2022-2023学年山西省部分学校高三年级上册学期期末考试数学试题【含答案】

山西省部分学校2022-2023学年高三上学期期末考试数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：高考范围.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，，则A. B. C. D.2.在复平面内，对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术，新结构的汽车.新能源汽车包括混合动力电动汽车（HEV）、纯电动汽车（BEV，包括太阳能汽车）燃料电池电动汽车（FCEV）、其他新能源（如超级电容器、飞轮等高效储能器）汽车等.非常规的车用燃料指除汽油、柴油之外的燃料.下表是2022年我国某地区新能源汽车的前5个月销售量与月份的统计表：月份代码12345销售量（万辆）0.50.611.41.5由上表可知其线性回归方程为，则的值是A.0.28 B.0.32 C.0.56 D.0.644.已知，则的值为A. B. C. D.5.的展开式中，的系数是A.5 B.15 C.20 D.256.已知函数（，），若在区间内没有零点，则的最大值是A. B. C. D.7.在四棱锥中，底面为正方形，且平面，，则直线与直线所成角的余弦值是A. B. C. D.8.设，，，则A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，，则下列不等式成立的是A. B. C. D.10.已知点，均在圆外，则下列表述正确的有A.实数的取值范围是B.C.直线与圆不可能相切D.若圆上存在唯一点满足，则的值是11.已知函数是上的偶函数，对任意，且都有成立，，，，则下列说法正确的是A.函数在区间上单调递减B.函数的图象关于直线对称C.D.函数在处取到最大值12.已知过抛物线的焦点的直线交于，两点，为坐标原点，若的面积为4，则下列说法正确的是A.弦的中点坐标为 B.直线的倾斜角为30°或150°C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数的图象在点处的切线斜率为，则____________.14.已知向量，满足，，则_____________.15.在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积是________________.16.已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，它们的离心率分别为，，点为它们的一个交点，且，则的取值范围是________________.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知数列的前项和为，且，.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，记数列的前项和为，求证：.18.（本小题满分12分）某大型工厂有6台大型机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修.每台机器出现故障的概率为.已知1名工人每月只有维修2台机器的能力（若有2台机器同时出现故障，工厂只有1名维修工人，则该工人只能逐台维修，对工厂的正常运行没有任何影响），每台机器不出现故障或出现故障时能及时得到维修，就能使该厂每月获得10万元的利润，否则将亏损2万元.该工厂每月需支付给每名维修工人1万元的工资.（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修（例如：3台大型机器出现故障，则至少需要2名维修工人），则称工厂能正常运行.若该厂只有1名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；（2）已知该厂现有2名维修工人.（ⅰ）记该厂每月获利为万元，求的分布列与数学期望；（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？19.（本小题满分12分）在中，角，，的对边分别为，，.已知点在边上（不含端点），.（1）证明：；（2）若，，求的面积.20.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）若，二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小.21.（本小题满分12分）已知椭圆的左、右顶点分别为，，，且过点.（1）求的方程；（2）若直线与交于，两点，直线与相交于点，证明：点在定直线上，并求出此定直线的方程.22.（本小题满分12分）已知函数.（1）若函数的最小值为，求的值；（2）若存在，且，使得，求的取值范围.高三数学参考答案、提示及评分细则1.D，故，所以.故选D.2.C，故对应的点为，位于第三象限.故选C.3.A由表中数据可得，，将代入，即，解得.故选A.4.A由，得，所以，所以，所以，所以.故选A.5.B因为，的展开式通项为，的展开式通项为，由可得因此的展开式中，的系数为.故选B.6.C，令，，.又函数在区间内没有零点，所以，解得，，所以，，，，所以的最大值是.故选C.7.D连接交于点，取的中点，连接，.不妨设.因为四边形是正方形，所以是的中点，又是的中点，所以.所以直线与直线所成角即为（或其补角）.因为平面，又，平面，所以，.在中，，，，所以；在中，，，，所以，所以；在中，，，，所以，即直线与直线所成角的余弦值是.故选D.8.B令，，则，令，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，所以在上恒成立，所以在上单调递减，所以，即，即.令，，易得在上单调递增，所以，即，即，所以，所以.故选B.9.BD由不等式的基本性质，可得A错误，B正确；取，，则，从而，则C错误；因为，所以幂函数在上是增函数，则由，即得，则D正确.故选BD.10.ABD据题设分析知，，，当时，直线与圆相切.∵，∴点在以线段为直径的圆上.又，，∴点在圆上.又∵点在圆上，点，均在圆外，∴圆与圆外切，且点为切点，∴，∴.故选ABD.11.BC根据题意，函数是上的偶函数，则函数的图象关于直线对称；又由对任意，且都有成立，所以函数在上为增函数，函数在上为减函数，所以在处取得最小值；，，，又由函数的图象关于直线对称，，易知，所以.故选BC.12.BCD设直线的方程为，联立，消去并整理得，则，，又，所以，解得，所以直线的倾斜角为30°或150°，，弦的中点坐标为，即，.故选BCD.13.3由已知得，因为，所以.14.因为，所以，所以，即，则，所以.15.如图，将三棱锥放入长方体中，设该长方体的长、宽、高分别为，，，则，解得，设三棱锥的外接球的半径为，则，所以.所以三棱锥的外接球的表面积.16.设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距，点为椭圆与双曲线在第一象限的交点，则，，解得，，如图：在中，根据余弦定理可得，整理得，即，设，，则有，，所以，即有，所以，所以，设，则，且，所以，因为在上单调递减，所以，所以.17.（1）解：当时，，即；当时，由，得，两式相减得.又，所以，所以是以3为首项，3为公比的等比数列.所以.（2）证明：由（1）知，所以，，两式相减得，所以.又，所以.18.解：（1）因为该厂只有1名维修工人，所以要使工厂正常运行，最多只能出现2台大型机器出现故障，故该工厂能正常运行的概率为.（2）（ⅰ）的可能取值为34，46，58，，，，则的分布列为344658故.（ⅱ）若该厂有3名维修工人，则该厂获利的数学期望为万元.因为，所以该厂应再招聘1名维修工人.19.（1）证明：若时，则点与点重合，不满足题意，故，因为，所以，所以，由正弦定理及余弦定理得，即，所以，因为，所以，所以，所以.（2）解：由及，，得，由（1）知，所以，所以，整理得，令得：，即，解得，，（舍去），由，得，而舍去，故所以.20.（1）证明：取的中点，连结，.则，且，，且.所以，且，所以四边形为平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面.（2）解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，，则，，，，，所以，.因为，所以，所以.又，，设平面的一个法向量，则所以，令，则，，所以；又平面的一个法向量，所以，所以，解得，所以.又，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角为.21.（1）解：因为，所以，解得.因为过点，所以，解得.所以的方程为.（2）证明：设，，所以，.由，整理得则，解得且，，.由得，所以点在定直线上.22.解：（1）由题意知函数的定义域为，.当时，在上恒成立，故在上单调递减，无最小值.当时，令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.所以，即.设，则，所以为上的增函数，又，所以.（2）由，得，即，又，所以，得.令，则，令，故问题可转化为函数在区间上有零点.，其中.因为函数的对称轴的方程为，且当时，，故当，则在上恒成立，所以