理论力学11动能定理及其应用

第三篇动力学理论力学NanjingUniversityofTechnology第11章动能定理及其应用第三篇动力学11.1力的功

11.3动能定理及其应用

11.2质点与质点系的动能

11.4势能的概念机械能守恒定律及其应用

11.5动力学普遍定理的综合应用第11章动能定理及其应用第11章动能定理及其应用11.1力的功常力的功变力的功?FMM1M2S

力F的元功力的功的定义M1M2重力的功质点系？各种力做功的计算mgxzyoz1z2MM1M2对于质点：重力的功仅与重心的始末位置有关，而与重心走过的路径无关。

重力的功弹性力的功弹性力作的功只与弹簧在初始和终止位置的变形量有关。1、2

——弹簧在初始位置和最终位置的变形量。各种力做功的计算

弹性力的功

定轴转动刚体上作用力的功力偶做功各种力做功的计算

力偶做功FAdrFAdr光滑的固定支承面

约束力的功轴承活动支座固定铰链约束力做功为零！各种力做功的计算

约束力的功′FdrOABF1dr1dr2F2F12约束力做功总和为零！中间铰链不可伸长的绳索各种力做功的计算

约束力的功O关于摩擦力的作功0OFNFCMF又滚又滑滑动摩擦力做负功！各种力做功的计算

约束力的功OC*vO只滚不滑纯滚动时，静滑动摩擦力(约束力)作功为零！各种力做功的计算

约束力的功FFN◆不可伸长的柔性约束◆光滑的固定支承面◆光滑铰链：轴承、滚动支座◆纯滚动时的摩擦力约束反力作功等于零的约束！

理想约束：各种力做功的计算

约束力的功内力的功

FA

和FB在drA

和drB上所作之元功OxzyFAFBABrArB刚体内质点间的内力做功？各种力做功的计算

内力的功刚体的内力不作功内力不能改变质点系的动量和动量矩！内力可能改变质点系的能量！第11章动能定理及其应用

11.2质点与质点系的动能动能是度量质点系整体运动的另一物理量，动能是正标量。

质点系的动能质点质点系动能计算中中所用的速度必须是绝对速度！

平移刚体刚体平移时的动能，相当于将刚体的质量集中于质心时的动能。平移刚体的动能刚体的动能

定轴转动刚体的动能

定轴转动刚体的动能刚体的动能virimiyxzd·w＝vC

平面运动刚体的动能

平面运动刚体的动能刚体的动能C*CdvCCvC均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能。刚体的动能思考法一：法二：C*刚体的动能

11.3动能定理及其应用第11章动能定理及其应用质点运动微分方程的矢量形式dr＝vdt动能定理质点微分形式：积分形式：微分形式：积分形式：m1m2mn质点系动能定理外力内力主动力约束力动能定理中应考虑所有力的功！动能定理已知：

m，R,f，

。圆盘初始静止。求：纯滚动时盘心的加速度。CFNmgvCF解：对象：圆盘受力：如图运动：平面运动方程：假设圆盘中心向下产生位移

s时速度达到vc。s力的功：由动能定理得：解得：例题1例题1动能定理的应用举例等式两边同时对时间求一阶导数均质圆轮半径为R、质量为m。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求：重物下落的加速度。OPW例题2例题2动能定理的应用举例解：对象：整体受力：如图所示方程：假设重物向下产生位移

s时速度达到v。PO运动：圆轮定轴转动，物块平移FOxFOyWmg例题2

v动能定理的应用举例s力的功：由动能定理得：等式两边同时对时间求一阶导数分别选轮和物体为研究对象？圆轮：物体：OPWmgFOxFOyF'TFTv例题2

动能定理的应用举例bl－b链条总长度为l，线质量密度为r，下垂部分长度为b，链条从静止开始，在自重作用下运动。不考虑链条与台面之间的磨擦。求：链条完全离开台面时的速度。例题3

动能定理的应用举例例题3l-bCC´b解：链条在初始及终止两状态的动能分别为bl－bCC´链条重力所作之功应用动能定理求得链条完全离开台面时的速度例题3

动能定理的应用举例均质圆轮A、B的质量均为m，半径均为R，轮A沿斜面作纯滚动，轮B作定轴转动，B处摩擦不计。物块C的质量也为m。A、B、C用无质量的绳相联，绳相对B轮无滑动。系统初始为静止状态。试求：1．当物块C下降高度为h时，轮A质心的速度以及轮B的角速度。2．系统运动时，物块C的加速度。

