2022-2023学年山西省晋城市校高二年级上册学期11月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年山西省晋城市第一中学校高二上学期11月月考数学试题一、单选题1．401是等差数列5，9，，的第项．（

）A．98 B．99 C．100 D．101【答案】C【分析】根据等差数列定义和通项公式即可.【详解】等差数列5，9，13，…中，首项，公差，，，故401是等差数列5，9，13…的第100项．故选：C.2．准线为的抛物线标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先分析抛物线的焦点位置，进而可得，求出的值，进而可得答案．【详解】解：根据题意，若抛物线的准线为，则抛物线的焦点在轴正半轴轴上，设抛物线方程为，则，故，则抛物线的标准方程为，故选：A．3．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设，则的值为（

）A．1 B．0 C．-1 D．-2【答案】B【分析】由正方体的性质可知两两垂直，从而对化简可得答案【详解】由题意可得,所以，所以，所以，故选：B4．《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（

）A．10 B．14 C．23 D．26【答案】D【分析】设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次构成等差数列，根据，前5项和为100求解.【详解】解：设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次排成一列，构成数列．由题意可知，等差数列中，前5项和为100，设公差为，前项和为，则，解得，所以，所以公士出的钱数为，故选：D．5．设为等差数列{an}的前n项和，若，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等差数列求和公式和等差数列性质，求出，原式转化为，利用诱导公式即可求解.【详解】因为，所以，所以，故选：C.6．已知直线与椭圆相交于、两点，若线段的中点纵坐标为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】联立直线与椭圆方程得，整理得，设、，利用韦达定理和中点坐标公式，即可得出答案．【详解】解：联立直线与椭圆方程得，整理得，设、，则线段的中点纵坐标为，解得，故选：D.7．如图，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成角为的平面所截，截面是一个椭圆，当为时，这个椭圆的离心率为A． B． C． D．【答案】A【详解】由椭圆的性质得，椭圆的短半轴，因为截面与底面所成角为，所以椭圆的长轴长，得所以椭圆的离心率故选【解析】椭圆的几何性质.8．已知函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y＝f（x﹣2）的图象关于x＝1对称，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且，则{an}的前100项的和为（）A．﹣200 B．﹣100 C．0 D．﹣50【答案】B【分析】由函数y＝f（x﹣2）的图象关于x＝1轴对称，平移可得y＝f（x）的图象关于x＝﹣1对称，由题意可得a50+a51＝﹣2，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和．【详解】解：函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调，且函数y＝f（x﹣2）的图象关于x＝1对称，可得y＝f（x）的图象关于x＝﹣1对称，由数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a50）＝f（a51），可得a50+a51＝﹣2，又{an}是等差数列，所以a1+a100＝a50+a51＝﹣2，则{an}的前100项的和为100故选B．【点睛】本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及求和公式，考查运算能力，属于中档题．二、多选题9．以下四个命题表述正确的是（

）A．直线恒过定点B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1C．曲线与曲线恰有三条公切线，则D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，其中、为切点，则直线经过定点【答案】BCD【分析】利用直线系方程求解直线所过定点判断A；求出圆心到直线的距离，结合圆的半径判断B；由圆心距等于半径和列式求得判断C；求出两圆公共弦所在直线方程，再由直线系方程求得直线所过点的坐标判断D．【详解】由，得，联立，解得，直线恒过定点，故A错误；圆心到直线的距离等于1，直线与圆相交，而圆的半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线的距离等于1，故B正确；两圆有三条公切线，则两圆外切，曲线化为标准式，曲线化为标准式，圆心距为，解得，故C正确；设点的坐标为，，以为直径的圆的方程为，两圆的方程作差得直线的方程为：，消去得，，令，，解得，，故直线经过定点，，故D正确．故选：BCD10．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（

）A．若，则是等差数列；B．若是等差数列，则三点、、共线；C．若是等差数列，且，，则数列的前项和有最小值；D．若等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项的和与奇数项的和之比为32：27，则公差为5．【答案】BCD【分析】A选项利用求出即可判断；B选项根据等差数列前项和公式对点坐标进行处理，同时利用斜率相等证明共线；C选项利用等差数列的性质求出公差，再结合首项和公差的正负判断有无最小值；D选项根据偶数项和奇数项的比值求出偶数项和奇数项的和，从而作差求出公差.【详解】A选项：，当时，，不符合，所以，故A错；B选项：因为为等差数列，所以，，，，因为，，所以三点共线，B正确；C选项：因为，，所以，，因为，，所以有最小值，当时取最小值，故C正确；D选项：因为，前12项里偶数项和奇数项的和的比为32:27，所以偶数项和为192，奇数项和为162，偶数项和-奇数项和==30，所以公差为5，D正确.故选：BCD.11．已知数列的前项和为，下列说法正确的是（

