第五章机械能动能定理

三、动能定理第五章机械能动能说明动能定理说明1、概念1、表述2、表达式2、表达式3、状态量、标量3、各物理量含义物体由于运动而具有的能叫动能，单位：焦耳（J）合外力所做的总功等物体动能的变化量W合是指合外力对物体所做的功的代数和，它可以是合外力做的功，也可以是各外力做的总功；既可以是几个外力同时做的功的代数和，也可以是各外力在不同时间内做功的累积；即可以是恒力做功，也可以是变力做功。式中ΔEk表示末动能减初动能解题步骤注意事项⑴确定研究对象和研究过程。⑵对研究对象进行受力分析。⑶写出该过程中合外力做的功，或分别写出各个力做的功⑷写出物体的初、末动能。按照动能定理列式求解。动能定理的研究对象只能是单个物体研究对象以外的物体施于研究对象的力都要分析，含重力）注意功的正负。如果研究过程中物体受力情况有变化，要分别写出该力在各个阶段做的功。探究功与速度的关系使小车在橡皮筋的作用下被弹出，每次增加一根橡皮筋，让小车均由静止从同样的位置被弹出，那么皮筋对小车的弹力做的功分别是第一次W，第二次2W，第三次3W…如果能测出小车的被弹出的速度，就能找到橡皮筋的弹力做功与小车速度的关系

由重物通过滑轮牵引小车，当小车的质量比重物的质量大很多时，可以把重物的重力当做小车受到的牵引力，分别测出小车受到牵引力做功和小车在这段位移的初、末速度，能够验证动能定理验证动能定理根据动能定理的表达式，选取合适的器材，设计实验验证动能定理还可以有哪些方法验证动能定理？将木板的一头适当垫高h，使小车被推一下之后能在斜面上匀速下滑，用米尺测量出h和l的长度，即可知道小车与斜面间的动摩擦因数μlh想一想原理是什么？例1、在某旅游景区，建有一山坡滑草运动项目。如图11所示，设山坡AB可看成长度为L=50m、倾角θ=37°的斜面，山坡低端与一段水平缓冲段BC圆滑连接。一名游客连同滑草装置总质量m=80kg，滑草装置与AB段及BC段间动摩擦因数均为µ=0.25。他从A处由静止开始匀加速下滑，通过B点滑入水平缓冲段，再滑行一段距离后安全停下来。不计空气阻力，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：（1）此游客滑到山坡底端时的速度大小；（2）此游客从A点到B点的下滑过程中摩擦力对他做的功；（3）此游客进入BC段后水平滑行的距离。图11ABC

例2、质量分别为2m和m的A、B两物体分别在水平恒力F1和F2的作用下沿水平面运动，撤去F1、F2后受摩擦力的作用减速到停止，其v-t图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A．F1和F2大小相等

B．F1和F2对A、B做功之比为2：1

C．A、B所受摩擦力大小相等

D．全过程中摩擦力对A、B做功之比为1：2C例3、一物体静止在粗糙水平地面上，现用一大小为F1的水平拉力拉动物体，经过一段时间后其速度变为v，若将水平拉力的大小改为F2，物体从静止开始经过同样的时间后速度变为2v，对于上述两个过程，用WF1

、WF2

分别表示拉力F1、F2所做的功，Wf1

、Wf2

分别表示前后两次克服摩擦力所做的功，则类型题：弄清求恒力做功的方法C【例4】在光滑水平面上有一静止的物体。现以水平恒力甲推这一物体，作用一段时间后，换成相反方向的水平恒力乙推这一物体，当恒力乙作用时间与恒力甲作用时间相同时，物体恰好回到原处，此时物体的动能为32J，则在整个过程中，恒力甲做的功等于_____________J，恒力乙做的功等于_______________J。8J24J类型题：应用动能定理巧求变力的功例5、一质量为m

