上海交通大学大学物理课件 5 动量与角动量

1第

4章动量和角动量第

4章动量和角动量§4.1动量定理动量守恒定律§4.2质心质心运动定理§4.3碰撞问题§4.6质点的角动量角动量守恒定律§4.4火箭飞行基本原理§4.7质点系的角动量与角动量守恒定律§4.5相对论能量和动量3一、动量与冲量单位：kg·m·s-1

冲量是反映力对时间的累积效应的物理量。冲量（impulseofforce)

：作用力与作用时间的乘积。恒力的冲量：变力的冲量：单位：N·s牛顿第二定律：动量：§4.1

动量定理动量守恒定律4二、质点动量定理由牛顿运动定律：如果力的作用时间从，质点动量从则：质点动量定理：质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动量的增量。动量定理的微分式：5说明(1)冲量的方向是所有元冲量的合矢量的方向。动量定理反映了力在时间上的累积作用对质点产生的效果。逆风行舟的分析：6(2)

动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合矢量叠加原理。或以分量形式进行计算。7(3)

冲击、

碰撞问题中估算平均冲力。(4)适用于惯性系。在非惯性系中，需要添加惯性力的冲量后才成立。F(t)Ft8Example.Supposeaping-pongballandabowlingballarerollingtowardyou.Bothhavethesamemomentum,andyouexertthesameforcetostopeach.Howdothetimeintervalstostopthemcompare?1.Ittakeslesstimetostoptheping-pongball.2.Bothtakethesametime.3.Ittakesmoretimetostoptheping-pongball.Answer:2.9Example.

Supposeaping-pongballandabowlingballarerollingtowardyou.Bothhavethesamemomentum,andyouexertthesameforcetostopeach.Howdothedistancesneededtostopthemcompare?Ittakesashorterdistancetostoptheping-pongball.Bothtakethesamedistance.3.takesalongerdistancetostoptheping-pongball.Answer:3.10解：(1)根据动量定理：30047t(s)F(N)[例4-1]m=10千克木箱，在水平拉力作用下由静止开始运动，拉力随时间变化如图。已知木箱与地面摩擦系数为=0.2，求：(1)t=4秒时刻木箱速度；(2)t=7秒时刻木箱速度；(3)t=6秒时刻木箱速度。m1130047t(s)F(N)(3)12例题质量m=0.3t的重锤，从高度h=1.5m处自由落到受锻压的工件上，工件发生形变。如果作用的时间(1)=0.1s，(2)=0.01s。试求锤对工件的平均冲力。h以重锤为研究对象，分析受力，作受力图。解：

研究锤对工件的作用过程，在竖直方向利用动量定理，取竖直向上为正。13[例4-2]质量为m的行李，垂直地轻放在传送带上，传送带的速率为v

，它与行李间的摩擦系数为μ，试计算：(1)行李将在传送带上滑动多长时间?(2)行李在这段时间内运动多远?(3)有多少能量被摩擦所耗费?(1)以地面为参照系(2)由质点动能定理解:(或：)mxOv14mxOv(3)被摩擦损耗的能量等于一对摩擦力做的功以传送带为参考系：15作业:P1424-1，4-2，4-4,4-616三、质点系的动量定理设有N个质点构成一个系统，末速度。第i个质点：外力，内力，初速度，质量由质点动量定理：其中：m2m1i17质点系的动量定理：微分式：质点系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。18四、动量守恒定律系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。当时，常矢量。(2)当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统的总动量守恒。（如：碰撞、打击等）(1)动量守恒是指系统动量总和不变，但系统内各个质点的动量可以变化,通过内力进行传递和交换。说明19(3)

各分量守恒具有独立性。分量式：(4)

定律不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域。如图所示，水平路面上有一质量m1=5kg的无动力小车以匀速率v0=2m／s运动。小车由不可伸长的轻绳与另【例4-1】

解得小车、车厢和物体的共同速度为将小车、车厢和物体看成一个系统，利用动量守恒,有因最大静摩擦力不是足够大，绳子绷紧过程的时间很短，所以可认为绳子绷紧时m3仍然静止，即绳子绷紧过程仅使小车和车厢获得共同速度（绳未断）的过程，这个过程动量守恒，故有一质量m2=25kg的车厢连接，车厢前端有一质量m3=20kg的物体，物体与车厢间摩擦系数m=0.2。开始时车厢静止，绳未拉紧。求：(1)当小车、车厢、物体以共同速度运动时，物体相对车厢的位移；(2)从绳绷紧到三者达到共同速度所需时间(车与路面间摩擦不计，取g=10m/s2）。则绳子绷紧时小车和车厢的共同速度为分析：绳绷紧过程，车、厢同速，物仍静止但加速度不为零绳绷紧后过程，车、厢减速，物加速，最终三者同速20如图所示，水平路面上有一质量m1=5kg的无动力小车以匀速率v0=2m／s运动。小车由不可伸长的轻绳与另【例4-1】