例题4例题4

动能定理的应用举例解：对象：整个系统受力：如图所示

运动：轮A作平面运动；轮B作定轴转动；物块C作平移。根据运动学补充关系方程：例题4

动能定理的应用举例FFNFOxFOy1.轮A质心的速度以及轮B的角速度。应用动能定理解得例题4

动能定理的应用举例FFNFOxFOy2．确定系统运动时物块C的加速度：物块的加速度为第10章动能定理及其应用

10.4势能的概念机械能守恒定律及其应用有势力（或保守力）：该种力所作之功仅与力作用点的初始位置和终止位置有关，而与其作用点所经过的路径无关。有势力和势能势能：质点系（质点）从某位置M（点）运动到任选的零势位置M0（零势点）时，有势力所作的功。

mgxzyoz1z2MM1M22）物理学中的零势点是针对质点的；零势位置其实是组成质点系的每一个质点的零势点的集合。注意：1）因零势位置（零势点）的不同，各个位置的势能而不同。机械能：质点系在某瞬时动能和势能的代数和。机械能守恒定律：当作用在系统上的力均为有势力时，其机械能保持不变。机械能守恒定律第11章动能定理及其应用

11.5动力学普遍定理的综合应用动力学普遍定理动量定理动能定理动量矩定理动力学普遍定理的综合应用质点系动力学的基础－质点动力学动量定理、动量矩定理和动能定理都是描述质点系整体运动的变化与质点系所受的作用力之间的关系。动力学普遍定理的综合应用整体运动的变化所受的作用力动量定理动能定理动量矩定理动量力（冲量）动量矩力矩动能力的功

动量定理、动量矩定理和动能定理都可以用于求解动力学的两类基本问题。矢量方程（外力）标量方程（内外力）矢量方程（外力）表达式强调例题5如图a所示，均质细杆长为l，质量为m，静止直立于光滑的水平面上，当有微小的干扰时而倒下。

试求：杆刚与地面接触时质心的加速度和地面的约束力。例题5

动力学普遍定理的综合应用ACB例题5

动力学普遍定理的综合应用ACB解：法一对象：均质杆AB受力：如图运动：平面运动方程：CvAmgFNAvC当杆与地面夹角为q时qI由速度瞬心法，I为速度瞬心例题5

动力学普遍定理的综合应用ACBCvAmgFNAvCqI应用质点系动能定理两边对时间求导，并注意得质心的加速度为求杆的角加速度aC？法二：平面运动刚体微分方程？？地面对杆的约束力：以A点为基点得质心的加速度为得杆的加速度为例题5动力学普遍定理的综合应用ACBCvAmgFNAvCqIaC均质圆轮A、B的质量均为m，半径均为R，轮A沿斜面作纯滚动，轮B作定轴转动，B处摩擦不计。物块C的质量也为m。A、B、C用无质量的绳相联，绳相对B轮无滑动。系统初始为静止状态。试求：1．当物块C下降高度为h时，轮A质心的速度以及轮B的角速度。2．系统运动时，物块C的加速度。

例题6例题6动力学普遍定理的综合应用3．轮A、轮B之间的绳子拉力和B处的约束力；4．轮A与地面的接触点处的摩擦力。

解：对象：整个系统受力：如图所示

运动：轮A作平面运动；轮B作定轴转动；物块C作平移。根据运动学补充关系方程：1.系统的动能为：FFNFOxFOy例题6

动力学普遍定理的综合应用应用动能定理解得FFNFOxFOy2．确定系统运动时物块C的加速度：物块的加速度为例题6

动力学普遍定理的综合应用对象：取轮B和物块C受力：如图所示运动：轮B定轴转动，物块C平移方程：对点B应用动量矩定理3．轮A、轮B之间的绳子拉力和B处的约束力FFNFOxFOy例题6动力学普遍定理的综合应用确定B处的约束力应用质心运动定理由此解得B处的约束力＃例题6动力学普遍定理的综合应用4．轮A与地面的接触点处的摩擦力。对象：轮A受力：如图所示运动：平面运动方程：应用相对质心的动量矩定理，得到例题6动力学普遍定理的综合应用FFNFOxFOy1.

动能定理适合求解运动量。2.动量定理或动量矩定理适合求解约束力。4.对于复杂质点系：动量定理、动量矩定理和动能定理的应用选择3.