的小球，用长为l

的轻绳悬挂于O点，小球在水平力F

作用下，从平衡位置P

点很缓慢地移到Q

点，如图4-10所示，则力F

做的功为：A.mglcosθB.FlsinθC.mgl(1-cosθ)D.Flθ

例6、如图所示，劲度系数为k的弹簧下悬挂一个质量为m的重物，处于静止状态，手托重物使之缓慢上移，直到弹簧恢复原长，手对重物做的功为W1，然后放手使重物从静止开始下落，，重物从静止开始下落到速度最大（最大速度是v）的过程中，弹簧对重物做的功为W2，则下列说法正确的是（）

BD例7、如图所示，质量为M的木块放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v0沿水平方向射中木块，并最终留在木块中与木块一起以速度v运动．已知当子弹相对木块静止时，木块前进距离L，子弹进人木块的深度为s．若木块对子弹的阻力Ff视为恒定，则下列关系式中正确的是（）

AC例8、一个初动能为E的小物块从斜面底端冲上足够长的斜面，返回斜面底端时速度大小为v，该过程物体克服摩擦力做功为。若小物块冲上斜面的初动能变为2E，则A．返回斜面底端时动能为B．返回斜面底端时动能为C．返回斜面底端时速度大小为2vD．返回斜面底端时速度大小为D例9、如图所示，一块长木板B放在光滑的水平面上，在B上放一物体A，现以恒定的外力拉B，由于A，B间摩擦力的作用，A将在B上滑动，以地面为参考系，A和B都向前移动一段距离，在此过程中（

）A．外力F做的功等于A和B动能的增量B．B对A的摩擦力所做的功等于A的动能的增量C．A对B的摩擦力所做的功等于B对A的摩擦力所做的功D．外力F对B做的功等于B的动能的增量与B克服摩擦力所做的功之和BD[想一想]如图5－3－1所示，小球质量为m，从A点由静止下落，到达C点的速度为零。请思考以下问题：图5－3－1(1)此过程中小球重力做的功是多少？小球重力势能如何变化？变化量为多大？

(2)弹簧对小球做正功还是负功？弹簧的弹性势能是增大还是减小？2提示：(1)重力做功为mg(h＋x)，小球重力势能减小了mg(h＋x)。(2)弹簧对小球做负功，弹簧的弹性势能增大。[记一记]

1．重力势能

(1)定义：物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积。

(2)表达式：Ep＝

。

(3)矢标性：重力势能是标量，但有正负，其意义表示物体的重力势能比它在参考平面大还是小。

(4)重力势能的特点：①系统性：重力势能是物体和

所共有的。mgh地球②相对性：重力势能的大小与参考平面的选取

，但重力势能的变化与参考平面的选取

。

(5)重力做功与重力势能变化的关系：

WG＝

。

2．弹性势能

(1)定义：发生

的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，而具有的势能。

(2)大小：与形变量及

有关。

(3)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能

；弹力做负功，弹性势能

。有关无关－ΔEp弹性形变劲度系数减小增加知识点二机械能守恒定律[想一想]如图5－3－2所示，质量为m的小球从光滑曲面上滑下，当它到达高度为h1的位置A时，速度大小为v1；当它继续滑下到高度为h2的位置B时，速度大小为v2。(1)试根据动能定理推导小球在A、B两点运动时动能大小的变化与重力做功的关系。

(2)将上述表达式等号两侧带“－”号的一项移到等号另一侧，得到的表达式的物理意义是什么？

1．内容在只有

做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。

2．机械能守恒的条件只有重力或弹力做功。

3．对守恒条件的理解

(1)只受重力作用，例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动，物体的机械能守恒。[记一记]重力或弹力(2)受其他力，但其他力不做功，只有重力或系统内的弹力做功。

(3)弹力做功伴随着弹性势能的变化，并且弹力做的功等于弹性势能的减少量。

4．机械能守恒的三种表达式

(1)E1＝E2(E1、E2分别表示系统初、末状态时的总机械能)。

(2)ΔEk＝－ΔEp或ΔEk增＝ΔEp减(表示系统势能的减少量等于系统动能的增加量)。

(3)ΔEA＝－ΔEB或ΔEA增＝ΔEB减(表示系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能)。[试一试]1．关于机械能是否守恒，下列说法正确的是(

