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文档简介
2022-2023学年安徽省池州市青阳县第一中学高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题1.直线的倾斜角为(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】由直线方程得直线斜率,再由斜率得倾斜角.【详解】由已知直线的斜率为,所以其倾斜角为.故选:C.2.在四面体O-ABC中,G是底面△ABC的重心,且=x+y+z,则log3|xyz|等于(
)A.-3 B.-1C.1 D.3【答案】A【分析】连接AG,利用空间向量的加法和减法,用,,表示向量,再根据=x+y+z,求得x,y,z即可.【详解】如图所示:连接AG,则,,所以,所以,故选:A3.若方程表示一个圆,则m的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】运用配方法,结合圆的标准方程的特征进行求解即可.【详解】由,得,则.故选:A4.直线y=kx-k+1与椭圆的位置关系为(
)A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定【答案】A【分析】先求得直线的恒过的点,求得该点与椭圆的位置关系,可得选项.【详解】直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),又,所以点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.故选:A.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系,关键得出直线的恒过点,是比较巧的方法,属于基础题.5.已知两点A(-2,4),B(2,3),过点P(1,0)的直线与线段AB有公共点,则直线斜率的取值范围是(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】根据直线的斜率,利用数形结合法求解.【详解】如图所示:由图象知:过点P(1,0)的直线为直线PA,PB之间任意一条直线,而,因为直线与线段AB有公共点,所以或,故选:D6.在正方体中,棱的中点分别为,则直线与所成角的正弦值为(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】以D为坐标原点,DA,DC,、分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,利用空间向量的数量积即可求解.【详解】设正方体的棱长为2,以D为坐标原点,DA,DC,、分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则,,,,则,,设直线EF与的所成角为,则,∴.故选:B7.,,为直角三角形的三边长,且为斜边,点在直线上,则最小值是(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】利用的几何意义和点到直线的距离公式可得正确的选项.【详解】因为a、b、c为直角三角形的三边长,且c为斜边,所以,因为点在直线上,表示原点到点的距离,所以当原点到点的线段与直线垂直时,最小,因为原点到直线的距离为,所以最小值为.故选:A.8.已知为坐标原点,、分别是椭圆的左、右顶点,是椭圆上不同于、的动点,直线、分别与轴交于点、.则(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】设动点,,由椭圆方程可得、的坐标,求出,所在直线方程,可得与的坐标,求得,再由动点在椭圆上,得,则的值可求.【详解】设动点,,由椭圆方程可得,,则,,所以直线的方程为,直线的方程为,由此可得,,所以.因为动点在椭圆上,所以,所以,则.故选:B.二、多选题9.下列说法中正确的是(
)A.平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量B.一个平面的所有法向量互相平行C.如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也垂直D.如果向量、与平面共面,且向量满足,,那么就是平面的一个法向量【答案】ABC【分析】根据法向量的定义可判断A、B选项的正误;利用空间中平面与平面的位置关系与法向量之间的关系可判断C选项的正误;根据线面垂直的判定定理可判断D选项的正误.【详解】对于A选项,由法向量的定义可知,平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量,A选项正确;对于B选项,一个平面的所有法向量互相平行,B选项正确;对于C选项,由空间中平面与平面的位置关系与法向量之间的关系可知,如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也垂直,C选项正确;对于D选项,只有当、不共线时,才能得出结论,依据是线面垂直的判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直,D选项错误.故选:ABC.【点睛】本题考查平面法向量定义的应用,同时也考查了平面间的位置关系与法向量之间的关系,考查推理能力,属于基础题.10.下列说法正确的是(
)A.若直线与直线互相垂直,则B.直线必过定点C.直线在y轴上的截距为-2D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为【答案】BC【分析】对于A选项,根据两条直线垂直的判定条件求解参数即可;对于B选项,将直线整理为,即可求出直线所过定点;对于C选项,令即可求出直线在轴上的截距;对于D选项,根据已知条件求解直线方程即可判断正误.【详解】对A:,解得或,A不正确;对B:直线可整理为,因此直线必过定点,即B正确;对C:直线在y轴上的截距,令,得,所以直线在y轴上的截距为-2,所以C正确.对D:当直线经过原点时,设直线为,代入点求得,即直线方程为,当直线不经过原点时,设直线为,代入点求得,即直线方程为.所以D不正确.故选:BC11.已知圆与圆,则下列说法正确的是(
