2022-2023学年山东省济南市莱芜高一年级上册学期第二次核心素养测评数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省济南市莱芜第一中学高一上学期第二次核心素养测评数学试题一、单选题1．已知集合满足，那么这样的集合的个数为A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根据子集关系可知：集合中一定包含元素，可能包含元素，由此可判断集合的个数即为集合的子集个数.【详解】由题意可知：且可能包含中的元素，所以集合的个数即为集合的子集个数，即为个，故选D.【点睛】本题考查根据集合的子集关系确定集合的数目，难度较易.2．已知角的终边过点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角函数定义可求得，再利用诱导公式即可求得结果.【详解】由已知可得，由诱导公式可知，；故选：C.3．若,则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由换底公式将表示为,再将代入,再用指数的运算法则写为底数为5的式子,再用对数恒等式计算出结果即可.【详解】解:由题知,,.故选：A4．已知函数关于直线对称,且当时,恒成立,则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据关于直线对称,可得为偶函数,根据,恒成立,可得在时单调递增,将根据奇偶性化为区间内,再根据单调性解得范围即可.【详解】解:由题知关于直线对称,故为偶函数,,当时,恒成立,则在上单调递增,,,,即,解得:.故选：C5．函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平方关系将函数写成关于的一元二次函数形式，再利用换元法求二次函数的值域即可.【详解】由可得令，则，易知，二次函数关于对称，且开口向上，所以函数在为单调递增，所以，所以，其值域为.故选：D.6．已知函数是偶函数，则的值为（

）A． B．1 C．1或-1 D．【答案】A【分析】根据三角函数奇偶性可确定，再利用诱导公式即可求得的值.【详解】由函数是偶函数可知，，即；所以，；故选：A.7．设，，为正数，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，用k表示出x，y，z，再借助对数函数的性质即可比较作答.【详解】因，，为正数，令，则，因此有：，，，又函数在上单调递增，而，则，于是得，所以.故选：D8．已知是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，，若在区间内方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数奇偶性和周期性，利用其在上的解析式求得函数的解析式，将方程有三个不同的实数根转化成函数图象与的图象在内有三个交点，利用数形结合即可求得实数的取值范围.【详解】根据函数可知，函数的周期，由是定义在上的偶函数，当时，可得当时，，所以，即函数的解析式为；画出函数部分周期内的图象如下图粗实线所示，若在区间内方程有三个不同的实数根，即函数图象与的图象在内有三个交点，图象如上图中细实线所示，则需满足，即，解得故选：D.【点睛】方法点睛：在解决函数零点或方程根的个数问题时，往往将此类问题转化成函数图象交点的问题，在同一坐标系下画出两个函数图象利用数形结合根据题意进行求解即可.二、多选题9．下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据对数的运算法则及对数恒等式,换底公式即可选出选项.【详解】解:由题,关于选项A:,故选项A正确;根据对数恒等式可知,选项B正确;关于选项C:,故选项C错误;根据换底公式可得:,故选项D正确.故选:ABD10．已知，则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】将式子两边同时平方，可得，即可判断的取值范围，进而确定余弦值和正切值的符号，可判断选项ABC错误，再利用同角三角函数的基本关系可求得选项D中表达式的值，即可做出判断.【详解】将两边同时平方，可得；所以，即符号相同，又因为，所以应在第一象限，所以，故A错误；当时，，故BC均错误；由可知，；即D正确；故选：ABC.11．已知函数,下列结论中正确的是（

）A．函数的周期是B．函数的图象关于直线对称C．函数的最小值是D．函数的图象关于点对称【答案】AC【分析】根据的解析式,由可求其周期,令即可求对称轴,根据,即可求最值,根据对称中心是令,即可判断选项D正误.【详解】解:由题知,,故选项A正确;令,解得:,令,令,故选项B错误;因为,所以,故选项C正确;因为对称中心纵坐标为1,故选项D错误.故选:AC12．已知，若存在，使得，则下列结论错误的有（