解(1)小车、车厢和物体的共同速度为设绳子绷紧后m3相对车厢发生了位移s，则就此过程运用功能原理，有得物体相对车厢的位移一质量m2=25kg的车厢连接，车厢前端有一质量m3=20kg的物体，物体与车厢间摩擦系数m=0.2。开始时车厢静止，绳未拉紧。求：(1)当小车、车厢、物体以共同速度运动时，物体相对车厢的位移；(2)从绳绷紧到三者达到共同速度所需时间(车与路面间摩擦不计，取g=10m/s2）。则绳子绷紧时小车和车厢的共同速度为(2)对m3运用动量定理，有从绳绷紧到三者达到共同速度所需时间为2122[例4-3]

已知高H，傾角为的斜面光滑。小车质量

M，从顶端滑至中点时刚好有一钢球

m

从

h高度掉入。求小车到达底部时的速度V

?解：斜面方向动量守恒!m、M

系统，冲击过程HhmM(M+m)gN23冲击过程后，m、M、地球系统机械能守恒：解得：24θ[例4-4]

炮车的质量为M，炮弹的质量为m。若炮车与地面有摩擦，摩擦系数为μ

,炮弹相对炮身的速度为u，求炮身相对地面的反冲速度

v

。解：选取炮车和炮弹组成系统运用质点系的动量定理：x方向：内、外力分析。水平的动量守恒吗？y方向：xy25θ26讨论：1.若炮车与地面没有摩擦2.若炮车与地面有摩擦，但水平发射炮弹3.自锁现象，即v=0时END27§4.2

质心质心运动定理一、质心

质心是与质量分布有关的一个代表点，它的位置在平均意义上代表着质量分布的中心。28质心的位矢：分量式：质量连续分布的物体：xyzOc29分量式：质量线分布：质量面分布：质量体分布：30[例4-5]

求半圆环的质心。

质心不一定位于物体内部。解：RxyOdlc31二、质心运动定理为质点系的动量零动量系质心坐标系：由质心位矢公式：32由质点系动量定理：质心运动定理：

质心的运动等同于一个质点的运动，这个质点具有质点系的总质量，它受到的外力为质点系所受的所有外力的矢量和。微分形式：331.适用于惯性系。质心系是惯性系，质心系是非惯性系。2.3.动量守恒、功能原理、角动量定理在质心系中成立。4.质点系相对惯性系的运动可分解成：

随质心的运动+相对质心的运动。资用能说明质点系在实验室系的总动能：

34上次课主要内容

质点动量定理

质点系的动量定理

动量守恒定律当时，常矢量。

质心的位矢

质心运动定理35[例4-6]

三棱体C、滑块A、B，各面均光滑。已知mC=4mA=16mB,=300，=600。求A下降h=10cm时三棱体C

在水平方向的位移。解：法一）水平方向无外力,质心水平位置不变。ABCαβh设三棱体位移为：x36法二）水平方向无外力,系统水平动量守恒。ABCαβhxvA'vB'37[例4-7]

质量为M的人，手里拿着质量为m的物体，此人用与地平线成的速度v0向前跳去，当他到达最高点时，把物体以相对于自己以速度u向后抛出，问由于物体的抛出，他跳过的距离与不抛物体时相比可增加多少？人不向后抛出物体，所跳过的距离：[解法一]取地面坐标系，用动量守恒定律求解。人在最高点向后抛出物体的过程中，应用动量守恒定律：mMαRR+ΔRxyO38抛出物体后人的速度：比不抛出物体时速度增加了：抛出物体后多跳过的距离：39[解法二]质心坐标系中应用动量守恒定律。在下落时间过程中，人相对于质心运动的距离，即为人比不抛出物体时多跳过的距离:mMαRR+ΔRxyO40[解法三]应用质心运动定律求解。人以相对于自己速度u抛出物体m，下落后，人M与物体m之间的距离：联立方程后，可得落地时人离质心距离为：ENDmMαRR+ΔRxyO41

作业:P1434-6,4-7,4-8,4-10,4-1142一、碰撞过程1.压缩阶段2.恢复阶段§4.3

碰撞问题微观粒子：碰撞散射

弹性碰撞：碰撞后物体的形变可以完全恢复，且碰撞前后系统的总机械能守恒。

非弹性碰撞：碰撞后物体的形变只有部分恢复，系统有部分机械能损失。

完全非弹性碰撞：碰撞后物体的形变完全不能恢复，两物体合为一体一起运动。系统有机械能损失。43(1)

