)的正极点数P（N=P）时，则闭环系统稳定.

(2)N=P-Z,Z=P-NN∶当从－∞—→+∞时，GK(jω)围绕(－1，j0)点的圈数。

N<0顺时针围绕；N>0逆时针围绕；N=0不围绕。P∶GK(jω)（开环）在[s]右半平面内的极点数。

Z∶闭环传函在[s]右半平面内的极点数。14jik09（3）增补段：当从0-→0+，GK(jω)在[GH]平面上的轨迹为一半径无穷大，顺时针绕向的圆弧。Ⅰ型系统为半圆，Ⅱ型系统为整圆；

(4)应用：若P=0，当N=0，GK(jω)不围绕(－1，j0)点时系统稳定；若P≠0，当GK(jω)逆时针围绕(－1，j0)点的圈数等于P圈，则系统稳定，否则系统不稳定；作业∶复习P85—P91，预习：P91—P93习题:3.2(1,2)15jik09提纲§3.4奈奎斯特(Nyquist)稳定判据特点一.开环极点与闭环极点间的关系：二.幅角原理1.复数的矢量表示

特征