求此简谐振动的表达式教程文件

求此简谐振动的表达式一、简谐振动的描述6-1

简谐振动物体运动时，离开平衡位置的位移(或角位移)随时间按余弦或正弦函数变化.mxmx以弹簧振子为例mO1.

运动方程振幅A

物体离开平衡位置的最大距离,决定于初始条件.周期T

物体完成一次全振动所需时间.mxmx以弹簧振子为例mO频率

:单位时间内振动的次数.角频率相位t

:

决定某时刻的质点的运动状态初相位2.振动速度及加速度简谐振动的加速度和位移反向正比.3.振动初相及振幅由初始条件决定初始条件：当t=0时,x=x0

，v=v0代入得例如：v0=0,x0

=A

=0xmOAAk例1.

一质点沿x

轴作简谐振动，A=0.12m,T=2s,当t=0时,x0

=0.06m,此时刻质点向x

正向运动。求此简谐振动的表达式。解：取平衡位置为坐标原点,设简谐振动表达式为T=2s简谐振动的表达式为初始条件v0

0x0

=0.06A=0.12m二、简谐振动的旋转矢量表示法1.简谐振动与匀速圆周运动匀速圆周运动在x轴上的投影为简谐振动：2.简谐振动的旋转矢量表示法xO旋转矢量简谐振动矢量大小振幅矢量旋转角速度（恒定）角频率t=0时矢量与x轴夹角初相注意：旋转矢量本身绕起始端匀角速度逆时针旋转，其末端在x轴上的投影点才做简谐振动。3.两同频率简谐振动的相位差两个谐振动相位差对两同频率的谐振动=21初相差若=21>0,称x2比x1超前(或x1比x2落后)。当=0,两振动步调相同,称同相当=

,两振动步调相反,称反相OxA1A2OxA1A2OxA1A2用旋转矢量表示振动相位关系x2比x1超前/2同相反相x,v,aavx

TOtx,v,aO例：由旋转矢量确定简谐振动中位移与速度、位移与加速度的相位差。例2.

以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线如图所示，确定其振动方程.x(cm)Ot(s)12121x0Ot=0xAAt=1sA解:设振动方程为由旋转矢量确定振动初相位：当

t=0,旋转矢量以从t=0到t=1转过角度为三、简谐振动的动力学方程AAO

mk由振动方程令(回复力)反之，如质点所受的力则质点一定作简谐振动.或位移满足简谐振动微分方程简谐振动的定义运动学定义动力学定义或归纳与总结简谐振动的质点所受的合外力与它相对于平衡位置位移成正比而反向。固有角频率四、简谐振动实例1.弹簧振子选平衡位置为原点位移为x处，物体所受的的合外力满足简谐振动的动力学定义,物体一定作简谐振动.由牛顿第二定律角频率完全由振动系统本生的性质决定。固有周期固有频率振动方程AAO

mk2.单摆当

5时，摆球角位移为时受的合外力平衡位置：

=0.谐振动微分方程结论：单摆的小角度摆动是简谐振动。3.复摆绕不过质心的水平固定轴转动的刚体。令小幅摆动时角位移，回复力矩M=mghsinM=mgh由刚体的转动定律或谐振动微分方程结论：复摆的小角度摆动是简谐振动。

拓展与思考由能量守恒建立简谐振动微分方程xmOkx很小(5)，线性谐振动角谐振动简谐振动的判断及振动方程的确定归纳与总结0+mm悬线平衡位置固定端例如：对图示的扭摆，圆盘的转动惯量为J为扭转常数，取决于悬线的长度、直径及材料。例3.如图m=210-2kg,

弹簧的静止形变为l=9.8cm

t=0时,x09.8cm,v0=0(1)取开始振动时为计时零点，写出振动方程；(2)若取x0=0，v0>0为计时零点，写出振动方程,并计算振动频率。解：(1)确定平衡位置mg=kl

取为原点

k=mg/l

令向下有位移x,则f=mgk(l+x)=kx系统作谐振动，设振动方程为9.8cmmOxm由初始条件得由x0=Acos0=0.098<0cos0<0,取0=振动方程为：x=9.8102cos(10t+)

m(2)按题意t=0时x0=0，v0>0x0=Acos0=0,cos0=00=/2,3/2

v0=Asin>0,sin0<0,取0=3/2x=9.810-2cos(10t+3/2)m对同一谐振动取不同的计时起点不同，但、A不变固有频率9.8cmmOxm

x09.8cm,v0=0例4.

如图所示，振动系统由一倔强系数为k的轻弹簧、一半径为R、转动惯量为J的定滑轮和一质量为m的物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期T.解：将m的平衡位置取为坐标原点，设平衡位置对应的弹簧伸长量为l0

,则mxOR,Jk当m有位移x时联立得mxOR,Jkm物体作简谐振动谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep某一时刻，谐振子速度为v，位移为x谐振动的动能和势能是时间的周期性函数五、简谐振动的能量系统的机械能守恒xtotToEEk(t)Ep(t)振动能量曲线例5.一弹簧振子沿x轴作简谐振动，弹簧倔强系数为k，物体质量为m，简谐振动振幅为A。求弹簧振子的动能为势能的3倍时的位置x。解：另解：一、同方向、同频率谐振动的合成合振动是简谐振动,其频率仍为质点同时参与同方向同频率的谐振动:合振动:6-2简谐振动的合成x1x2