弹性碰撞v2v1v20v10动量守恒：动能守恒：441.当m1=m2时，则:讨论

在一维弹性碰撞中,质量相等的两个质点在碰撞中交换彼此的速度。2.若v20=0，且m2>>m1，则:质量很小的质点与质量很大的静止质点碰撞后，调转运动方向，而质量很大的质点几乎保持不动。3.若v20=0，且m2<<m1，则:质量很大的入射质点与质量很小的静止质点碰撞后速度几乎不变，但质量很小的质点却以近两倍的速度运动起来。

45(2)

完全非弹性碰撞动量守恒：机械能损失：vv20v1046动量守恒：(3)

非弹性碰撞：碰撞定律：

碰撞后两球的分离速度(v2-v1)与碰撞前两球的接近速度(v10-v20)成正比。比值由两球的质料决定。——恢复系数v2v1v20v1047碰后两球的速度：机械能损失：完全非弹性碰撞：e=0v2=v1非弹性碰撞：0<e<1

弹性碰撞：e=1

（v2-v1）=（v10-v20）48[例]

一质量为M千克的木块，系在一固定于墙壁的弹簧的末端，静止在光滑水平面上，弹簧的劲度系数为k。一质量为m的子弹射入木块后，弹簧长度被压缩了L。(1)求子弹的速度；(2)若子弹射入木块的深度为S，求子弹所受的平均阻力。解：分析，碰撞过程中子弹和木块动量守恒，碰撞结束后系统机械能守恒。（忽略碰撞过程弹簧的压缩）（1）相碰后，压缩前：压缩了L时，有：（2）由功能原理：49[例4-8]

已知板M，l；小球m,v0,h。弹簧

k，桌面光滑，掉下时与板为弹性碰撞。求(1)弹簧最大压缩量，(2)若只发生一次碰撞，则v0应满足什么条件？解：（1）碰撞时（y方向碰撞）,小球速度为：弹性碰撞：hlmv0kxy50解得：碰后，板、弹簧、地球系统：得：51(2)小球从桌面下落至板上经历的时间：球要与板发生碰撞，首先须满足条件1：一次碰撞后，小球弹起再落回原碰撞处经历的时间：hlmv0k52得：设平板质量很大，碰后弹簧的压缩量<<h，即假定小球落回原碰撞处时板也位于同一高度处，则小球只与板发生一次碰撞须满足的条件2：53[例4-9]

光滑桌面上，质量为m1的小球以速度u

碰在质量为m2的静止小球上，u

与两球的连心线成θ

角(称为斜碰)。设两球表面光滑，它们相互撞击力的方向沿着两球的连心线，已知恢复系数为e，求碰撞后两球的速度。x、y方向动量分别守恒：解：oyx设碰后两球速度分别为v1、v2

，方向如图。恢复系数：oyx54讨论：两个质量相等的小球发生弹性斜碰：

m1=m2,e=1时，联立三个方程后求解，得：55解：(1)A球所受合外力的冲量[例4-10]光滑球盘上有两只光滑弹性小球A和B，质量均为m，半径为R，B球静止在盘壁边，A球以m/s的速度斜射至(-R，R)处与盘壁和B球同时碰撞,碰撞后，若A球的速度为，求:(1)A球所受合外力的冲量。(2)A，B组成的系统所受的合外力的冲量。(3)球与壁之间的恢复系数。(2)A，B系统所受合外力的冲量(3)球与壁之间的恢复系数xyAB56[例4-11]

如图所示，一个质量为m的小球以入射角与一粗糙的表面发生斜碰。已知小球与表面的摩擦系数为，恢复系数为e，求碰撞后小球的速度大小与方向。考虑小球，碰撞过程，忽略重力由动量定理：x：y：解：恢复系数：v0,θx0yEND57Example.

Ifallthreecollisionsinthefigureshownherearetotallyinelastic,whichbring(s)thecaronthelefttoahalt?1.I2.II3.III4.I,II5.I,III6.II,III7.allthreeAnswer:7.58Example.Ifallthreecollisionsinthefigureshownaretotallyinelastic,whichcause(s)themostdamage?1.I2.II3.III4.I,II5.I,III6.II,III7.allthreeAnswer:3.59上次课主要内容

质心的位矢

质心运动定理

碰撞过程动量守恒恢复系数:60一、火箭推力喷气的动量变化：喷气受力：4.4

火箭飞行基本原理设t

时刻，火箭质量为

m1，速度为v(向上)，在

dt内，喷出气体dm2，喷气相对火箭的速度(称喷气速度)为u(向下)。由动量定理：箭体受到喷气的推力：t+dtv+dvuzotv61二、箭体运动方程对箭体和喷气组成的系统(设受外力F)：t+dtv+dvuzotv62箭体运动方程可适用于所有质量流动物体的动力学问题。时，加速上升。