对于简单质点系：动量定理和动量矩定理，与应用动能定理解决问题的难易程度差不多。先避开未知约束力，求解运动量；后再利用合适的定理，确定动约束力。动能定理动量定理动量矩定理均质圆柱体A和B质量均为m，半径均为r。圆柱A可绕固定轴O转动。一绳绕在圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上。求：B下落时，质心C点的加速度。摩擦不计。解：法一对象：圆柱体A受力：如图运动：定轴转动方程：根据定轴转动的微分方程，得到aAFTOA例题7FOymgFOx例题7动力学普遍定理的综合应用其中F'TaBCDB对象：圆柱体B受力：如图运动：B作平面运动方程：根据平面运动的微分方程有由运动学关系aD＝raA,aAFTOAFOymgFOxmgaC以D点为基点？？？？例题7

动力学普遍定理的综合应用法二：对象：圆柱体A和B组成的质点系受力：如图运动：A定轴转动，B平面运动方程：圆柱体B下落h时，系统的动能为例题7

动力学普遍定理的综合应用FOymgFOxmgwAwBvB重力做功为？？？由基点法，可知对O、C轮分别用动量矩定理和相对质心动量矩定理：例题7动力学普遍定理的综合应用FOymgFOxmgwAwBvBaAFTOAFOymgFOxF'TaBCDBmgaC？？？应用动能定理得上两式两边分别对时间求导，又因为从而得圆柱体B轮心C的加速度例题7

动力学普遍定理的综合应用FOymgFOxmgwAwBvBaC例题8均质杆长为l，质量为m1，B端靠在光滑墙上，A端用铰链与均质圆盘的质心相连。圆盘的质量为m2，半径为R，放在粗糙的地面上，自图示θ=45°时由静止开始纯滚动。试求：A点在初瞬时的加速度。例题8

动力学普遍定理的综合应用解：（分析：此题解法仍不唯一。本例中只有保守力作功，故机械能守恒，用机械能守恒定律求解。）对象：杆AB和圆盘A受力：两个物体所受重力如图运动：两者均作平面运动m2gm1g方程：考察初始位置和任意位置时的动能和势能例题8

动力学普遍定理的综合应用FNAFNBvBw2例题8

动力学普遍定理的综合应用m2gm1gFNAFNBvBw2例题8

取经过轮心A的水平线为零势位置，系统的势能为例题8

动力学普遍定理的综合应用m2gm1gFNAFNBvBw2零势点根据机械能守恒定律，有将上式对时间求一次导数于是，点A在初瞬时的加速度为注意到初瞬时

例题8

动力学普遍定理的综合应用m2gm1gFNAFNBvBw2零势点本章作业

P215：11－2P215－217：11－4，11－5，11－13，11－10谢谢大家NanjingUniversityofTechnology附录：

习题解答作业中存在的问题1、标注运动量。2、使用的理论要交待。BjA11－2图示滑块A重力为W1，可在滑道内滑动，与滑块A用铰链连接的是重力为W2、长为l的匀质杆AB。现已知道滑块沿滑道的速度为v1，杆AB的角速度为w1。当杆与铅垂线的夹角为j时，试求系统的动能。解：AB杆作平面运动，以A点为基点，质心C的速度为由余弦定理则系统的动能v1vCAvCv1wv1w1jBAl11－2附录：

习题解答11－4图示一重物A质量为m1，当其下降时，借一无重且不可伸长的绳索使滚子C沿水平轨道滚动而不滑动。绳索跨过一不计质量的定滑轮D并绕在滑轮B上。滑轮B的半径为R，与半径为r的滚子C固结，两者总质量为m2，其对O轴的回转半径为r。试求重物A的加速度。11－4附录：

习题解答解：对象：滚子C、滑轮D、物块A所组成的刚体系统；受力：做功的物块A重力如图所示；运动：如图；方程：设系统在物块下降任意距离h时的动能由运动学知识力作的功应用动能定理将上式对时间求导数求得物块的加速度为vAwCvCm1g化简，得

11－5附录：

习题解答11－5图示机构中，均质杆AB长为l，质量为2m，两端分别与质量均为m的滑块铰接，两光滑直槽相互垂直。设弹簧刚度为k，且当θ=0˚时，弹簧为原长。若机构在θ=60˚时无初速开始运动，试求当杆AB处于水平位置时的角速度和角加速度。其中：解：对象：系统；受力：略；运动：略；方程：vBvAC*wABmg化简，得

应用动能定理1211－5附录：

习题解答对（1）式求导：vBvAC*wABmg当杆处于水平位置时11－10附录：

习题解答11－10在图示机构中，鼓轮B质量为m，内、外半径分别为r和R，对转轴O的回转半径为r，其上绕有细绳，一端吊一质量为m的物块A，另一端与质量为M、半径为r的均质圆轮C相连，斜面倾角为j，绳的倾斜段与斜面平行。系统由静止开始随圆轮C的纯滚动向右滑落。试求：（1）鼓轮的角加速度a；（2）斜面的摩擦力及连接物块A的绳子的张力（表示为a的函数）。解：

（1）鼓轮的角加速度a。对象：系统；受力：如图；运动：如图；方程：

其中设物块A上升距离SA时，物块C沿斜面移动距离SC由动能定理，得vAwB