)A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒B．做匀速圆周运动的物体机械能一定守恒C．做变速运动的物体机械能可能守恒D．合力对物体做功不为零，机械能一定不守恒解析：做匀速直线运动的物体与做匀速圆周运动的物体，如果是在竖直平面内则机械能不守恒，A、B错误；合力做功不为零，机械能可能守恒，D错误，C正确。答案：C

[例1]

(多选)如图5－3－3所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(

)机械能守恒的判断A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒B．乙图中，A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒C．丙图中，不计任何阻力时A加速下落，B加速上升过程中，A、B系统机械能守恒D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒系统机械能守恒专题例1、不计一切摩擦，定滑轮质量不计，图中B质量为m，A的质量为3m，两物体静止开始运动求：一根长度为L的轻绳一端固定，另一端拴一质量为m的小球，若在悬点O的正下方钉一小钉，拉起小球至细绳水平位置时，由静止释放小球，当绳碰到小钉后，小球刚好能在以钉子C为圆心的竖直面内做圆周运动．若不考虑细绳碰钉子时的能量损失及空气阻力，求小钉的位置C距悬点O的距离．①若C点不钉钉子，为使m恰好绕O做圆周运动，细绳水平时，要给小球多大的向下的初速度？②原题中，细绳碰到钉子前、后瞬间，细绳对小球的拉力各多大？例1一根长度为L的轻绳一端固定，另一端拴一质量为m的小球，若在悬点O的正下方钉一小钉，拉起小球至细绳水平位置时，由静止释放小球，当绳碰到小钉后，小球刚好能在以钉子C为圆心的竖直面内做圆周运动．若不考虑细绳碰钉子时的能量损失及空气阻力，求小钉的位置C距悬点O的距离．③若OC距离为4/5L，小球绕C做圆周运动时在最低点和最高点，绳子对小球的拉力各多大？相差多少？一根长度为L的轻绳一端固定，另一端拴一质量为m的小球，若在悬点O的正下方钉一小钉，拉起小球至细绳水平位置时，由静止释放小球，当绳碰到小钉后，小球刚好能在以钉子C为圆心的竖直面内做圆周运动．若不考虑细绳碰钉子时的能量损失及空气阻力，求小钉的位置C距悬点O的距离．④若轻绳所能承受的最大拉力为8mg为保证小球能做圆周运动且绳子又不被拉断，小钉的位置需满足什么条件？⑤若钉子不在O点正下方，而是在与竖直方向偏右60角的直线上，原题所问如何？一根长度为L的轻绳一端固定，另一端拴一质量为m的小球，若在悬点O的正下方钉一小钉，拉起小球至细绳水平位置时，由静止释放小球，当绳碰到小钉后，小球刚好能在以钉子C为圆心的竖直面内做圆周运动．若不考虑细绳碰钉子时的能量损失及空气阻力，求小钉的位置C距悬点O的距离．例2、从地面竖直向上抛出一个物体，当它的速度减为初速度v0的一半时，上升的高度为（空气阻力不计）()A．v02/2g B．v02/4g C．v02/8g D．3v02/8g例3、如图所示，ABDO是处于竖直平面内的固定光滑轨道，AB是半径为R=15m的1/4圆周轨道，半径OA处于水平位置，BDO是半径为r=7.5m的半圆轨道，D为BDO轨道的中点。一个小球P从A点的正上方距水平半径OA高H处自由下落，沿竖直平面内的轨道通过D点时对轨道的压力等于重力的14/3倍。g取10m/s2。求：⑴H的大小。⑵说明此球能否达到BDO轨道的O点，⑶小球沿轨道运动后再次落到轨道上的速度大小是多少？功能关系[想一想]图5－4－1[记一记]