注意：dm1可正可负，当dm1取负时，表明物体质量减小。63三、火箭的速度公式只计重力：设t=0

时，v=0，m1=m10

，任一时刻

t时为

v

和

m1。64目前技术：u~4000

m/s，m10

/m1min~15，v=10.8

km/s。

提高火箭速度的途径：当v0=0，u=2000

m/s时，要达到第一宇宙速度v=v1=7.9

km/s，须有：讨论不计重力：——齐奥尔科夫斯基公式65

如美国发射“阿波罗”登月飞船的“土星五号”运载火箭，N1

＝16，u1=2.9km/s，N2=14，

N3=12，u2，3=4km/s，则有：v=28.5

km/s，考虑重力和阻力后仍大于第二宇宙速度，足够完成登月。

最终速度：采用多级火箭技术：（设N1、N2

、N3

…为各级火箭的质量比）66END“神州五号”运载火箭长征2号F(CZ-2F)67

作业:P1444-13,

4-14，4-17，4-18，4-19§4-5相对论的能量和动量一、相对论的动量和质量动量的定义：持续作用持续增加随速率增大而增大要求

但的上限是大量实验证实1901年，W.Kaufmann就已经从放射性镭放出的高速电子流（射线）实验中发现了电子质量随速度增大而增大的现象。经典力学中被认为是常量与参考系无关xyBv2(v2’)x’y’AxyBv1x’y’AS系动量守恒：S’系动量守恒：(假设总质量守恒)假想实验：两完全相同的小球A和B发生完全非弹性碰撞.静止质量均为m0.A静止于S’系，B静止于S系。由速度变换式：代入两边除以v2:代入v=0

时，m=m0

为物体的静止质量v<<c时，与牛顿力学一致

质速关系反映了物质与运动的不可分割性.相对论的质量：宏观物体，v一般不太大，质量变化也很小，如：火箭v=11km/s时，m=1.0000000009m0由于空间的各向同性，m(v)与速度方向无关！对微观粒子，由加速器加速后，对光子，，其静质量为:,否则.显然，相对论的动量为：二、相对论的动力学方程相对论的动力学方程：与牛顿力学方程形式不同。

由牛顿力学，只要若力的作用时间充分长,物体的速度将无限增大,使。而按相对论力学，即使力的作用充分长，速度v会增大，但m也随之增大，因此其速度不可能无限增大,而有一极限速度c.讨论：例、有一静止质量为mo，带电量为q的粒子，其初速度为零，在均匀电场E中加速。在时刻t

时它所获得的速度是多少？如不考虑相对论效应，它的速度又是多少？这两速度之间有什么关系？解：不考虑相对论效应：三、相对论动能质点从静止开始，通过力作功，使动能增加。代入动能式：相对论动能：

讨论:得到牛顿力学的动能公式。相对论总能量：（质能关系）相对论静能：四、相对论的静能总能质能关系相对论动能：讨论1.表明相对论质量是能量的量度.

质量亏损以辐射形式释放能量,称结合能.2.对复合粒子系统:Ek指系统随质心平动的动能,一般,称质量亏损.核能的利用:重核裂变或轻核聚变,恒星的能量来源.如：应用：原子弹、核电站应用：核聚变是太阳等恒星的能量来源、氢弹氢弹反应式：实现可控热核反应的条件：(1)足够高的温度，使氘核离化成等离子体，能克服库仑势垒。(2)足够高的等离子体密度，以保证足够高的碰撞频率。(3)足够长的约束时间，以保证核聚变反应有效进行。用什么容器来盛装上亿摄氏度的等离子体？Tokamak托卡马克1967年6月17日，我国成功地进行了第一颗氢弹爆炸试验。五、动量和能量的关系动量和能量关系式：光子：光子能量：光子动量：又计算核聚变中释放出的能量：质子+中子=〉氘核氘核质量：质子质量：中子质量：2克氘核（1摩尔）：6.0221023个氘核释放能量：例:太阳由于热核反应而辐射能量→质量亏损例:

两全同粒子以相同的速率v相向运动，碰后复合,求：复合粒子的速度和质量.解：设复合粒子质量为M,速度为碰撞过程，动量守恒：能量守恒：>损失的动能转换成静能即例、一个中性介子相对于观察者以速度v=kc

运动，以后衰变为两个光子，两光子的运动轨迹与介子原来的方向成相等的角度.试证明（1）两光子有相等的能量。（2）cos=k.证：v12动量守恒：能量守恒：竖直方向：水平方向：92

作业:P1464-20,

4-21，4-22，4-23，4-2593一、角动量（动量矩）大小：O4.6

质点的角动量角动量守恒定律引入质点关于参考点o的角动量：

由于动量不能描述转动问题。Ommrr94分量式：

即质点关于三个坐标轴的角动量。95合力对参考点O的力矩：二