）A．实数的取值范围为B．C．D．的最大值为1【答案】AD【分析】根据分段函数解析式画出函数图象，再利用方程的根的个数即为函数图象的交点个数，即可求得实数的取值范围，再利用图象判断出根的分布情况即可做出判断.【详解】由函数可知其图象如下图所示，又因为存在，使得，所以函数与有三个不同的交点，根据图象可知，故A错误；根据函数图像可知，所以得，即，故B正确；显然，且关于对称，所以，故C正确；因为，且，所以，，当且仅当时，等号成立；又因为，所以，故D错误；故选：AD.三、填空题13．计算__________.【答案】【分析】根据指数幂运算和对数运算法则即可求得结果.【详解】原式故答案为：14．已知幂函数的图象关于轴对称，则满足成立的实数的取值范围为__________.【答案】【分析】根据幂函数定义以及函数对称轴可求得的值，代入解不等式即可求得实数的取值范围.【详解】由幂函数定义可知，，解得或又因为其图象关于轴对称，显然不合题意；所以.则不等式即为，解得，所以，实数的取值范围.故答案为：15．函数的定义域为__________.【答案】【分析】由对数函数和三角函数定义域，可确定正弦函数和余弦函数的取值范围，再根据三角函数单调性即可求得其定义域.【详解】由题意可知，要使函数各部分有意义，则须满足即由正弦函数和余弦函数单调性得；即得，所以函数的定义域为.故答案为：16．函数的部分图象如图所示，则的值等于__________.【答案】##【分析】根据图象可求得三角函数解析式，计算出一个周期内的函数值即可求得结果.【详解】由图象可知，，周期，可得将代入可得，所以经计算可知，，所以，易得所以.故答案为：四、解答题17．已知集合.(1)求；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据集合的并集运算即可求得；（2）由可知，对集合是否为空集进行分类讨论，即可求得实数的取值范围.【详解】（1）∵集合，，∴；（2）因为，所以，当时，则，即；当时，则，解得；综上，实数m的取值范围为.18．关于x的不等式的解集为，(1)求a，b的值；(2)当，且满足时，有恒成立，求实数k的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意转化为和2是方程的两个实数根，根据韦达定理列出方程组，即可求解；（2）由（1）得到，化简，利用基本不等式求得其最小值，根据题意中转化为，即可求解．【详解】（1）解：因为关于x的不等式的解集为，所以和2是方程的两个实数根，可得，解得，经检验满足条件，所以.（2）解：由（1）知，可得，则，当且仅当时，等号成立，因为恒成立，所以，即，可得，解得，所以的取值范围为．19．求下列值.(1)已知,若,求的值;(2)已知,其中是第三象限角,若,求.【答案】(1)(2)【分析】(1)先用诱导公式将进行化简,将代入,求得的值,再将分母看作,分式上下同时除以,代入的值即可求出结果;(2)先根据是第三象限角,判断的正负,再对进行化简,将代入,再根据平方关系即可求得的值.【详解】（1）解:由题知,;（2）由题知是第三象限角,,,,,∴,,则.20．已知函数．(1)求的解析式；(2)若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，则，进而根据换元法求解即可；（2）结合函数的单调性得，进而将问题转化为对任意，不等式恒成立，再求解恒成立问题即可.【详解】（1）解：令，则，则，故．（2）解：由（1）可得．因为函数和函数均在上单调递增，所以在上单调递增．故．对任意，，不等式恒成立，即对任意，不等式恒成立，则解得或．故的取值范围是．21．已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)求函数在上的单调增区间;(3)求函数在区间上的最小值和最大值.【答案】(1)增区间为;减区间为(2)(3)最小值为,最大值为【分析】(1)根据解析式及诱导公式,先将化为正,再将放在的单调区间内,即可求得的单调区间;(2)由(1)得的单调递增区间,令,,求得递增区间,再由即可得出结果;(3)先由,求出的范围,再求出的范围,进而得到的范围,即可得最值.【详解】（1）解:由题知,令,,得,,令,,得,,故的单调递增区间为;单调递减区间为;（2）由(1)可得的单调递增区间为令,在单调递增,令,在单调递增,令,在单调递增,因为,所以在上的单调增区间是;（3）由题知,当时,,根据图象性质可知:,,故,.22．已知函数.(1)解不等式；(2)若关于x的方程在上有解，求m的取值范围；(3)若函数，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围