1．功和能

(1)功是

的量度，即做了多少功，就有多少

发生了转化。

(2)做功的过程一定伴随有

，而且

必须通过做功来实现。

2．力学中常用的四种功能对应关系

(1)合外力做功等于物体动能的改变：即

。(动能定理)能量转化能量能量的转化能量的转化W合＝Ek2－Ek1＝ΔEk(2)重力做功等于物体重力势能的减少：即

。

(3)弹簧弹力做功等于弹性势能的减少：即

。

(4)除了重力和弹簧弹力之外的其他力所做的总功，等于物体机械能的改变，即

。(功能原理)WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEpW弹＝Ep1－Ep2＝－ΔEpW其他力＝E2－E1＝ΔE[试一试]1．对于功和能的关系，下列说法中正确的是(

)A．功就是能，能就是功B．功可以变为能，能可以变为功C．做功的过程就是能量转化的过程D．功是物体能量的量度答案：C

能量守恒定律试说明下列现象中，分别是什么能向什么能的转化。

(1)汽车由静止启动；(2)汽车刹车时由运动变为静止；(3)水力发电；(4)太阳能热水器工作时。

提示：(1)化学能→动能(2)动能→内能(3)水的机械能→电能(4)太阳能→内能[想一想][记一记]

1．内容能量既不会凭空产生，也不会

，它只会从一种形式

为其他形式，或者从一个物体

到另一个物体，而在转化和转移的过程中，能量的总量

。

2.表达式

。凭空消失转化转移保持不变ΔE减＝ΔE增[试一试]2．某人掷铅球，出手时铅球的动能为150J。关于人对铅球的做功情况和能量转化情况，下列说法正确的是

(

)A．此人对铅球做了150J的功，将体内的化学能转化为铅球的动能B．此人对铅球做的功无法计算C．此人对铅球没有做功，因此没有能量的转化D．此人对铅球做了150J的功，将铅球的重力势能转化为铅球的动能答案：A

功能关系的应用1.对功能关系的进一步理解

(1)做功的过程是能量转化的过程。不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。

(2)功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现到不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数量上相等。2．搞清不同的力做功对应不同形式的能的改变不同的力做功对应不同形式能的变化定量的关系合外力的功(所有外力的功)动能变化合外力对物体做功等于物体动能的增量W合＝Ek2－Ek1重力的功重力势能变化重力做正功，重力势能减少；重力做负功，重力势能增加WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2不同的力做功对应不同形式能的变化定量的关系弹簧弹力的功弹性势能变化弹力做正功，弹性势能减少；弹力做负功，弹性势能增加W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2只有重力、弹簧弹力的功不引起机械能变化机械能守恒ΔE＝0

不同的力做功对应不同形式能的变化定量的关系除重力和弹力之外的力做的功机械能变化除重力和弹力之外的力做多少正功，物体的机械能就增加多少；除重力和弹力之外的力做多少负功，物体的机械能就减少多少W除G、弹力外＝ΔE电场力的功电势能变化电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电势能增加W电＝－ΔEp[例1]

(2012·安徽高考)如图5－4－2所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力。已知AP＝2R，重力加速度为g，则小球从P到B的运动过程中(

)图5－4－2[答案]