）A．若，则B．若数列为等差数列，为数列的前项和，已知，，则C．若，则数列的前项和为D．若数列为等差数列，且，，则当时，的最大值为【答案】BC【分析】对于A，时，，即可判断出正误；对于B，由数列为等差数列，可得，，，成等差数列，解得，即可判断出正误；对于C，，，可得出数列的前项和，即可判断出正误；对于D，由数列为等差数列，且，，可得，，利用求和公式及其性质即可判断出正误．【详解】解：时，，因此不正确；B.由数列为等差数列，则，，，成等差数列，，解得，因此正确；C.，，数列的前项和为，因此正确；D.数列为等差数列，且，，，即，，则，，当时，的最大值为，因此不正确．故选：BC．12．如图1，曲线C：为四叶玫瑰线，它是一个几何亏格为零的代数曲线，这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用.如图2，苜蓿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆驶入环道后再自右侧切向汇入主路，四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状给出下列结论正确的是（）A．曲线C只有两条对称轴B．曲线C仅经过1个整点（即横、纵坐标均为整数的点）C．曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2D．过曲线C上的任一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为2【答案】BCD【分析】对于A，由图象可得答案，对于B，由图象结合曲线方程判断即可，对于C，由曲线方程结合基本不等式可判断，对于D，利用基本不等式判断【详解】因为曲线上任一点，关于轴的对称点满足曲线方程，关于轴的对称点满足曲线方程，关于直线的对称点满足曲线方程，关于直线的对称点满足曲线方程，所以可知曲线有4条对称轴，所以A错误，由，得，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2，所以C正确，由图可知将第一象内的整数点分别代入曲线方程中，等号不成立，所以曲线在第一象限不经过整数点，由对称性可知曲线只经过原点，所以曲线C仅经过1个整点，所以B正确，由曲线的对称性，在第一象限内的曲线上任取一点，则过这一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积为，当且仅当时等号成立，所以所围成的矩形的面积的最大值为2，所以D正确，故选：BCD三、填空题13．已知等差数列的首项为2，公差为8，在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列，数列的通项公式__________.【答案】，【分析】等差数列满足为，，故可以求得的首项与公差，从而可以写出的通项公式.【详解】设数列的公差为由题意可知，，，于是因为，所以，所以所以故答案为：，14．若数列第二项起，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为二阶等差数列，已知数列是一个二阶等差数列，且，，，则_______________．【答案】【分析】利用已知条件求出二阶等差数列的首项和公差，再求出二阶等差数列的通项公式，最后利用累加法即可得到数列的通项公式.【详解】，，且数列是一个二阶等差数列，

由累加法得．而a1=3也符合，故答案为：15．如图，已知点F为抛物线的焦点过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，点D为准线l与x轴的交点，则的面积S的取值范围为______．【答案】【分析】设坐标和直线AB的方程，让直线AB方程与抛物线进行联立可得，，接着利用弦长公式求出，再求出点到直线AB的距离，最后利用三角形的面积公式即可求出答案【详解】由抛物线可得焦点，准线方程为，，设，，直线AB的方程为，由，可得，则，，所以，直线AB的一般方程为，点到直线AB的距离，所以，所以的面积S的取值范围为，故答案为：16．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为______．【答案】##【分析】根据阅读材料可得平面的一个法向量，再在两平面的交线上取两个点，从而得交线的方向向量，由此利用向量夹角余弦的坐标表示即可得解．【详解】因为平面的方程为，所以平面的一个法向量，又直线：上有两个点，，所以直线的方向向量为，所以直线与平面所成角的正弦值为．故答案为：．四、解答题17．在锐角中，，，分别为角，，所对的边且.(1)确定角的大小；(2)若且的面积为，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理边化角，即可求解；（2）由面积公式和余弦定理列方程可得.【详解】（1）由，结合正弦定理可得，，，因为为锐角三角形，所以.（2）因为的面积，所以解得.由余弦定理可得，所以，解得.18．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值．【答案】(1)；(2)7.【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，设等差数列的公差为，从而有：，，从而：，由于公差不为零，故：，数列的通项公式为：.(2)由数列的通项公式可得：，则：，则不等式即：，整理可得：，解得：或，又为正整数，故的最小值为.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.19．已知数列的前项和为，，且，，求的值，并证明：数列是一个常数列.【答案】，证明见解析．【分析】根据给定的递推公式求出，再结合“”推理计算作答.【详解】因为，且，，则，解得，由，有当时，，两式相减得：，化简整理得，而，因此，，所以数列是一个常数列．20．已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题意可得当时与已知条件两式相减，即可得，再检验是否满足即可.（2）由等差数列前项和公式求出，由不等式分离出，转化为最值问题，再利用基本不等式求最值即可求解.【详解】（1）因为，所以两式相减可得：所以，当时，满足，所以，（2），由可得：，所以，令，只需.，当且仅当即时等号成立，此时，所以，所以实数的取值范围为.21．如图，在四棱锥P−ABCD中，ADBC，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为.(1)在平面PAB内是否存在一点M，使得直线CM平面PBE，如果存在，请确定点M的位置，如果不存在，请说明理由；(2)若二面角P−CD−A的大小为，求P到直线CE的距离.【答案】(1)存在，在平面内可以找到一点，使得直线CM平面PBE(2)【分析】（1）先判断存在符合题意的点，再通过作辅助线找到该点，证明平面即可；（2）建立空间直角坐标系，通过已知的二面角度数，找到线段之间关系，从而确定相关点的坐标，然后利用向量的运算求得答案.【详解】（1）延长交直线于点，点为的中点，，，，即，四边形为平行四边形，即.，平面平面，平面，平面，平面，故在平面内可以找到一点，使得直线平面.（2）如图所示，，即，且异面直线与所成的角为，即，又平面平面.平面，又平面，平面，平面.因此是二面角的平面角，大小为..因为.以A为坐标原点，平行于的直线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，方向上的单