)A.若圆与轴相切,则B.若,则圆C1与圆C2相离C.若圆C1与圆C2有公共弦,则公共弦所在的直线方程为D.直线与圆C1始终有两个交点【答案】BD【分析】对A,圆心到x轴的距离等于半径判断即可;对B,根据圆心间的距离与半径之和的关系判断即可;对C,根据两圆有公共弦,两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程求解即可;对D,根据直线过定点以及在圆C1内判断即可.【详解】因为,,对A,故若圆与x轴相切,则有,故A错误;对B,当时,,两圆相离,故B正确;对C,由两圆有公共弦,两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程,故C错误;对D,直线过定点,而,故点在圆内部,所以直线与圆始终有两个交点,故D正确.故选:BD12.已知椭圆:内一点,直线与椭圆交于,两点,且点是线段的中点,则(
)A.椭圆的焦点坐标为,B.椭圆的长轴长为4C.直线的方程为D.【答案】BCD【分析】根据椭圆方程,求出、,即可判断A、B,设,,利用点差法求出直线的斜率,即可得到直线方程,从而判断C,再联立直线与椭圆方程,消元、列出韦达定理,利用弦长公式求出,即可判断D;【详解】解:由椭圆方程,所以,,所以,故,所以椭圆的焦点坐标为,,故A错误;因为,所以椭圆的长轴长为,故B正确;设点,,则,两式相减可得,整理得,因为点是线段的中点,且,所以,所以,所以直线的方程为,即,故C正确;由,得,所以,,所以,故D正确.故选:BCD三、填空题13.已知向量,,,若,则____________.【答案】【分析】首先求出的坐标,再根据向量垂直得到,即可得到方程,解得即可;【详解】解:因为向量,,,所以向量,因为,所以,即,解得故答案为:14.已知和点关于直线对称,则点坐标为________.【答案】【分析】设点的坐标为,则由线段的中点在直线上,,列方程组可求出点坐标【详解】解:设点的坐标为,则,解得,所以点坐标为,故答案为:15.设P为方程表示的曲线上的点,M、N分别为圆和圆上的点,则的最小值为______.【答案】9【解析】方程表示的曲线是椭圆,M、N所在圆的圆心是椭圆的焦点,由椭圆的定义和圆的性质可求得最小值.【详解】方程表示的曲线是椭圆,焦点为,圆半径为,圆的半径为,,当且仅当共线,共线,且在之间,在之间时等号成立.故答案为:9.【点睛】本题考查椭圆的定义,考查点与圆的性质.解题时掌握了椭圆的定义就可以对问题进行转化.本题还考查了转化与化归能力.16.直线与曲线有两个公共点,则的取值范围是_______________________.【答案】【分析】首先确定直线和曲线的图形特征,然后考查临界值即可确定实数的取值范围.【详解】解:如图所示,是一个以原点为圆心,长度为半径的半圆,是一个斜率为的直线,要使两图有两个交点,连接和,直线必在以上的半圆内平移,直到直线与半圆相切,则可求出两个临界位置直线的值,当直线与重合时,;当直线与半圆相切时,圆心到的距离,即,解得:或(舍去).所以的取值范围是.故答案为:四、解答题17.已知直线:和直线:,求分别满足下列条件的,的值.(1)直线过点,且直线和垂直;(2)若直线和平行,且直线在轴上的截距为.【答案】(1),(2),【分析】(1)由两条直线垂直得,再利用直线过点,列出方程求解a,b;(2)由两条直线平行得a,b满足,再利用纵截距为-3解出a,b.【详解】(1)由于直线和垂直,故,又直线过点,故,联立两式,解得,.故有,.(2)由于直线和平行,故,直线在轴上的截距为,则,联立解得,.故有,.18.如图,在三棱柱中,平面,,,为线段上一点.(1)求证:;(2)若直线与平面所成角为,求点到平面的距离.【答案】(1)证明过程见解析;(2).【分析】(1)建立空间直角坐标系,利用空间向量数量积的坐标运算公式进行证明即可;(2)利用空间向量夹角公式,结合空间点到面距离公式进行求解即可.【详解】(1)因为平面,平面,所以,而,因此建立如图所示的空间直角坐标系:,,因为,所以,即,(2)设平面的法向量为,,所以有,因为直线与平面所成角为,所以,解得,即,因为,所以点到平面的距离为:.【点睛】19.已知圆及直线:.(1)证明:不论取什么实数,直线与圆C总相交;(2)求直线被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程.【答案】(1)证明见解析;(2);.【分析】(1)求出直线过定点(3,4),圆C的圆心为(1,2),半径为5.判断出点(3,4)在圆内,由此能证明不论m取什么实数,直线与圆C总相交;(2)设直线与圆交于A、B两点.当直线过定点M(3,4)且垂直于过点M的圆C的半径时,被截得的弦长AB最短,即可求解.【详解】(1)证明:把直线l的方程改写成:,由方程组,解得:,所以直线l总过定点(3,4).圆C的方程可写成,所以圆C的圆心为(1,2),半径为5.因为定点(3,4)到圆心(1,2)的距离为,即点(3,4)在圆内,所以过点(3,4)的直线l总与圆相交,即不论m取什么实数,直线l与圆C总相交(2)设直线l与圆交于A、B两点.当直线l过定点M(3,4)且垂直于过点M的圆C的半径时,l被截得的弦长|AB|最短.因为,此时,所以直线AB的方程为,即.故直线l被圆C截得的弦长最小值为,此时直线l的方程为.20.椭圆的离心率为,为椭圆的右焦点,椭圆外一点,直线的斜率为,为坐标原点.(1)求方程;(2)斜率为的直线过点且与相交于、两点,求的面积.【答案】(1)(2)1【分析】(1)椭圆右焦点,由直线斜率得,由离心率得,再由求得,从而得椭圆方程;(2)设,,直线方程方程代入椭圆方程应用韦达定理得,由可得结论.【详解】(1)设椭圆的右焦点,因为直线的斜率为,所以,解得.又椭圆的离心率为,即,可得.故的方程为.(2)设,,因为得,所以,则21.如图,在几何体中,底面是边长为2的正三角形,平面,,且是的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)取的中点F,连接EF,,由四边形是平行四边形即可求解;(2)采用建系法,以为轴,为轴,垂直底面方向为轴,求出对应点坐标,结合二面角夹角余弦公式即可求解.【详解】(1)取的中点F,连接EF,,∵,∴,且,∴,∴四边形是平行四边形,∴,又平面,平面,∴平面;(2)取AC的中点O,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,∴,.设平面的法向量是,则,即,令,得,易知平面的一个法向量是,∴,又二面角是钝二面角,∴二面角的余弦值为.22.已知椭圆的一个顶点为,离心率为.(1)求椭圆的方
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