D功能关系的选用技巧

(1)在应用功能关系解决具体问题的过程中，若只涉及动能的变化用动能定理分析。

(2)只涉及重力势能的变化用重力做功与重力势能变化的关系分析。

(3)只涉及机械能变化用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析。

(4)只涉及电势能的变化用电场力做功与电势能变化的关系分析。能量守恒定律的应用

1.对定律的理解

(1)某种形式的能量减少，一定有另外形式的能量增加，且减少量和增加量相等。

(2)某个物体的能量减少，一定有别的物体的能量增加，且减少量和增加量相等。

2．应用定律的一般步骤

(1)分清有多少种形式的能(如动能、势能、内能、电能等)在变化。

(2)分别列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式。

(3)列恒等式：ΔE减＝ΔE增。(1)轿车以90km/h在平直公路上匀速行驶时，所受阻力F阻的大小；

(2)轿车从90km/h减速到72km/h过程中，获得的电能E电；

(3)轿车仅用其在上述减速过程中获得的电能E电维持72km/h匀速运动的距离L′。

[审题指导]第一步：抓关键点关键点获取信息以v1＝90km/h匀速行驶轿车的牵引力等于轿车阻力F阻牵引轿车的功率恒定，轿车的运动不是匀减速直线运动50%转化为电池的电能电能的转化是有效率的，要求转化的电能需先求输送给发电机的总能量

第二步：找突破口要求电池获得的电能→利用动能定理求出发动机输出的总能量→求出输送给发电机的总能量。

[尝试解题]

(3)根据题设，轿车在平直公路上匀速行驶时受到的阻力仍为F阻＝2×103N。在此过程中，由能量转化及守恒定律可知，仅有电能用于克服阻力做功E电＝F阻L′代入数据得L′＝31.5m。

[答案]

(1)2×103N

(2)6.3×104J

(3)31.5m涉及能量转化问题的解题方法

(1)当涉及摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能的转化和守恒定律。

(2)解题时，首先确定初末状态，然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和ΔE减和增加的能量总和ΔE增，最后由ΔE减＝ΔE增列式求解。相对滑动物体的能量分析静摩擦力与滑动摩擦力做功特点比较

类别比较静摩擦力滑动摩擦力不同点能量的转化方面在静摩擦力做功的过程中，只有机械能从一个物体转移到另一个物体(静摩擦力起着传递机械能的作用)，而没有机械能转化为其他形式的能量(1)相互摩擦的物体通过滑动摩擦力做功，将部分机械能从一个物体转移到另一个物体(2)部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能的损失量

类别比较静摩擦力滑动摩擦力不同点一对摩擦力的总功方面一对静摩擦力所做功的代数总和等于零一对相互作用的滑动摩擦力对物体系统所做的总功，等于摩擦力与两个物体相对路程的乘积，即WFf＝－Ff·L相对，表示物体克服摩擦力做功，系统损失的机械能转化成内能

类别比较静摩擦力滑动摩擦力相同点正功、负功、不做功方面两种摩擦力对物体可以做正功、负功，还可以不做功图5－4－3(1)滑块到达B端时，轨道对它支持力的大小；

(2)车被锁定时，车右端距轨道B端的距离；

(3)从车开始运动到被锁定的过程中，滑块与车面间由于摩擦而产生的内能大小。

[审题指导](1)判断车被锁定时滑块与小车间是否还在相对滑动。

(2)摩擦产生内能的过程发生在滑块与小车相对滑动的过程。[尝试解题]

[答案]

(1)30N

(2)1m

(3)6J3.构建和谐型、节约型社会深得民心，遍布于生活的方方面面。自动充电式电动自行车就是很好的一例，电动自行车的前轮装有发电机，发电机与蓄电池连接。当骑车者用力蹬车或电动自行车自动滑行时，自行车就可以通过发电机向蓄电池充电，将其他形式的能转化成电能储存起来。现有某人骑车以600J的初动能在粗糙的水平路面上滑行，第一次关闭自动充电装置，让车自由滑行，其动能随位移变化关系如图2中的线①所示；第二次启动自动充电装置，其动能随位移变化关系如图线②所示，则第二次向蓄电池所充的电能是(

)A．600J B．360JC．300J D．240J解析：设自行车的总质量为m，第一次关闭自动充电装置，由动能定理有－μmgL1＝0－Ek，第二次启动自动充电装置，由功能关系有Ek＝μmgL2＋E电，代入数据解得E电＝240J，D正确。答案：D

4.如图3所示，置于足够长斜面上的盒子A内放有光滑球B，B恰与盒子前、后壁接触，斜面光滑且固定于水平地面上。一轻质弹簧的一端与固