12xA1AA2如A1=A2,则A=0，两个同幅反相的振动合成的结果将使质点处于静止状态。合振动的振幅取得最大，两分振动相互加强。合振幅最小，两分振动相互减弱。两个重要特例若两分振动同相：若两分振动反相:合振动不是简谐振动式中随t缓变随t快变合振动可看作振幅缓变的简谐振动二.两个同方向频率相近简谐振动的合成拍分振动合振动当21时,拍

合振动忽强忽弱的现象拍频:单位时间内加强或减弱的次数

=|21|

xtx2tx1tBeatphenomenon拍的现象常被用于校正乐器。例如我们可以利用标准音叉来校准钢琴的频率：因为音调有微小差别就会出现拍音，调整到拍音消失，钢琴的一个键就被校准了。微波测速雷达：被测物体移动时，由于直达波和反射波混合的结果在接收检波器上混频出差拍信号，该差拍信号的频率和移动物体速度成线性关系。拍的应用三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成合振动分振动合振动质点的轨迹方程为椭圆方程.两相互垂直同频率不同相位差简谐振动的合成四、两个相互垂直不同频率的简谐振动的合成轨迹称为李萨如图形对于两个频率不相同的谐振动，其相位差不断地随时间变化，因而合振动不一定有稳定的轨迹。只有在两振动的频率成简单的整数比时，才有稳定的轨迹。李萨如图形解：(1)式中t以秒计，x以厘米计。(1)求x1和x2合振动的振幅和初相位。(2)如果x1和x3合成振幅最大，则3取何值？如果x2和x3合成振幅最小，则3取何值？例6.三个同方向的简谐振动分别为式中t以秒计，x以厘米计。(1)求x1和x2合振动的振幅和初相位。(2)如果x1和x3合成振幅最大，则3取何值？如果x2和x3合成振幅最小，则3取何值？例6.三个同方向的简谐振动分别为解：(2)x1和x3合成振幅最大,x1和x3同相x2和x3合成振幅最小,x1和x3反相一、阻尼振动阻尼振动能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。摩擦阻尼：系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系统的动能转化为热能。辐射阻尼：振动以波的形式向外传波，使振动能量向周围辐射出去。6-3阻尼振动受迫振动和共振固定端

m叶片

阻尼系数

kx物体以不大的速率在粘性介质中运动时,介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比

阻尼系数由牛顿第二定律，得l0=mg/k

系统固有角频率阻尼因子弱阻尼阻尼振动的振幅按指数衰减过阻尼过阻尼系统不作往复运动，而是非常缓慢地回到平衡位置临界阻尼系统不作往复运动，而是较快地回到平衡位置并停下来ACBtx(t)

tx(t)bc

atx0阻尼振动的应用在实际生产和生活中，常根据不同的要求，通过不同的方法来控制阻尼的大小。例如，各种机器，为了减震、防震，都要加大摩擦阻尼。各种声源、乐器，总希望它能辐射足够大的声能，就需要加大其辐射阻尼，各种乐器上的空气箱就起这种作用。在灵敏电流计中，为了尽快地、较准确地进行读数测量，常使电流计的偏转系统处于临界阻尼状态下工作。因为临界阻尼与过阻尼和弱阻尼状态相比，振动物体回到平衡位置的时间最短。二、受迫振动受迫振动：振动系统在周期性外力作用下的振动。这种周期性的外力称为驱动力。系统在弹性力、阻力和驱动力的作用下，其运动方程为令受迫振动的微分方程

mkxO=/2阻尼振动在阻尼较小的情况下的通解经过一段时间后，减幅振动可以忽略不计。系统达到稳定状态后的振动为一稳定的等幅振动。受迫振动的稳定状态为受迫振动微分方程AOxt(1)角频率:等于驱动力的角频率(3)初相:特点:稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化。(2)振幅:受迫振动振幅的大小，不决定于系统的初始条件，而与振动系统的性质(固有角频率、质量)、阻尼的大小和驱动力的特征有关。讨论受迫振动的稳态解最大振幅为如0

，r=0,即驱动力的角频率等于振动系统的固有角频率时，振幅达到最大值。这种现象叫共振。三、共振受迫振动的振幅与驱动力的角频率有关。令dA/d=0，可得与振幅极大值对应的角频率为A0在共振时，=0共振原因的进一步分析受迫振动的振动方程初相则

=/2振动速度，这说明，振动速度和驱动力同相(F=Acost)，因而，驱动力总是对系统做正功，系统能最大限度地从外界得到能量。这就是共振使振幅最大的原因。驱动力受迫振动的微分方程共振的利与弊共振现象在实际中有着广泛的应用：钢琴、小提琴等乐器的木制琴身，利用共振现象使其成为了一共鸣盒，以提高音响效果；收音机的调谐装置也利用了共振现象（电磁共振）选台；原子核内的核磁共振用来进行物质结构的研究及医疗诊断等。共振的利与弊共振现象也有其危害性：例如，共振时振动系统的振幅过大，建筑物、机器设备等就会受到严重的损坏；汽车行驶时，若发动机运转的频率接近车身的固有频率，车身也会产生强烈的共振而受到损坏。18世纪中叶，一队拿破仑士兵在指挥官的口令下，迈着威武雄壮、整齐划一的步伐，通过法国昂热市一座大桥，快走到桥中间时，桥梁突然发生强烈的颤动并且最终断裂坍塌，造成许多官兵和市民落入水中丧生。造成这次惨剧的罪魁祸首，正是共振！因为大队士兵齐步走时，产生的一种频率正好与大桥的固有频率一致，使桥的振动加强，当它的振幅达到最大限度直至超过桥梁的抗压力时，桥就断裂了。共振的利与弊声音杀人